2021牛客OI赛前集训营-提高组（第三场）T2交替

2021牛客OI赛前集训营-提高组（第三场）

题目大意

一个长度为$n$的数组$a$，每秒都会变成一个长度为$n-1$的新数组a′a'a′，其变化规则如下

• 如果当前数组$a$的大小$n$为偶数，则对于新数组a′a'a′的每一个位置$i(1\le i<n)$，ai′=ai+ai+1a'_i=a_i+a_{i+1}ai′​=ai​+ai+1​
• 如果当前数组$a$的大小$n$为奇数，则对于新数组a′a'a′的每一个位置$i(1\le i<n)$，ai′=ai−ai+1a'_i=a_i-a_{i+1}ai′​=ai​−ai+1​

最终数组经过$n-1$秒后变为一个数字，求这个数字对109+710^9+7109+7取模后的结果。

题解

通过打表可以发现，当$n$为偶数时，aia_iai​对答案的贡献为(−1)t×Cn/2−1t(-1)^t\\times C_{n/2-1}^{t}(−1)t×Cn/2−1t​，其中t=⌊i−12⌋t=\\lfloor\\dfrac{i-1}{2}\\rfloort=⌊2i−1​⌋。

如果$n$为偶数，则直接用上面的规律来求即可。如果$n$为奇数，那么操作一次，将$n$变为偶数，再用上面的规律来求即可。

当然，考场上可以直接用打表发现的规律，但学习要严谨，所以下面给出证明。

用多项式a1x+a2x2+⋯+anxna_1x+a_2x^2+\\cdots+a_nx^na1​x+a2​x2+⋯+an​xn表示当前的状态，用xix^ixi的系数表示当前第$i$个位置的值。

• 对于长度为偶数变为奇数的操作，相当于原来的多项式乘上(1+1x)(1+\\dfrac 1x)(1+x1​)
• 对于长度为奇数变为偶数的操作，相当于原来的多项式乘上(1−1x)(1-\\dfrac 1x)(1−x1​)

那么$n$每减去2，则多项式乘上(1−1x2)(1-\\dfrac{1}{x^2})(1−x21​)。

对于偶数的$n$，多项式要乘上(1−1x2)n/2−1(1+1x)=(1−Cn/2−111x2+Cn/2−121x4−⋯)(1+1x)(1-\\dfrac{1}{x^2})^{n/2-1}(1+\\dfrac 1x)=(1-C_{n/2-1}^1\\dfrac{1}{x^2}+C_{n/2-1}^2\\dfrac{1}{x^4}-\\cdots)(1+\\dfrac 1x)(1−x21​)n/2−1(1+x1​)=(1−Cn/2−11​x21​+Cn/2−12​x41​−⋯)(1+x1​)。最后的答案就是$x$的系数。

我们考虑如何求$x$的系数。对于最初多项式中的xix^ixi，

• 如果$i$是奇数，则xix_ixi​可以和(−1)tCn/2−1t1xi−1(-1)^tC_{n/2-1}^{t}\\dfrac{1}{x^{i-1}}(−1)tCn/2−1t​xi−11​相乘来得到$x$的项
• 如果$i$是偶数，则xix_ixi​可以和(−1)tCn/2−1t1xi−2×1x(-1)^tC_{n/2-1}^{t}\\dfrac{1}{x^{i-2}}\\times \\dfrac 1x(−1)tCn/2−1t​xi−21​×x1​相乘来得到$x$的项

其中t=⌊i−12⌋t=\\lfloor\\dfrac{i-1}{2}\\rfloort=⌊2i−1​⌋。

那么就可以得到开头的结论。

时间复杂度为$O(n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long ans=0,a[100005],jc[100005],ny[100005];
long long mod=1000000007;
long long mi(long long t,long long v){if(!v) return 1;long long re=mi(t,v/2);re=re*re%mod;if(v&1) re=re*t%mod;return re;
}
long long C(int x,int y){return jc[x]*ny[y]%mod*ny[x-y]%mod;
}
int main()
{scanf("%d",&n);jc[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;ny[n]=mi(jc[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;i--) ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mod;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);}if(n==1){printf("%d",(a[1]%mod+mod)%mod);return 0;}if(n%2==1){--n;for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=(a[i]-a[i+1]+mod)%mod;}}for(int i=1;i<=n;i++){int x=(n-1)/2,y=(i-1)/2;if(y&1) ans=(ans-C(x,y)*a[i]%mod+mod)%mod;else ans=(ans+C(x,y)*a[i]%mod+mod)%mod;}printf("%lld",ans);return 0;
}