数学杂谈：n个n维向量夹角最小值的最大值

• 数学杂谈：n个n维向量夹角最小值的最大值
  • 1. 问题描述
  • 2. 问题解答
    • 1. 答案
    • 2. 具体解法
      • 1. 极大性证明
      • 2. 一种构造
  • 3. 引申思考

1. 问题描述

给出任意$n$个$n$维向量（$n\ge 2$），求他们两两之间构成的Cn2C_n^2Cn2​个夹角当中的最小角度所能够取到的最大值是多少？

2. 问题解答

1. 答案

首先，我们先给出这道题的答案如下：

θ=arccos(−1n−1)\\theta = arccos(-\\frac{1}{n-1}) θ=arccos(−n−11​)

这个问题是我很早之前在听报告的时候听到的一个小的引理，当时主讲人轻描淡写地来了一句：这个引理的证明是简单的……

然后我就傻了，因为感觉一点都不简单啊，囧，搞得我连着几页PPT都没怎么听，在想这个问题，不过后来比较忙就一直也没时间去细想，还是我同学帮忙搞定了这道题，就直接把他的解法在这里稍微整理一下。

2. 具体解法

他的思路其实还是比较简单的，首先就是先证明θ≤arccos(−1n−1)\\theta \\leq arccos(-\\frac{1}{n-1})θ≤arccos(−n−11​)，然后设法给出一种构造，证明这个$\theta$角确实是可以取到的。

1. 极大性证明

我们不妨令$n$个向量为单位向量，记作a1⃗,⋯an⃗\\vec{a_1}, \\cdots \\vec{a_n}a1​​,⋯an​​。

令矩阵A=(a1⃗,⋯,an⃗)A = (\\vec{a_1}, \\cdots, \\vec{a_n})A=(a1​​,⋯,an​​)，则显然有AATAA^TAAT为半正定矩阵，则有二次型xAATx≥0xAA^Tx \\geq 0xAATx≥0。

此时，我们令$x=(1,\cdots ,1)$，即可得到不等式：

xAATx=∑i,j∑kaikajk=∑i≠j∑kaikajk+n≥0\\begin{aligned} xAA^Tx &= \\sum\\limits_{i, j}\\sum\\limits_{k}a_{ik}a_{jk} \\\\ &= \\sum\\limits_{i \\neq j}\\sum\\limits_{k}a_{ik}a_{jk} + n \\\\ &\\geq 0 \\end{aligned} xAATx​=i,j∑​k∑​aik​ajk​=i=j∑​k∑​aik​ajk​+n≥0​

故而有：

∑i≠j∑kaikajk≥−n\\sum\\limits_{i \\neq j}\\sum\\limits_{k}a_{ik}a_{jk} \\geq -n i=j∑​k∑​aik​ajk​≥−n

进一步，我们即有：

n(n−1)⋅max⁡i≠j(∑kaikajk)≥∑i≠j∑kaikajk≥−nn(n-1) \\cdot \\max\\limits_{i \\neq j}(\\sum\\limits_k a_{ik}a_{jk}) \\geq \\sum\\limits_{i \\neq j}\\sum\\limits_{k}a_{ik}a_{jk} \\geq -n n(n−1)⋅i=jmax​(k∑​aik​ajk​)≥i=j∑​k∑​aik​ajk​≥−n

即：

max⁡i≠j(ai⃗⋅aj⃗)≥−nn(n−1)=−1n−1\\max\\limits_{i \\neq j}(\\vec{a_i} \\cdot \\vec{a_j}) \\geq -\\frac{n}{n(n-1)} = -\\frac{1}{n-1} i=jmax​(ai​​⋅aj​​)≥−n(n−1)n​=−n−11​

亦即：

• 任意两个向量的cos距离的最大值不小于−1n−1-\\frac{1}{n-1}−n−11​，且当且仅当任意两个向量的cos距离均相同时取到最小值。

2. 一种构造

下面，我们只需要给出一种具体的构造来证明θ=arccos⁡(−1n−1)\\theta = \\arccos(-\\frac{1}{n-1})θ=arccos(−n−11​)可以取到即可。

