[Eigen中文文档] 矩阵与向量运算

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英文原文(Matrix and vector arithmetic)

本文章旨在提供有关如何使用 Eigen 在矩阵、向量和标量之间执行算术操作的概述和一些详细信息。

介绍

Eigen 通过重载常见的 C++ 算术运算符（如 +、-、*）或通过特殊方法（如 dot()、cross() 等）提供矩阵/向量算术运算。对于 Matrix 类（矩阵和向量），重载运算符仅支持线性代数运算。例如，matrix1 * matrix2 代表矩阵乘法，vector + scalar 向量与标量的加法是不合法的。如果想执行各种数组运算，而不是线性代数，请参阅 数组类与元素操作。

加法与减法

操作符左右两侧的矩阵必须有相同的行数和列数，且它们的元素必须是同种类型，因为Eigen不支持自动类型转换。目前支持的运算符示例如下：

代码示例：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>int main()
{Eigen::Matrix2d a;a << 1, 2,3, 4;Eigen::MatrixXd b(2,2);b << 2, 3,1, 4;std::cout << "a + b =\\n" << a + b << std::endl;std::cout << "a - b =\\n" << a - b << std::endl;std::cout << "Doing a += b;" << std::endl;a += b;std::cout << "Now a =\\n" << a << std::endl;Eigen::Vector3d v(1,2,3);Eigen::Vector3d w(1,0,0);std::cout << "-v + w - v =\\n" << -v + w - v << std::endl;
}

输出：

a + b =
3 5
4 8
a - b =
-1 -12  0
Doing a += b;
Now a =
3 5
4 8
-v + w - v =
-1
-4
-6

标量的标量乘法与除法

标量的乘法和除法也非常简单。目前支持的运算符示例如下：

代码示例：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>int main()
{Eigen::Matrix2d a;a << 1, 2,3, 4;Eigen::Vector3d v(1,2,3);std::cout << "a * 2.5 =\\n" << a * 2.5 << std::endl;std::cout << "0.1 * v =\\n" << 0.1 * v << std::endl;std::cout << "Doing v *= 2;" << std::endl;v *= 2;std::cout << "Now v =\\n" << v << std::endl;
}

输出：

a * 2.5 =
2.5   5
7.5  10
0.1 * v =
0.1
0.2
0.3
Doing v *= 2;
Now v =
2
4
6

表达式模板

这是一个比较高级的话题，但在这里提出是比较有用的。在Eigen中，诸如+之类的算术运算符，他们自己不执行任何操作，只是返回一个表达式对象，该对象描述了将要执行的计算操作。实际的计算发生在后面整个表达式被求值的时侯，比如使用=运算符时。虽然这听起来很繁琐，但任何现代优化编译器都能优化掉这种抽象，从而得到完美优化代码。例如：

VectorXf a(50), b(50), c(50), d(50);
...
a = 3*b + 4*c + 5*d;

Eigen会把上述表达式编译成一个循环，这个数组只遍历一次。数组循环如下所示：

for(int i = 0; i < 50; ++i)a[i] = 3*b[i] + 4*c[i] + 5*d[i];

因此，你不要害怕使用相对较大的运算表达式，这只会给Eigen更多机会进行优化。

转置与共轭

矩阵或向量 $a$ 的转置(aTa^TaT)、共轭(a‾\\overline{a}a)和伴随(a∗a^*a∗ ，如共轭转置)可以分别通过函数transpose()、 conjugate()、adjoint()求得。

示例如下：

MatrixXcf a = MatrixXcf::Random(2,2);
cout << "Here is the matrix a\\n" << a << endl;cout << "Here is the matrix a^T\\n" << a.transpose() << endl;cout << "Here is the conjugate of a\\n" << a.conjugate() << endl;cout << "Here is the matrix a^*\\n" << a.adjoint() << endl;

输出如下：

Here is the matrix a(-0.211,0.68) (-0.605,0.823)(0.597,0.566)  (0.536,-0.33)
Here is the matrix a^T(-0.211,0.68)  (0.597,0.566)
(-0.605,0.823)  (0.536,-0.33)
Here is the conjugate of a(-0.211,-0.68) (-0.605,-0.823)(0.597,-0.566)    (0.536,0.33)
Here is the matrix a^*(-0.211,-0.68)  (0.597,-0.566)
(-0.605,-0.823)    (0.536,0.33)

