Chapter8.2：PID控制器设计及MATLAB_SIMULINK应用

该系列博客主要讲述Matlab软件在自动控制方面的应用，如无自动控制理论基础，请先学习自动控制系列博文，该系列博客不再详细讲解自动控制理论知识。
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博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

2.PID控制器设计及MATLAB/SIMULINK应用

2.1 PID控制器概述

• $\mathrm{PID}$控制器由比例环节$(\mathrm{P})$、积分环节$(\mathrm{I})$和微分环节$(\mathrm{D})$组成；

• 基本的$\mathrm{PID}$控制规律描述：
  Gc(s)=Kp+KIs+KDsG_c(s)=K_p+\\frac{K_I}{s}+K_Ds Gc​(s)=Kp​+sKI​​+KD​s

• $\mathrm{PID}$控制器优点：

  • 原理简单，使用方便，$\mathrm{PID}$参数(Kp、KI、KD)({\\rm K_p、K_I、K_D})(Kp​、KI​、KD​)可以根据过程动态特性进行调整；
  • 适应性强，按$\mathrm{PID}$控制规律进行工作的控制器早已商品化；
  • 鲁棒性强，控制品质对被控制对象特性的变化不太敏感；

• $\mathrm{PID}$控制器缺点：

  • $\mathrm{PID}$在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程时，效果不太好；
  • 如果$\mathrm{PID}$控制器不能控制复杂过程，怎么调参数都没用；

2.2 比例环节

• 比例控制：其控制器的输出与输入误差信号成比例关系，仅有比例控制时，系统输出存在稳态误差；

• 比例控制器传递函数为：
  Gc(s)=Kp；其中：Kp为比例系数G_c(s)=K_p；其中：K_p为比例系数 Gc​(s)=Kp​；其中：Kp​为比例系数

• 对于单位反馈系统，$0$型系统响应实际阶跃信号R0(t)R_0(t)R0​(t)的稳态误差与其开环增益$K$近似成反比，即lim⁡t→∞e(t)=R01+K\\displaystyle\\lim_{t\\to\\infty}e(t)=\\displaystyle\\frac{R_0}{1+K}t→∞lim​e(t)=1+KR0​​；

• 对于单位反馈系统，Ⅰ型系统响应斜坡信号R1(t)R_1(t)R1​(t)的稳态误差与其开环增益KvK_vKv​近似成反比，即lim⁡t→∞e(t)=R1Kv\\displaystyle\\lim_{t\\to\\infty}e(t)=\\displaystyle\\frac{R_1}{K_v}t→∞lim​e(t)=Kv​R1​​；

• $\mathrm{P}$控制只改变系统的增益不影响其相位，对系统的影响主要反映在系统的稳态误差和稳定性上；

• 增大比例系数可提高系统的开环增益、减小系统的稳态误差，提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性，甚至造成闭环系统的不稳定；

• 在系统校正和设计中，$\mathrm{P}$控制一般不单独使用；

• 比例控制器系统结构如下：

  

• 系统特征方程：D(s)=1+KpG(s)H(s)=0D(s)=1+K_pG(s)H(s)=0D(s)=1+Kp​G(s)H(s)=0；

实验要求：已知控制系统如下图所示，其中G(s)=1(s+1)(2s+1)(5s+1)G(s)=\\displaystyle\\frac{1}{(s+1)(2s+1)(5s+1)}G(s)=(s+1)(2s+1)(5s+1)1​，$H(s)$为单位反馈，对系统采用纯比例控制，比例系数分别为：Kp=0.1、2.0、2.4、3.0、3.5K_p=0.1、2.0、2.4、3.0、3.5Kp​=0.1、2.0、2.4、3.0、3.5，求解各比例系数下系统的单位阶跃响应，绘制响应曲线。

解：

% 实例Chapter8.2.2
clc;clear;% 建立控制系统模型
num=[1];den=conv(conv([1,1],[2,1]),[5,1]);
G=tf(num,den);
kp=[0.1,2.0,2.4,3.0,3.5];for i=1:5G=feedback(kp(i)*G,1);step(G);hold on;
endlegend('K=0.1','K=2.0','K=2.4','K=3.0','K=3.5');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('不同Kp值控制系统单位阶跃响应曲线','FontSize',15);

