目录

1.算法效率

1.1如何衡量一个算法的好坏 ---- 代码大概的运行次数

1.2算法的复杂度

2.时间复杂度

2.1时间复杂度的概念

2.2大O的渐进表示法

2.3常见时间复杂度计算举例

3.空间复杂度

4.常见复杂度对比

5.复杂度的OJ练习

5.1消失的数字

5.2 旋转数组

【本节目标】

1. 算法效率
2. 时间复杂度
3. 空间复杂度
4. 常见时间复杂度以及复杂度练习

1.算法效率

1.1如何衡量一个算法的好坏 ---- 代码大概的运行次数

如何衡量一个算法的好坏呢？

long long Fib(int N)
{if(N < 3){return 1;}return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

斐波那契数列的递归方式非常简洁，但简洁一定好吗？那如何衡量其好与坏呢？

1.2算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间（内存）资源。因此henhen改良一个算法的好坏，一般是从时间和空降两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

• 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢
• 空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间

在计算机发展的早期，计算机存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的快速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.时间复杂度

2.1时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，他定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上讲，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例。算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。 

即：找到某条基本语句与问题规划N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。\\

//请计算一下Fun1中 ++count 语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{int count = 0;for(int  i = 0;i < N; ++i){for(int j = 0;j < N; ++j){++count;}}for(int k = 0;k < 2 * N;++K){++count;}int M = 10;while(M--){++count;}printf("%d\\n",count);
}

Func1执行的基本操作次数：

• N = 10         F(N) = 130
• N = 100       F(N) = 10210
• N = 1000     F(N) = 1002010

实际上我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概的执行次数，所以我们常常用到大O的渐进表示法。

2.2大O的渐进表示法

大O符号（big O notation）:是用于描述函数渐进性为的数学符号。

推导大O阶方法：

1. 用常数1来取代运行时间中的所有加法常熟
2. 再修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶

在使用大O阶的渐进表示法后，Func1的时间复杂度为：O（N^2）

• N = 10         F(N) = 100
• N = 100       F(N) = 10000
• N = 1000     F(N) = 1000000

通过上面我们发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，而简明表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均、最坏情况

1. 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
2. 平均情况：任意输入规模期望运行次数
3. 最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）

 例如在一个长度为N的数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到。

最快情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为：O(N)

2.3常见时间复杂度计算举例

实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\\n", count);
}

Func2执行的基本操作次数： Func2 = 2N + 10；--------->  O(N)

实例2：

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++ k){++count;}for (int k = 0; k < N ; ++ k){++count;}printf("%d\\n", count);
}

Func3执行的基本操作次数： Func2 = M + N；

--------->  O(M + N)

若给出M >> N，则为O(M);

若给出N >> M，则为O(N);

实例3：

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++ k){++count;}printf("%d\\n", count);
}

Func4执行的基本操作次数： Func2 = 100；

 --------->  O(1)

实例4：

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

实例5：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);//保证指针的有效性for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);//交换两个元素exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

最好的情况：O（N）

最坏的情况：O（N^2）

实例5基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

实例6：

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n-1;while (begin < end){int mid = begin + ((end-begin)>>1);if (a[mid] < x)begin = mid+1;else if (a[mid] > x)end = mid;elsereturn mid;}return -1;
}

实例6基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。（建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）

实例7：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(0 == N)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

实例7通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N) 

实例8：

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{if(N < 3)return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

实例8通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。（建议画图递归栈帧的二叉树讲解）

3.空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运算过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少byte的空间，因为这个也没有太大的意义，多以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间（存储函数、局部变量、一些寄存器的信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时申请的额外空间来确定。

实例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

实例2：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{if(n==0)return NULL;long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n ; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];}return fibArray;
}

实例3：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(N == 0)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

4.常见复杂度对比

一般算法的复杂度如下：

5.复杂度的OJ练习

5.1消失的数字

OJ链接：https://leetcode-cn.com/problems/missing-number-lcci/

int missingNumber(int* nums, int numsSize){int sum = numsSize*(numsSize + 1)/2;//求和for(int i = 0; i<numsSize; ++i){//sum -= num[i];    sum -= *(nums + i);    }return sum;
}

注：求取前n项和，然后减去数组中的每个值，就得到了缺少的那个值。

5.2 旋转数组

OJ链接：https://leetcode-cn.com/problems/rotate-array/

void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{if (k > numsSize){k %= numsSize;}int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);//copy后k个memcpy(tmp, nums + numsSize - k, sizeof(int) * k);memcpy(tmp + k, nums, sizeof(int) * (numsSize-k));memcpy(nums, tmp, sizeof(int) * (numsSize));free(tmp);}