我们令这$n$个向量分别为：

[−1n/(n−1)n(n−1)−1−1(n−1)(n−1)n/(n−1)n(n−1)n/(n−1)(n−1)(n−2)−1−2(n−1)(n−2)⋮⋮⋮⋱n/(n−1)n(n−1)n/(n−1)(n−1)(n−2)n/(n−1)(n−2)(n−3)⋯−1−m(n−1)(n−m）)⋮⋮⋮⋮⋱n/(n−1)n(n−1)n/(n−1)(n−1)(n−2)n/(n−1)(n−2)(n−3)⋯n/(n−1)(n−m)(n−m−1)⋯−1−n−2(n−1)⋅2n/(n−1)n(n−1)n/(n−1)(n−1)(n−2)n/(n−1)(n−2)(n−3)⋯n/(n−1)(n−m)(n−m−1)⋯n/(n−1)2⋅10]\\begin{bmatrix} -1 \\\\ \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{n(n-1)}} & -\\sqrt{1-\\frac{1}{(n-1)(n-1)}} \\\\ \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{n(n-1)}} & \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-1)(n-2)}} & -\\sqrt{1-\\frac{2}{(n-1)(n-2)}} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots \\\\ \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{n(n-1)}} & \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-1)(n-2)}} & \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-2)(n-3)}} & \\cdots & -\\sqrt{1-\\frac{m}{(n-1)(n-m）)}} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & & \\vdots & \\ddots \\\\ \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{n(n-1)}} & \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-1)(n-2)}} & \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-2)(n-3)}} & \\cdots & \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-m)(n-m-1)}} & \\cdots & -\\sqrt{1-\\frac{n-2}{(n-1)\\cdot 2}} \\\\ \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{n(n-1)}} & \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-1)(n-2)}} & \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-2)(n-3)}} & \\cdots & \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-m)(n-m-1)}} & \\cdots & \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{2 \\cdot 1}} & 0 \\end{bmatrix} ​−1n(n−1)​n/(n−1)​​n(n−1)​n/(n−1)​​⋮n(n−1)​n/(n−1)​​⋮n(n−1)​n/(n−1)​​n(n−1)​n/(n−1)​​​−1−(n−1)(n−1)1​​(n−1)(n−2)​n/(n−1)​​⋮(n−1)(n−2)​n/(n−1)​​⋮(n−1)(n−2)​n/(n−1)​​(n−1)(n−2)​n/(n−1)​​​−1−(n−1)(n−2)2​​⋮(n−2)(n−3)​n/(n−1)​​⋮(n−2)(n−3)​n/(n−1)​​(n−2)(n−3)​n/(n−1)​​​⋱⋯⋯⋯​−1−(n−1)(n−m）)m​​⋮(n−m)(n−m−1)​n/(n−1)​​(n−m)(n−m−1)​n/(n−1)​​​⋱⋯⋯​−1−(n−1)⋅2n−2​​2⋅1​n/(n−1)​​​0​​

则易证，这$n$个向量显然都是单位向量。

故而，对于任意两个向量vi⃗,vj⃗\\vec{v_i}, \\vec{v_j}vi​​,vj​​，i,j∈{0,⋯,n−1}i,j \\in \\{0, \\cdots, n-1\\}i,j∈{0,⋯,n−1}，它们的cos距离就是他们的向量点积。

我们不妨设$i<j$，则显然有：

vi⃗⋅vj⃗=∑k=1in/(n−1)(n−k+1)(n−k)⋅n/(n−1)(n−k+1)(n−k)−n/(n−1)(n−i)(n−i−1)⋅1−i(n−1)(n−i)=nn−1(1n−i−1n)−n(n−1)(n−i)=−1n−1\\begin{aligned} \\vec{v_i} \\cdot \\vec{v_j} &= \\sum\\limits_{k=1}^{i}\\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-k+1)(n-k)}} \\cdot \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-k+1)(n-k)}} - \\frac{\\sqrt{n/(n-1)}}{\\sqrt{(n-i)(n-i-1)}} \\cdot \\sqrt{1-\\frac{i}{(n-1)(n-i)}} \\\\ &= \\frac{n}{n-1}(\\frac{1}{n-i} - \\frac{1}{n}) - \\frac{n}{(n-1)(n-i)} \\\\ &= -\\frac{1}{n-1} \\end{aligned} vi​​⋅vj​​​=k=1∑i​(n−k+1)(n−k)​n/(n−1)​​⋅(n−k+1)(n−k)​n/(n−1)​​−(n−i)(n−i−1)​n/(n−1)​​⋅1−(n−1)(n−i)i​​=n−1n​(n−i1​−n1​)−(n−1)(n−i)n​=−n−11​​

由此，我们得到，对于这$n$个向量中的任意两个向量，他们的cos距离都是−1n−1-\\frac{1}{n-1}−n−11​，故而构造成立。

综上，命题即可证毕。

3. 引申思考

其实我同学给到我这个解法之后，我还有点想将其引申到更一般地情况，也就是说$n$个$m$维向量夹角的最小值的最大值。

不过可惜的是，哪怕$m=3$的情况，一时半会也想不到答案，就先放弃了，有兴趣的朋友可以一起想想，感觉还是挺有意思的题目。