• 随着KpK_pKp​的增大，系统响应速度越快，系统超调量增加，调节时间增长，当Kp{\\rm K_p}Kp​增大到一定值后，闭环系统将趋于不稳定；

2.3 比例微分环节

• 具有比例加微分控制规律的控制称为$\mathrm{PD}$控制，$\mathrm{PD}$的传递函数为：
  Gc(s)=Kp+Kpτs；其中：Kp为比例系数，τ为微分时间常数G_c(s)=K_p+K_p\\tau{s}；其中：K_p为比例系数，\\tau为微分时间常数 Gc​(s)=Kp​+Kp​τs；其中：Kp​为比例系数，τ为微分时间常数

• 具有$\mathrm{PD}$控制器的系统结构如下图所示：

  

• $\mathrm{PD}$控制器的输出信号为：
  u(t)=Kpe(t)+Kpτde(t)dtu(t)=K_pe(t)+K_p\\tau\\frac{{\\rm d}e(t)}{{\\rm d}t} u(t)=Kp​e(t)+Kp​τdtde(t)​

• 微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分(即误差的变化率)成正比关系；

• 微分控制反映误差的变化率，只有当误差随时间变化时，微分控制才会对系统起作用，对无变化或缓慢变化的对象不起作用；

• 微分控制不能单独与被控对象串联使用，只能构成$\mathrm{PD}$或$\mathrm{PID}$控制；

• 自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至不稳定，是因为存在较大惯性的环节或有滞后的环节，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化；

• 解决办法：使抑制误差作用的变化"超前"，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零；

• 控制器中比例项的作用是放大误差的幅值，增加的"微分项"能预测误差变化的趋势，"比例+微分"的控制器，能提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至负值，从而避免被控量的严重超调；

• 实际应用中，当设定值有突变时，为了防止由于微分控制输出的跳变，常把微分控制环节设置在反馈回路中，称为微分先行，即微分运算只对测量信号进行，而不对设定信号进行；

实验要求：已知控制系统如下图所示，其中G(s)=1(s+1)(2s+1)(5s+1)G(s)=\\displaystyle\\frac{1}{(s+1)(2s+1)(5s+1)}G(s)=(s+1)(2s+1)(5s+1)1​，$H(s)$为单位反馈，对系统采用比例微分控制，比例系数为：Kp=2K_p=2Kp​=2，微分系数分别为：$\tau =0、0.3、0.7、1.5、3$，求解各比例微分系数下系统的单位阶跃响应，绘制响应曲线。

解：

% 实例Chapter8.2.3
clc;clear;% 建立控制系统模型
tau=[0,0.3,0.7,1.5,3];kp=2;
num=[1];den=conv(conv([1,1],[2,1]),[5,1]);
G=tf(num,den);for i=1:5G1=tf([kp*tau(i),kp],1);sys=feedback(G1*G,1);step(sys);hold on;
endlegend('τ=0','τ=0.3','τ=0.7','τ=1.5','τ=3');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('不同τ值控制系统单位阶跃响应曲线','FontSize',15);

2.4 积分环节

• 具有积分控制规律的控制称为积分控制，即$\mathrm{I}$控制，$\mathrm{I}$控制传递函数为：
  Gc(s)=K1s；其中：K1为积分系数；G_c(s)=\\frac{K_1}{s}；其中：K_1为积分系数； Gc​(s)=sK1​​；其中：K1​为积分系数；

• 控制器的输出信号为：
  u(t)=K1∫0te(t)dtu(t)=K_1\\int_0^te(t){\\rm d}t u(t)=K1​∫0t​e(t)dt

• 或称积分控制器输出信号$u(t)$的变化率与输入信号$e(t)$成正比，即：
  du(t)dt=K1e(t)\\frac{{\\rm d}u(t)}{{\\rm d}t}=K_1e(t) dtdu(t)​=K1​e(t)

• 对于一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，称为有差系统；

• 为了消除稳态误差，在控制器中必须引入积分项，积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大，即使误差很小，积分项随着时间的增加而增大，推动控制器的输出增大，使稳态误差进一步减小，直到等于零；

• 采用积分控制是要使控制系统无稳态误差，但积分项引入后会产生相位滞后，从而导致系统稳定性变差，积分控制一般不单独使用，通常结合比例控制器构成比例积分$(\mathrm{PI})$控制器；