对于实数矩阵，共轭函数conjugate()是空操作，所以共轭转置函数adjoint()相当于转置transpose()。

作为基本的操作运算，transpose()和adjoint()函数只返回一个代理对象而没有做任何操作。如果执行b = a.transpose()，真正的转置计算是在写入b的时候发生的。然而，这有一个复杂的问题，如果执行a = a.transpose()，Eigen在转置计算完全完成之前就开始写入a，所以指令a = a.transpose()不会得到预期的结果。

示例如下：

Matrix2i a; a << 1, 2, 3, 4;
cout << "Here is the matrix a:\\n" << a << endl;a = a.transpose(); // !!! do NOT do this !!!
cout << "and the result of the aliasing effect:\\n" << a << endl;

输出为：

Here is the matrix a:
1 2
3 4
and the result of the aliasing effect:
1 2
2 4

上述的问题就是所谓的混叠问题，在debug模式下，当assertion打开，这个问题可以自动检测到。（g++编译默认是debug模式，关闭需要使用-DNDEBUG选项）。

对于就地转置，可以使用transposeInPlace()函数：

示例如下：

MatrixXf a(2,3); a << 1, 2, 3, 4, 5, 6;
cout << "Here is the initial matrix a:\\n" << a << endl;a.transposeInPlace();
cout << "and after being transposed:\\n" << a << endl;

输出为：

Here is the initial matrix a:
1 2 3
4 5 6
and after being transposed:
1 4
2 5
3 6

同样，对于复杂矩阵的就地共轭也有adjointInPlace()函数。

(矩阵与矩阵)和(矩阵与向量)的乘积

矩阵与矩阵间的乘积是通过运算符*来完成的。由于向量是特殊的矩阵，所以向量和矩阵的乘积实际上只是矩阵与矩阵乘积的特例，向量与向量的外积也是如此。所有的情况都会被处理成两类：

示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>int main()
{Eigen::Matrix2d mat;mat << 1, 2,3, 4;Eigen::Vector2d u(-1,1), v(2,0);std::cout << "Here is mat*mat:\\n" << mat*mat << std::endl;std::cout << "Here is mat*u:\\n" << mat*u << std::endl;std::cout << "Here is u^T*mat:\\n" << u.transpose()*mat << std::endl;std::cout << "Here is u^T*v:\\n" << u.transpose()*v << std::endl;std::cout << "Here is u*v^T:\\n" << u*v.transpose() << std::endl;std::cout << "Let's multiply mat by itself" << std::endl;mat = mat*mat;std::cout << "Now mat is mat:\\n" << mat << std::endl;
}

输出为：

Here is mat*mat:7 10
15 22
Here is mat*u:
1
1
Here is u^T*mat:
2 2
Here is u^T*v:
-2
Here is u*v^T:
-2 -02  0
Let's multiply mat by itself
Now mat is mat:7 10
15 22

注意：如果你阅读过上面的关于表达式模板的段落并且担心 m = m * m 会引发混淆问题，这里请放心，Eigen把矩阵乘法作为一个特殊的例子，并在此引入了一个临时变量，所以它会编译为：

tmp = m*m;
m = tmp;

如果你知道你的矩阵乘法可以安全的计算并且没有混淆问题，那么你可以使用noalias()函数来避免编译临时变量，例如：

c.noalias() += a * b;

更多细节请参考 aliasing

注意：对于担心性能的 BLAS 用户，表达式如：c.noalias() -= 2 * a.adjoint() * b;可以完全的优化并触发一个类似矩阵乘法的函数调用。

