DFIG控制10-b 双馈发电机的转矩方程推导

接上DFIG控制10： 双馈发电机的动态模型_Fantasy237的博客，DFIG的转矩方程和推导。
（字数限制，只能放在新的一篇博文里了。。）

转矩方程

定子αβ静止坐标系

从三相坐标系下的转矩方程开始，换算定子αβ静止坐标系的转矩方程：
T e = 0.5 n p ( i r T d L r s ( θ r ) d θ r i s + i s T d L s r ( θ r ) d θ r i r ) = 0.5 n p i r α β T ( T ( − θ r ) T ( T 32 − 1 ) T d L r s ( θ r ) d θ r T 32 − 1 ) i s α β + 0.5 n p i s α β T ( ( T 32 − 1 ) T d L r s ( θ r ) d θ r T 32 − 1 T ( − θ r ) ) i r α β \\begin{align*} T_{e}&= 0.5n_{p}\\left(\\boldsymbol{i}_{r}^{T} \\frac{d \\boldsymbol{L}_{rs}(\\theta_{r})}{d\\theta_{r}} \\boldsymbol{i}_{s}+\\boldsymbol{i}_{s}^{T} \\frac{d \\boldsymbol{L}_{sr}(\\theta_{r})}{d\\theta_{r}} \\boldsymbol{i}_{r}\\right) \\\\ &= 0.5n_{p}\\boldsymbol{i}_{r \\alpha \\beta}^{T}\\left( T(-\\theta_{r})^{T}(T_{32}^{-1})^{T}\\frac{d \\boldsymbol{L}_{rs}(\\theta_{r})}{d\\theta_{r}}T_{32}^{-1}\\right)\\boldsymbol{i}_{s \\alpha \\beta}\\\\ &+0.5n_{p}\\boldsymbol{i}_{s \\alpha \\beta}^{T}\\left( (T_{32}^{-1})^{T}\\frac{d \\boldsymbol{L}_{rs}(\\theta_{r})}{d\\theta_{r}}T_{32}^{-1}T(-\\theta_{r}) \\right)\\boldsymbol{i}_{r \\alpha \\beta}\\\\ \\end{align*} Te​​=0.5np​(irT​dθr​dLrs​(θr​)​is​+isT​dθr​dLsr​(θr​)​ir​)=0.5np​irαβT​(T(−θr​)T(T32−1​)Tdθr​dLrs​(θr​)​T32−1​)isαβ​+0.5np​isαβT​((T32−1​)Tdθr​dLrs​(θr​)​T32−1​T(−θr​))irαβ​​
化简得到：
T e = 1.5 n p L M ( i r α i s β − i r β i s α ) , ( L M = 1.5 L m ) T_{e}=1.5 n_{p}L_{M}(i_{r \\alpha}i_{s \\beta}-i_{r \\beta}i_{s \\alpha}) ,\\quad\\quad(L_{M}= 1.5L_{m}) Te​=1.5np​LM​(irα​isβ​−irβ​isα​),(LM​=1.5Lm​)

其中，用到了：
i s = T 32 − 1 i s α β i r = T 32 − 1 T ( − θ r ) i r α β i r T = i r α β T T ( − θ r ) T ( T 32 − 1 ) T \\begin{align*} \\boldsymbol{i}_{s} &= T_{32}^{-1} \\boldsymbol{i}_{s \\alpha \\beta}\\\\ \\boldsymbol{i}_{r} &= T_{32}^{-1}T(-\\theta_{r}) \\boldsymbol{i}_{r \\alpha \\beta}\\\\ \\boldsymbol{i}_{r}^{T}&= \\boldsymbol{i}_{r \\alpha \\beta}^{T} T(-\\theta_{r})^{T}(T_{32}^{-1})^{T} \\end{align*} is​ir​irT​​=T32−1​isαβ​=T32−1​T(−θr​)irαβ​=irαβT​T(−θr​)T(T32−1​)T​

计算过程：

再把定子转子的磁链方程代入，转矩方程也可以用磁链来表示（把电流全部用磁链表示），如下：

类似地，也可以使用磁链和电流的乘积表示。因此，转矩可以在4个物理量中选择2个来表示：

1. 定子电流
2. 定子磁链
3. 转子电流
4. 转子磁链

所有6种形式的转矩表达式：

T e = 1.5 n p L M ( i s β i r α − i s α i r β ) = 1.5 n p ( ψ s α i s β − ψ s β i s α ) = 1.5 n p ( ψ r β i r α − ψ r α i r β ) = 1.5 n p L M L r ( ψ r α i s β − ψ r β i s α ) = 1.5 n p L M L s ( ψ s β i r α − ψ s α i r β ) = 1.5 n p L M σ L r L s ( ψ r α ψ s β − ψ r β ψ s α ) , ( σ = 1 − L M 2 L s L r ) \\begin{align*} T_{e}&= 1.5 n_{p}L_{M}(i_{s \\beta}i_{r \\alpha}-i_{s \\alpha}i_{r \\beta}) \\\\ &= 1.5n_{p}(\\psi_{s \\alpha}i_{s \\beta}- \\psi_{s \\beta}i_{s \\alpha})\\\\ &= 1.5n_{p}(\\psi_{r \\beta}i_{r \\alpha}- \\psi_{r \\alpha}i_{r \\beta}) \\\\ &= \\frac{1.5n_{p}L_{M}}{L_{r}}(\\psi_{r \\alpha}i_{s \\beta}- \\psi_{r \\beta}i_{s \\alpha})\\\\ &= \\frac{1.5n_{p}L_{M}}{L_{s}}(\\psi_{s \\beta}i_{r \\alpha}-\\psi_{s \\alpha}i_{r\\beta})\\\\ &= \\frac{1.5n_{p}L_{M}}{\\sigma L_{r}L_{s}}(\\psi_{r \\alpha}\\psi_{s \\beta}- \\psi_{r \\beta}\\psi_{s \\alpha}),\\quad \\quad (\\sigma= 1- \\frac{L_{M}^{2}}{L_{s}L_{r}}) \\end{align*} Te​​=1.5np​LM​(isβ​irα​−isα​irβ​)=1.5np​(ψsα​isβ​−ψsβ​isα​)=1.5np​(ψrβ​irα​−ψrα​irβ​)=Lr​1.5np​LM​​(ψrα​isβ​−ψrβ​isα​)=Ls​1.5np​LM​​(ψsβ​irα​−ψsα​irβ​)=σLr​Ls​1.5np​LM​​(ψrα​ψsβ​−ψrβ​ψsα​),(σ=1−Ls​Lr​LM2​​)​

dq坐标系

dq坐标系只做了旋转，幅值不变，因此转矩方程的形式与定子αβ静止坐标系相同。按照之前约定的坐标轴关系，只是把α改为d，β改为q。例如，
T e = 1.5 n p L M ( i s q i r d − i s d i r q ) \\begin{align*} T_{e}&= 1.5 n_{p}L_{M}(i_{sq}i_{rd}-i_{sd}i_{rq}) \\end{align*} Te​​=1.5np​LM​(isq​ird​−isd​irq​)​