2.5 比例积分控制

• 具有比例加积分控制规律的控制称为比例积分控制，即$\mathrm{PI}$控制，$\mathrm{PI}$控制的传递函数为：
  Gc(s)=Kp+KpTi⋅1s=Kp(s+1Ti)sG_c(s)=K_p+\\frac{K_p}{T_i}·\\frac{1}{s}=\\frac{K_p(s+\\displaystyle\\frac{1}{T_i})}{s} Gc​(s)=Kp​+Ti​Kp​​⋅s1​=sKp​(s+Ti​1​)​
  其中：KpK_pKp​为比例系数，TiT_iTi​为积分时间常数；

• 控制器的输出信号为：
  u(t)=Kpe(t)+KpTi∫0te(t)dtu(t)=K_pe(t)+\\frac{K_p}{T_i}\\int_0^te(t){\\rm d}t u(t)=Kp​e(t)+Ti​Kp​​∫0t​e(t)dt

• $\mathrm{PI}$控制器可以使系统在进入稳态后无稳态误差，$\mathrm{PI}$控制器与被控对象串联连接时，相当于在系统中增加一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于$s$左半平面的开环零点；

• 位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；

• 增加的负实部零点可以减小系统的阻尼比，缓和$\mathrm{PI}$控制器极点对系统稳定性及动态过程产生的不利影响；

实验要求：已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为：G(s)=1(s+1)(2s+1)(5s+1)G(s)=\\displaystyle\\frac{1}{(s+1)(2s+1)(5s+1)}G(s)=(s+1)(2s+1)(5s+1)1​，采用比例积分控制，比例系数为Kp=2K_p=2Kp​=2，积分时间常数分别取：Ti=3、6、14、21、28T_i=3、6、14、21、28Ti​=3、6、14、21、28，求各比例积分系数下系统的单位阶跃响应，并绘制响应曲线。

解：

% 实例Chapter8.2.5
clc;clear;% 建立控制系统模型
ti=[3,6,14,21,28];kp=2;num=[1];den=conv(conv([1,1],[2,1]),[5,1]);
G=tf(num,den);for i=1:5G1=tf([kp,kp/ti(i)],[1,0]);sys=feedback(G1*G,1);step(sys);hold on;
endlegend('Ti=3','Ti=6','Ti=14','Ti=21','Ti=28');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('不同Ti值控制系统单位阶跃响应曲线','FontSize',15);

2.6 比例积分微分控制

• 具有比例积分微分控制规律的控制称为比例积分微分控制，即$\mathrm{PID}$控制；

• $\mathrm{PID}$控制的传递函数为：
  Gc(s)=Kp+KpTi⋅1s+Kpτs=KpTi⋅Tiτs2+Tis+1sG_c(s)=K_p+\\frac{K_p}{T_i}·\\frac{1}{s}+K_p\\tau{s}=\\frac{K_p}{T_i}·\\frac{T_i\\tau{s^2}+T_is+1}{s} Gc​(s)=Kp​+Ti​Kp​​⋅s1​+Kp​τs=Ti​Kp​​⋅sTi​τs2+Ti​s+1​
  其中：KpK_pKp​为比例系数，TiT_iTi​为积分时间常数，$\tau$为微分时间常数；

• $\mathrm{PID}$控制器的输出信号为：
  u(t)=Kpe(t)+KpTi∫0te(t)dt+Kpτde(t)dtu(t)=K_pe(t)+\\frac{K_p}{T_i}\\int_0^te(t){\\rm d}t+K_p\\tau\\frac{{\\rm d}e(t)}{{\\rm d}t} u(t)=Kp​e(t)+Ti​Kp​​∫0t​e(t)dt+Kp​τdtde(t)​

• $\mathrm{PID}$控制器与被控对象串联连接时，可以使系统的类型级别提高一级，提供两个负实部的零点；

• $\mathrm{PID}$控制器具有提高系统稳态性能的优点，还多提供了一个负实部零点，在提高系统动态性能方面具有更大的优势；

• $\mathrm{PID}$控制通过积分作用消除误差，微分控制可缩小超调量、加快系统响应；从频域看，$\mathrm{PID}$控制通过积分作用于系统的低频段，提高系统的稳态性能，微分作用于系统的中频段，改善系统的动态性能；