点积和叉积

对于点积和叉积，需要使用 dot() 和 cross() 方法。当然，点积也可以像 u.adjoint()*v 一样得到一个1x1的矩阵。

示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>int main()
{Eigen::Vector3d v(1,2,3);Eigen::Vector3d w(0,1,2);std::cout << "Dot product: " << v.dot(w) << std::endl;double dp = v.adjoint()*w; // automatic conversion of the inner product to a scalarstd::cout << "Dot product via a matrix product: " << dp << std::endl;std::cout << "Cross product:\\n" << v.cross(w) << std::endl;
}

输出为：

Dot product: 8
Dot product via a matrix product: 8
Cross product:1
-21

注意，叉积仅适用于大小为 3 的向量。点积适用于任何大小的向量。使用复数时，Eigen的点积在第一个变量中是共轭线性的，在第二个变量中是线性的。

基本算术的简化运算

Eigen还提供了一些简单操作来将给定的矩阵或向量计算为标量，例如求和（sum()）、乘积 ( prod() ) 、最大值 ( maxCoeff() ) 和最小值 ( minCoeff() ) 。

示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>using namespace std;
int main()
{Eigen::Matrix2d mat;mat << 1, 2,3, 4;cout << "Here is mat.sum():       " << mat.sum()       << endl;cout << "Here is mat.prod():      " << mat.prod()      << endl;cout << "Here is mat.mean():      " << mat.mean()      << endl;cout << "Here is mat.minCoeff():  " << mat.minCoeff()  << endl;cout << "Here is mat.maxCoeff():  " << mat.maxCoeff()  << endl;cout << "Here is mat.trace():     " << mat.trace()     << endl;
}

输出为：

Here is mat.sum():       10
Here is mat.prod():      24
Here is mat.mean():      2.5
Here is mat.minCoeff():  1
Here is mat.maxCoeff():  4
Here is mat.trace():     5

矩阵的迹（对角线系数的总和）可以通过函数trace()计算，也可以使用更高效的方法a.diagonal().sum()。

也存在minCoeff和maxCoeff函数的变体，通过参数返回相应系数的坐标：

  Matrix3f m = Matrix3f::Random();std::ptrdiff_t i, j;float minOfM = m.minCoeff(&i,&j);cout << "Here is the matrix m:\\n" << m << endl;cout << "Its minimum coefficient (" << minOfM << ") is at position (" << i << "," << j << ")\\n\\n";RowVector4i v = RowVector4i::Random();int maxOfV = v.maxCoeff(&i);cout << "Here is the vector v: " << v << endl;cout << "Its maximum coefficient (" << maxOfV << ") is at position " << i << endl;

输出为：

Here is the matrix m:0.68  0.597  -0.33
-0.211  0.823  0.5360.566 -0.605 -0.444
Its minimum coefficient (-0.605) is at position (2,1)Here is the vector v:  1  0  3 -3
Its maximum coefficient (3) is at position 2

这里的输出，自己测试和我官网给出的有出入：

1. 浮点型数字，官网截取了前面几位，而且做了四舍五入（前文已提到过）
2. 整型数字，和官网完全不一样（暂未发现原因，如你知道欢迎留言）

关于这里的Random()函数，源码中有解释：

Numbers are uniformly spread through their whole definition range for integer types, and in the [-1:1] range for floating point scalar types.

对于整型，在整个定义范围内均匀分布；对于浮点型，分布在[-1,1]的范围内。所以，从代码来看，官网的结果 Here is the vector v: 1 0 3 -3 是不符合的。

！！！注意，以上两个问题，整篇都有，下文不再赘述！！！

操作的有效性

Eigen会检查操作的有效性，如果有错误，它会在编译的时候产生错误提示。这些错误提示可能又长又难看，但Eigen会把重要的信息写成大写，以使其更加显眼，例如：

Matrix3f m;
Vector4f v;
v = m*v;      // Compile-time error: YOU_MIXED_MATRICES_OF_DIFFERENT_SIZES

当然，在很多情况下，如检查动态矩阵的大小时，无法在编译时进行检查，Eigen会使用运行时的断言。这意味如果程序在debug模式下运行，遇到非法操作时会终止运行并打印出错误信息。如果关闭断言，程序可能会崩溃。

MatrixXf m(3,3);
VectorXf v(4);
v = m * v; // Run-time assertion failure here: "invalid matrix product"

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