【泛函分析】Thomae function

定义 $\mathbb{R}$ 上的函数(Thomae function):

f(x)={0x∈R−Q1q∣x∣=pq,gcd⁡(p,q)=1f(x) = \\begin{cases} &0 & x\\in \\mathbb{R}-\\mathbb{Q}\\\\ &\\frac{1}{q} & |x|=\\frac{p}{q}, \\gcd(p,q)=1 \\end{cases} f(x)={​0q1​​x∈R−Q∣x∣=qp​,gcd(p,q)=1​
可以证明: 此函数在有理数点上连续的, 在无理数点上不连续的.
说明: 下文所指的 $n$, n∈N+n\\in \\mathbb{N}^{+}n∈N+ 分点是指 {kn,k∈Z}\\{\\frac{k}{n}, k\\in \\mathbb{Z}\\}{nk​,k∈Z}.
(1) 若 $x\in \mathbb{Q}$, $f(x)\ne 0$, 则对于 $\forall \delta >0$, $(x-\delta ,x+\delta )$ 中存在无理数 x′x'x′, f(x′)=0f(x')=0f(x′)=0, ∣f(x)−f(x′)∣=∣f(x)∣|f(x)-f(x')| = |f(x)|∣f(x)−f(x′)∣=∣f(x)∣, 因此函数在 $x$ 中不连续.

(2) 若 $x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$, 则对于 $\forall \delta >0$, 记 floor(1δ)=N\\mathrm{floor}(\\frac{1}{\\delta})=Nfloor(δ1​)=N, 对于 $n>N$, $(x-\delta ,x+\delta )$ 中必然 $n$ 分割点, 对于 $n=1,\dots ,N$, 记 d=inf⁡{∣x−mn∣∣0≤m≤n,1≤n≤N,m,n∈N+}d=\\inf\\{|x-\\frac{m}{n}||0\\leq m\\leq n, 1\\leq n\\leq N, m,n\\in \\mathbb{N}^{+}\\}d=inf{∣x−nm​∣∣0≤m≤n,1≤n≤N,m,n∈N+}, 对于 δ′<d\\delta'\\lt dδ′<d, (x−δ′,x+δ′)(x-\\delta', x+\\delta')(x−δ′,x+δ′) 只包含 $n>N$ 的分点, 因此在此区间内的有理数点的取值范围为 {1n∣n>N}\\{\\frac{1}{n}|n\\gt N\\}{n1​∣n>N}. 对于 $\forall ϵ>0$, 取 $\delta >0$ 满足: floor(1δ)>1ϵ{\\mathrm{floor}(\\frac{1}{\\delta})}\\gt \\frac{1}{\\epsilon}floor(δ1​)>ϵ1​, 则当 ∣x′−x∣≤δ|x'-x|\\leq \\delta∣x′−x∣≤δ 时, 若 x′∈Qx'\\in \\mathbb{Q}x′∈Q, ∣f(x)′−f(x)∣=∣f(x′)∣<1floor(1δ)<ϵ|f(x)'-f(x)|=|f(x')|\\lt \\frac{1}{\\mathrm{floor}(\\frac{1}{\\delta})}\\lt \\epsilon∣f(x)′−f(x)∣=∣f(x′)∣<floor(δ1​)1​<ϵ, 若 x′∈R−Qx'\\in \\mathbb{R}-\\mathbb{Q}x′∈R−Q 时, ∣f(x′)−f(x)∣=0|f(x')-f(x)|=0∣f(x′)−f(x)∣=0, 证毕.

参考: Thomae function, University of Washington.