2.7 PID控制器参数整定

$\mathrm{PID}$控制器参数整定方法：

• 理论计算整定法：依据控制系统的数学模型，经过理论计算确定控制器参数，理论计算的方法得到的计算数据不一定能直接使用，需要通过工程实际进行调整和修改；
• 工程整定法：主要有$\mathrm{Ziegler}-\mathrm{Nichols}$整定法、临界比例整定法、衰减曲线法；工程整定法不需要事先知道过程的数学模型，直接在过程控制中进行现场整定，方法简单，计算简便，易于掌握；

2.7.1 Ziegler-Nichols整定法

• $\mathrm{Ziegler}-\mathrm{Nichols}$法是一种基于频域设计$\mathrm{PID}$控制器的方法，基于频域的参数整定需要参考模型，首先需要辨识出一个能较好反映被控对象频域特性的二阶模型，根据模型，结合给定的性能指标推导出公式，用于$\mathrm{PID}$参数的整定；

• 基于频域的设计方法在一定程度上回避了精确的系统建模，且有较明确的物理意义，比常规的$\mathrm{PID}$控制有更多的可适应场合；

• $\mathrm{Ziegler}-\mathrm{Nichols}$法是根据给定对象的瞬态响应特性来确定$\mathrm{PID}$控制器参数，首先通过实验获取控制对象单位阶跃响应，如下图所示：

  

• 如果单位阶跃响应曲线像一条$\mathrm{S}$形曲线，则可用$\mathrm{Ziegler}-\mathrm{Nichols}$法，否则不能用；

• $\mathrm{S}$形曲线用延迟时间$\mathrm{L}$和时间常数$\mathrm{T}$描述，则对象传递函数近似为：
  C(s)R(s)=Ke−LsTs+1\\frac{C(s)}{R(s)}=\\frac{K{\\rm e}^{-Ls}}{Ts+1} R(s)C(s)​=Ts+1Ke−Ls​

• $\mathrm{Ziegler}-\mathrm{Nichols}$法整定控制器参数公式计算如下表：

  $控制器类型$	$比例度\delta /\%$	积分时间Ti积分时间T_i积分时间Ti​	$微分时间\tau$
  $\mathrm{P}$	T(K⋅L)\\displaystyle\\frac{T}{(K·L)}(K⋅L)T​	$\infty$	$0$
  $\mathrm{PI}$	0.9T(K⋅L)0.9\\displaystyle\\frac{T}{(K·L)}0.9(K⋅L)T​	L0.3\\displaystyle\\frac{L}{0.3}0.3L​	$0$
  $\mathrm{PID}$	1.2T(K⋅L)1.2\\displaystyle\\frac{T}{(K·L)}1.2(K⋅L)T​	$2.2L$	$0.5L$

2.7.2 实战1

实验要求：已知控制系统如下图所示，系统开环传递函数为：G(s)=8(360s+1)e−180sG(s)=\\displaystyle\\frac{8}{(360s+1)}{\\rm e}^{-180s}G(s)=(360s+1)8​e−180s，采用$\mathrm{Ziegler}-\mathrm{Nichols}$整定公式计算系统$\mathrm{P}、\mathrm{PI}、\mathrm{PID}$控制器的参数，并绘制整定后系统的单位阶跃响应曲线。

解：

【$STEP1$】：建立$\mathrm{SIMULINK}$仿真模型。

• $\mathrm{Integrator}$为积分器，$\mathrm{Derivative}$为微分器，$\mathrm{Kp}$为比例系数Kp{\\rm K_p}Kp​，$1/Ti$为积分时间常数TiT_iTi​，$\mathrm{tau}$为微分时间常数$\mathrm{tau}$；
• 进行$\mathrm{P}$控制器参数整定时，微分器和积分器的输出不连接系统，在$\mathrm{SIMULINK}$模型中，将微分器和积分器的输出连线断开；进行$\mathrm{PI}$控制器参数整定时，微分器的输出连线断开；

【$STEP2$】：获取开环系统的单位阶跃响应。

• 在$\mathrm{SIMULINK}$模型中，把反馈连线、微分器的输出连线、积分器的输出连线断开，$\mathrm{Kp}$的值设置为$1$，滞后时间$180$；

• 系统开环单位阶跃响应曲线如下：

  

• 由开环单位阶跃响应曲线可得：
  $$L=180，T=540-180=360，K=8$$

【$STEP3$】：控制器整定。

• $\mathrm{P}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=0.25K_p=0.25Kp​=0.25，将Kp{\\rm K_p}Kp​的值设置为$0.25$，微分器和积分器连线断开；

