注意事项！

公式推导所得答案不唯一，若想检验答案正确性，可以通过对所得答案进行求导，若求导后的值和原式相同，则答案正确。

1 $\int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C$

原式=∫cscx(cscx−cotx)cscx−cotxdx=∫csc2x−cscxcotxcscx−cotxdx原式=\\int \\frac{cscx(cscx-cotx)}{cscx-cotx}dx=\\int \\frac{csc^2x-cscxcotx}{cscx-cotx}dx原式=∫cscx−cotxcscx(cscx−cotx)​dx=∫cscx−cotxcsc2x−cscxcotx​dx=∫1cscx−cotxd(cscx−cotx)=\\int \\frac{1}{cscx-cotx}d(cscx-cotx)=∫cscx−cotx1​d(cscx−cotx)$$=ln|cscx-cotx|+C$$

2 $\int secxdx=ln|secx+tanx|+C$

原式=∫secx(secx+tanx)secx+tanxdx=∫sec2x+secxtanxsecx+tanxdx原式=\\int\\frac{secx(secx+tanx)}{secx+tanx}dx=\\int\\frac{sec^2x+secxtanx}{secx+tanx}dx原式=∫secx+tanxsecx(secx+tanx)​dx=∫secx+tanxsec2x+secxtanx​dx=∫d(tanx+secx)secx+tanx=\\int\\frac{d(tanx+secx)}{secx+tanx}=∫secx+tanxd(tanx+secx)​$$=ln|secx+tanx|+C$$

3 ∫dxx2−a2=ln∣x+x2−a2∣+C\\int \\frac{dx}{\\sqrt{x^2-a^2}}=ln|x+\\sqrt{x^2-a^2}|+C∫x2−a2​dx​=ln∣x+x2−a2​∣+C

注：tant的值可以通过画三角形辅助求解

令 $x=asect$, 则 dx=asect⋅tantdt,sect=xa,tant=x2−a2adx=asect·tantdt, sect=\\frac{x}{a},tant=\\frac{\\sqrt{x^2-a^2}}{a}dx=asect⋅tantdt,sect=ax​,tant=ax2−a2​​
原式=∫asect⋅tantdta2sec2t−a2=∫asect⋅tantdta2(sec2t−1)=∫sect⋅tantdttant原式 =\\int\\frac{asect·tantdt}{\\sqrt{a^2sec^2t-a^2}}=\\int\\frac{asect·tantdt}{\\sqrt{a^2(sec^2t-1)}}=\\int\\frac{sect·tantdt}{tant}原式=∫a2sec2t−a2​asect⋅tantdt​=∫a2(sec2t−1)​asect⋅tantdt​=∫tantsect⋅tantdt​=∫sectdt==ln∣sect+tant∣+C=ln∣xa+x2−a2a∣+C=\\int sectdt==ln|sect+tant|+C=ln|\\frac{x}{a}+\\frac{\\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C=∫sectdt==ln∣sect+tant∣+C=ln∣ax​+ax2−a2​​∣+C=ln∣x+x2−a2∣+C=ln|x+\\sqrt{x^2-a^2}|+C=ln∣x+x2−a2​∣+C

4 ∫dxx2+a2=ln∣x+x2+a2∣+C\\int \\frac{dx}{\\sqrt{x^2+a^2}}=ln|x+\\sqrt{x^2+a^2}|+C∫x2+a2​dx​=ln∣x+x2+a2​∣+C

令x=atant,则dx=asec2tdt,x=atant,则dx=asec^2tdt,x=atant,则dx=asec2tdt,
原式=∫asec2tdta2tan2t+a2=∫sectdt=原式=\\int\\frac{asec^2tdt}{\\sqrt{a^2tan^2t+a^2}}=\\int sectdt=原式=∫a2tan2t+a2​asec2tdt​=∫sectdt=$$=ln|sect+tant|+C$$

5 ∫dxx2−a2=12aln∣x−ax+a∣+C\\int \\frac{dx}{x^2-a^2}=\\frac{1}{2a}ln|\\frac{x-a}{x+a}|+C∫x2−a2dx​=2a1​ln∣x+ax−a​∣+C

原式=∫dx(x+a)(x−a)=12a∫x+a−x+a(x+a)(x−a)原式=\\int\\frac{dx}{(x+a)(x-a)}=\\frac{1}{2a}\\int\\frac{x+a-x+a}{(x+a)(x-a)}原式=∫(x+a)(x−a)dx​=2a1​∫(x+a)(x−a)x+a−x+a​=12a∫[1x−ad(x−a)−1x+ad(x+a)]=\\frac{1}{2a}\\int[\\frac{1}{x-a}d(x-a)-\\frac{1}{x+a}d(x+a)]=2a1​∫[x−a1​d(x−a)−x+a1​d(x+a)]=12a(ln∣x−a∣−ln∣x+a∣)+C=\\frac{1}{2a}(ln|x-a|-ln|x+a|)+C=2a1​(ln∣x−a∣−ln∣x+a∣)+C=12aln∣x−ax+a∣+C=\\frac{1}{2a}ln|\\frac{x-a}{x+a}|+C=2a1​ln∣x+ax−a​∣+C

6 ∫dxa2+x2=1aarctanxa+C\\int \\frac{dx}{a^2+x^2}=\\frac{1}{a}arctan\\frac{x}{a}+C∫a2+x2dx​=a1​arctanax​+C

令x=atant,则dx=asec2tdt,t=arctanxax=atant,则dx=asec^2tdt, t=arctan\\frac{x}{a}x=atant,则dx=asec2tdt,t=arctanax​
原式=∫asec2tdta2sec2t=∫1adt=1at+C原式=\\int\\frac{asec^2tdt}{a^2sec^2t}=\\int\\frac{1}{a}dt=\\frac{1}{a}t+C原式=∫a2sec2tasec2tdt​=∫a1​dt=a1​t+C=1aarctanxa+C=\\frac{1}{a}arctan\\frac{x}{a}+C=a1​arctanax​+C

7 ∫dxa2−x2=arcsinxa+C\\int \\frac{dx}{\\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\\frac{x}{a}+C∫a2−x2​dx​=arcsinax​+C

令 x=asint,则dx=acostdt,t=arcsinxax=asint,则dx=acostdt,t=arcsin\\frac{x}{a}x=asint,则dx=acostdt,t=arcsinax​
原式=∫acostdta2−a2sin2t=∫acostdtacost原式=\\int\\frac{acostdt}{\\sqrt{a^2-a^2sin^2t}}=\\int\\frac{acostdt}{acost}原式=∫a2−a2sin2t​acostdt​=∫acostacostdt​$$=\int 1dt=\int t+C$$=arcsinxa+C=arcsin\\frac{x}{a}+C=arcsinax​+C