n 元排列

\\quad 回顾一下，数域 $K$ 上的 $n$ 元线性方程组解的情况有几种？前面我们通过对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形已经解决了这个问题。

\\quad 但事实上，化完阶梯形后，这个方程组的求解已经完成的差不多了。换言之，题目已经求解完了，才知道有没有解。这样的效率实在太低了（尤其是当方程组很大、很复杂的时候）。

\\quad 于是，我们提出了新的问题：可否从线性方程组本身的特点（比如系数和常数项），来直接判断方程组是否有解？有解的时候，有多少解？

\\quad 如何研究这个问题呢？解剖麻雀！以一个二元线性方程组为例，观察研究数域 $K$ 上的一个二元一次方程组：

{a11x1+a12x2=b1a21x2+a22x2=b2a11,a21不全为零\\begin{cases} \\begin{aligned} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} &= b_{1} \\\\ a_{21} x_{2} + a_{22} x_{2} &=b_{2} \\end{aligned} \\end{cases}\\quad a_{11},a_{21} ~ \\text{不全为零} {a11​x1​+a12​x2​a21​x2​+a22​x2​​=b1​=b2​​​a11​,a21​ 不全为零
\\quad 该线性方程组的增广矩阵为：

(a11a12b1a21a22b2)\\left(\\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &b_{1}\\\\ a_{21} &a_{22} &b_{2} \\end{matrix} \\right) (a11​a21​​a12​a22​​b1​b2​​)

对其作初等行变换化为阶梯形：
(a11a21a12a21b1a210a11a22−a12a21b2a11−b1a21)\\left(\\begin{matrix} a_{11}a_{21} &a_{12}a_{21} &b_{1}a_{21}\\\\ 0 &a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} &b_{2}a_{11}-b_{1}a_{21} \\end{matrix} \\right) (a11​a21​0​a12​a21​a11​a22​−a12​a21​​b1​a21​b2​a11​−b1​a21​​)

显然，该方程组若有解（实际上是唯一解），则必有

a11a22−a12a21≠0a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\ne 0 a11​a22​−a12​a21​=0
因此，这个不等式很重要！值得重点研究。

\\quad 显然，该方程组的系数矩阵是一个 $2$ 级矩阵：

A=(a11a12a21a22)A = \\left(\\begin{matrix} a_{11} &a_{12}\\\\ a_{21} &a_{22} \\end{matrix}\\right) A=(a11​a21​​a12​a22​​)

\\quad 可以看到，重要不等式实际上是由二级矩阵 $A$ 中的元素组成的，不妨仿照系数矩阵 $A$ 的形式，定义：
∣a11a21a21a22∣:=a11a22−a12a21\\left|\\begin{matrix} a_{11} &a_{21}\\\\ a_{21} &a_{22} \\end{matrix}\\right|:=a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} ​a11​a21​​a21​a22​​​:=a11​a22​−a12​a21​
称其为二阶行列式。由于二阶行列式中的元素正是二级矩阵 $A$ 的元素，因此也称其为矩阵 $A$ 的行列式，记作 $|A|$ 或 $\det A$.

\\quad 于是可有结论：数域 $K$ 上系数矩阵为 $A$ 的二元一次方程组有唯一解 当且仅当 $|A|\ne 0$.

\\quad 简单证明一下：

• 充分性：即前面有关线性方程组解的情况的判定定理；
• 必要性：反证法，假设 $|A|=0$，由前面线性方程组解的判定定理可知，方程组无解或有无穷多解，从而产生矛盾。
• 因此是充分必要条件。

\\quad 这个结论具有很重要的意义，通过这个结论，可以直接判断二元一次方程组是否有解，而避免了对矩阵初等行变换化阶梯形的繁琐操作！

\\quad 自然而然地，我们期望将这样地结论推广到一般的 $n$ 个方程构成的 $n$ 元线性方程组！

\\quad 可以猜测，如果该结论可以推广，那么结论势必与 “$n$ 级矩阵的行列式” 有关，即“$n$ 阶行列式”。为此，我们需要推广行列式的概念！

\\quad 如何定义 $n$ 阶行列式呢？还是先解剖麻雀，看一看二阶行列式有什么特点？
∣a11a21a21a22∣:=a11a22−a12a21\\left|\\begin{matrix} a_{11} &a_{21}\\\\ a_{21} &a_{22} \\end{matrix}\\right|:=a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} ​a11​a21​​a21​a22​​​:=a11​a22​−a12​a21​
\\quad 仔细观察二阶行列式，有如下特点：