• $\mathrm{P}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

• $\mathrm{PI}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=0.225K_p=0.225Kp​=0.225，积分时间常数为：Ti=594T_i=594Ti​=594，将$\mathrm{Kp}$的值设置为$0.225$，将1/Ti{\\rm 1/T_i}1/Ti​的值设置为$1/594$，微分器连线断开；

• $\mathrm{PI}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

• $\mathrm{PID}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=0.3K_p=0.3Kp​=0.3，积分时间常数为：Ti=396T_i=396Ti​=396，微分时间常数为：$\tau =90$，将$\mathrm{Kp}$的值设置为$0.225$，将1/Ti{\\rm 1/T_i}1/Ti​的值设置为$1/594$，将$\tau$的值设置为$90$；

• $\mathrm{PID}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

2.7.3 实战2

实验要求：已知控制系统如下所示，其中系统开环传递函数为：G(s)=1.67(4.05s+1)⋅8.22(s+1)e−1.5sG(s)=\\displaystyle\\frac{1.67}{(4.05s+1)}·\\displaystyle\\frac{8.22}{(s+1)}{\\rm e}^{-1.5s}G(s)=(4.05s+1)1.67​⋅(s+1)8.22​e−1.5s，采用$\mathrm{Ziegler}-\mathrm{Nichols}$整定公式计算系统$\mathrm{P}、\mathrm{PI}、\mathrm{PID}$控制器的参数，并绘制整定后系统的单位阶跃响应曲线。

解：

【$STEP1$】：建立$\mathrm{SIMULINK}$仿真模型。

• $\mathrm{Integrator}$为积分器，$\mathrm{Derivative}$为微分器，$\mathrm{Kp}$为比例系数Kp{\\rm K_p}Kp​，$1/Ti$为积分时间常数TiT_iTi​，$\mathrm{tau}$为微分时间常数$\mathrm{tau}$；
• 进行$\mathrm{P}$控制器参数整定时，微分器和积分器的输出不连接系统，在$\mathrm{SIMULINK}$模型中，将微分器和积分器的输出连线断开；进行$\mathrm{PI}$控制器参数整定时，微分器的输出连线断开；

【$STEP2$】：获取开环系统的单位阶跃响应。

• 在$\mathrm{SIMULINK}$模型中，把反馈连线、微分器的输出连线、积分器的输出连线断开，$\mathrm{Kp}$的值设置为$1$，滞后时间$1.5$；

• 系统开环单位阶跃响应曲线如下：

  

• 由开环单位阶跃响应曲线可得：
  $$L=2.2，T=9.2-2.2=7，K=13.727$$

【$STEP3$】：控制器整定。

• $\mathrm{P}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=0.2318K_p=0.2318Kp​=0.2318，将Kp{\\rm K_p}Kp​的值设置为$0.2318$，微分器和积分器连线断开；

• $\mathrm{P}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

• $\mathrm{PI}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=0.2086K_p=0.2086Kp​=0.2086，积分时间常数为：Ti=7.3333T_i=7.3333Ti​=7.3333，将$\mathrm{Kp}$的值设置为$0.2086$，将1/Ti{\\rm 1/T_i}1/Ti​的值设置为$1/7.3333$，微分器连线断开；

• $\mathrm{PI}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

• $\mathrm{PID}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=0.3K_p=0.3Kp​=0.3，积分时间常数为：Ti=4.84T_i=4.84Ti​=4.84微分时间常数为：$\tau =1.1$，将$\mathrm{Kp}$的值设置为$0.3$，将1/Ti{\\rm 1/T_i}1/Ti​的值设置为$1/4.84$，将$\tau$的值设置为$1.1$；

• $\mathrm{PID}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

2.7.4 临界比例度法

• 临界比例度法适用于已知对象传递函数的场合，在闭合的控制系统里，将调节器置于纯比例作用，从大到小逐渐改变调节器的比例度，得到等幅振荡的过渡过程；

• 此时的比例度称为临界比例度δk\\delta_kδk​，相邻两个波峰间的时间间隔称为临界振荡周期TkT_kTk​；

• 采用临界比例度法时，系统产生临界振荡的条件是系统的阶数是$3$阶或$3$阶以上；

• 临界比例度法步骤：

  • 将调节器的积分时间TiT_iTi​置于最大(Ti=∞)(T_i=\\infty)(Ti​=∞)，微分时间置零$(\tau =0)$，比例度$\delta$取适当值，平衡操作一段时间，把系统投入自动运行；

  • 将比例度$\delta$逐渐减小，得到等幅振荡过程，记录临界比例度δk\\delta_kδk​和临界振荡周期TkT_kTk​的值；

  • 根据δk\\delta_kδk​和TkT_kTk​的值，根据经验公式，计算调节器的各个参数，经验公式如下：

    $控制器类型$	$比例度\delta /\%$	积分时间Ti积分时间T_i积分时间Ti​	$微分时间\tau$
    $\mathrm{P}$	2δk2\\delta_k2δk​	$\infty$	$0$
    $\mathrm{PI}$	2.2δk2.2\\delta_k2.2δk​	0.833Tk0.833T_k0.833Tk​	$0$
    $\mathrm{PID}$	1.7δk1.7\\delta_k1.7δk​	0.50Tk0.50T_k0.50Tk​	0.125Tk0.125T_k0.125Tk​

• 按照"先$\mathrm{P}$后$\mathrm{I}$最后$\mathrm{D}$"的操作顺序将调节器整定参数调到计算值上；

• 临界比例度整定法注意事项：

  • 有的过程控制系统，临界比例度很小，调节阀不是全关就是全开，对工业生产不利；
  • 有的过程控制系统，当调节器比例度$\delta$调到最小刻度值时，系统仍不产生等幅振荡，此时，将最小刻度的比例度作为临界比例度δk\\delta_kδk​进行调节器参数整定；

2.7.5 实战3

实验要求：已知控制系统如下所示，其中系统开环传递函数为：G(s)=1s(s+1)(s+5)G(s)=\\displaystyle\\frac{1}{s(s+1)(s+5)}G(s)=s(s+1)(s+5)1​，采用临界比例度法计算系统$\mathrm{P}、\mathrm{PI}、\mathrm{PID}$控制器的参数，并绘制整定后系统的单位阶跃响应曲线。

解：

【$STEP1$】：建立$\mathrm{SIMULINK}$仿真模型。

【$STEP2$】：获取等幅振荡曲线。

• 临界比例度整定法需要先获取系统的等幅振荡曲线，在$\mathrm{SIMULINK}$中，把微分器的输出连线、积分器的输出连线都断开，$\mathrm{Kp}$的值从大到小进行试验，观察示波器的输出进行调节，直到输出等于等幅振荡；

• 等幅振荡曲线如下：

  

• 出现等幅振荡时，$Kp=30$，此时Tk=2.81T_k=2.81Tk​=2.81；

【$STEP3$】：控制器整定。

• $\mathrm{P}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=15K_p=15Kp​=15，将Kp{\\rm K_p}Kp​的值设置为$15$，微分器和积分器连线断开；

• $\mathrm{P}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

• $\mathrm{PI}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=13.5K_p=13.5Kp​=13.5，积分时间常数为：Ti=2.3417T_i=2.3417Ti​=2.3417，将$\mathrm{Kp}$的值设置为$13.5$，将1/Ti{\\rm 1/T_i}1/Ti​的值设置为$1/2.3417$，微分器连线断开；

• $\mathrm{PI}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

• $\mathrm{PID}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=17.6471K_p=17.6471Kp​=17.6471，积分时间常数为：Ti=1.405T_i=1.405Ti​=1.405微分时间常数为：$\tau =0.35124$，将$\mathrm{Kp}$的值设置为$17.6471$，将1/Ti{\\rm 1/T_i}1/Ti​的值设置为$1/1.405$，将$\tau$的值设置为$0.35124$；

• $\mathrm{PID}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

【注】：工程整定方法依据的是经验公式，不是任何情况下都适用，按照经验公式整定的$\mathrm{PID}$参数需要进一步调整才能实际应用。

2.7.6 衰减曲线法

• 衰减曲线法根据衰减频率特性整定控制器参数；把控制系统中调节器参数设置成纯比例作用(Ti=∞,τ=0)(T_i=\\infty,\\tau=0)(Ti​=∞,τ=0),使系统投入运行，再把比例度$\delta$从大逐渐调小，直到出现$4:1$衰减过程曲线，如下图所示：

  

• 由衰减曲线可知，此时的比例度为$4:1$，即P1P2=4:1\\displaystyle\\frac{P_1}{P_2}=4:1P2​P1​​=4:1，衰减比例度为δs\\delta_sδs​，上升时间为trt_rtr​，两个相邻波峰间的时间间隔TsT_sTs​称为$4:1$衰减振荡周期；