• 二阶行列式有 $2!=2$ 项；
• 每一项是来自不同行和不同列的两个元素的乘积；
• 乘法是有交换律的，但我们可以有意识地将每一项按行指标成自然序（即从小到大）排好位置。此时，列指标所成排列为 $12,21$，正好是 $1,2$ 两个数的全排列，而由 $1,2$ 组成的全排列恰有 $2!=2$ 项。
• 列指标为 $12$ 的项符号为正，列指标为 $21$ 的项符号为负。

\\quad 方便起见，引进几个概念。

n 元排列：$1,2,\cdots ,n$ 的一个全排列，称为一个 $n$ 元排列。显然，由 $1,2,\cdots ,n$ 形成的全排列共有 $n!$ 个。

n 元排列’：$n$ 元排列的概念可以推广到任意的 $n$ 个数。

例题：$3$ 元排列有：$123,132,213,231,312,321$.

例题：$2431$ 是一个 $4$ 元排列。

\\quad 观察全排列 $2431$：

• 从左到右，顺序的数对有：$24,23$；
• 从左到右，逆序的数对有：$21,43,41,31$.

逆序数：设 a1a2⋯ana_{1}a_{2}\\cdots a_{n}a1​a2​⋯an​ 是一个 $n$ 元排列，则称其逆序的数对个数为逆序数，记作 τ(a1a2⋯an)\\tau(a_{1}a_{2}\\cdots a_{n})τ(a1​a2​⋯an​)。

例题：$4$ 元排列 $2431$ 的逆序数为 $4$，即 $\tau (2431)=4$.

偶排列与奇排列：逆序数为偶数的全排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。

例题：$2341$ 是一个奇排列，$2143$ 是一个偶排列。

对换：设 a1⋯ai⋯aj,⋯ana_{1}\\cdots a_{i} \\cdots a_{j},\\cdots a_{n}a1​⋯ai​⋯aj​,⋯an​ 是一个 $n$ 元排列，将 aia_{i}ai​ 与 aja_{j}aj​ 对换位置可得新的 $n$ 元排列 a1⋯aj⋯ai⋯ana_{1}\\cdots a_{j}\\cdots a_{i}\\cdots a_{n}a1​⋯aj​⋯ai​⋯an​，称这样的变换为一个对换，记作 $(i,j)$。

例题：奇排列 $2431$ 经过对换 $(3,1)$ 变成偶排列 $2143$.

定理：对换会改变排列的奇偶性。

证明：

\\quad 先证特殊的情形：对换 $n$ 元排列中相邻的两个数。

⋯p⋯ij⋯q(I)↓(i,j)⋯p⋯ji⋯q(II)\\begin{matrix} \\begin{aligned} \\cdots p \\cdots i~j \\cdots q \\quad &(I)\\\\ \\downarrow(i,j) \\quad \\\\ \\cdots p \\cdots j~i \\cdots q \\quad &(II) \\end{aligned} \\end{matrix} ⋯p⋯i j⋯q↓(i,j)⋯p⋯j i⋯q​(I)(II)​​
显然，$i,j$ 与 $i,j$ 之外的数构成的数对在经过对换 $(i,j)$ 后，奇偶性并未发生变化。若数对 $ij$ 在对换前为顺序，则对换后变为逆序，逆序数加一；反之，若数对 $ij$ 在对换前为逆序，则对换后变为顺序，逆序数减一。前一情形中，$(I)$ 比 $(II)$ 逆序数少一；后一情形中，$(I)$ 比 $(II)$ 逆序数多一，因此无论怎样，$(I)$ 与 $(II)$ 的奇偶性相反。

\\quad 再证一般的情形：对换的两个数不相邻。

⋯ik1⋯ksj⋯(III)↓(i,j)⋯jk1⋯ksi⋯(IV)\\begin{matrix} \\begin{aligned} \\cdots i ~ k_{1}\\cdots k_{s} ~ j \\cdots \\quad &(III)\\\\ \\downarrow (i,j)\\quad \\quad\\quad\\\\ \\cdots j ~ k_{1}\\cdots k_{s} ~ i \\cdots \\quad &(IV) \\end{aligned} \\end{matrix} ⋯i k1​⋯ks​ j⋯↓(i,j)⋯j k1​⋯ks​ i⋯​(III)(IV)​​

显然，$(III)$ 需要经过 $2s+1$ 次相邻对换变为 $(IV)$，$2s+1$ 是奇数，因此 $(III)$ 与 $(IV)$ 的奇偶性相反。

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参考：

• 邱维声. 高等代数课程.