• 衰减曲线法整定控制器参数经验公式如下：

  $控制器类型$	$比例度\delta /\%$	积分时间Ti积分时间T_i积分时间Ti​	$微分时间\tau$
  $\mathrm{P}$	δs\\delta_sδs​	$\infty$	$0$
  $\mathrm{PI}$	1.2δs1.2\\delta_s1.2δs​	2tr或0.5Ts2t_r或0.5T_s2tr​或0.5Ts​	$0$
  $\mathrm{PID}$	0.8δs0.8\\delta_s0.8δs​	1.2tr或0.3Ts1.2t_r或0.3T_s1.2tr​或0.3Ts​	0.4tr或0.1Ts0.4t_r或0.1T_s0.4tr​或0.1Ts​

• 按照"先$\mathrm{P}$后$\mathrm{I}$最后$\mathrm{D}$"的操作顺序将调节器整定参数调到计算值上；

• 衰减曲线法注意事项：

  • 反应较快的控制系统，要认定$4:1$衰减曲线和读出TsT_sTs​比较困难，此时可用记录指针来回摆动两次就达到稳定做$4:1$衰减过程；
  • 在生产过程中，负荷变化会影响过程特性，当负荷变化较大时，必须重新整定控制器参数值；
  • 若认为$4:1$衰减太慢，可采用$10:1$衰减过程，步骤与$4:1$一样，仅使用的经验公式不同；

2.7.7 实战4

试验要求：已知控制系统如下所示，其中系统开环传递函数为：G(s)=6(s+1)(s+2)(s+3)G(s)=\\displaystyle\\frac{6}{(s+1)(s+2)(s+3)}G(s)=(s+1)(s+2)(s+3)6​，采用衰减曲线法计算系统$\mathrm{P}、\mathrm{PI}、\mathrm{PID}$控制器参数，并绘制整定后系统的单位阶跃曲线。

解：

【$STEP1$】：建立$\mathrm{SIMULINK}$仿真模型。

【$STEP2$】：获取衰减曲线。

• 衰减曲线整定法需要先获取系统的衰减曲线，在$\mathrm{SIMULINK}$中，把微分器的输出连线、积分器的输出连线都断开，$\mathrm{Kp}$的值从大到小进行试验，观察示波器的输出进行调节，直到输出$4:1$衰减振荡曲线；

• 衰减曲线如下：

  

• 衰减曲线出现时，Kp=3.823K_p=3.823Kp​=3.823，且有Ts=4.24−1.55=2.69T_s=4.24-1.55=2.69Ts​=4.24−1.55=2.69；

【$STEP3$】：控制器整定。

• $\mathrm{P}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=3.823K_p=3.823Kp​=3.823，将Kp{\\rm K_p}Kp​的值设置为$3.823$，微分器和积分器连线断开；

• $\mathrm{P}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

• $\mathrm{PI}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=3.1858K_p=3.1858Kp​=3.1858，积分时间常数为：Ti=1.345T_i=1.345Ti​=1.345，将$\mathrm{Kp}$的值设置为$3.1858$，将1/Ti{\\rm 1/T_i}1/Ti​的值设置为$1/1.345$，微分器连线断开；

• $\mathrm{PI}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

• $\mathrm{PID}$控制器整定时，比例放大系数为：Kp=4.7787K_p=4.7787Kp​=4.7787，积分时间常数为：Ti=0.807T_i=0.807Ti​=0.807微分时间常数为：$\tau =0.269$，将$\mathrm{Kp}$的值设置为$4.7787$，将1/Ti{\\rm 1/T_i}1/Ti​的值设置为$1/0.807$，将$\tau$的值设置为$0.269$；

• $\mathrm{PID}$控制器单位阶跃响应曲线如下：

  

2.7.8 PID参数整定规律

• 增大比例系数一般加快系统的响应，在有静差的情况下有利于减小静差，但过大的比例系数会使系统有较大的超调，并产生振荡，使系统稳定性变差；
• 增大积分时间有利于减小超调、减小振荡，使系统稳定性增加，但系统静差消除时间变长；
• 增大微分时间有利于加快系统响应速度，使系统超调量减小，稳定性增加，但系统对扰动抑制能力减弱；