【筛质数】——朴素筛，埃式筛，欧拉筛

题目描述：

题目分析：
这道题可以用，朴素筛，埃氏筛，欧拉筛来写。

普通筛： 时间复杂度：O(n logn)
时间复杂度太高，会超时的！！（9/10）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;int n;
int cnt;
const int N = 1e6+10;
int st[N], prime[N];void get_primes()
{for(int num = 2; num <= n; num++) //当前枚举到第i个数{int flag = 0;for(int j = 2; j <= num/j; j++){if(num % j == 0){  flag = 1;break;}}if(flag == 0)cnt++;}
}int main(void)
{cin>> n;get_primes();cout<< cnt << endl;return 0;
}

埃氏筛： 时间复杂度：O(n lognlogn)

欧拉筛的原理：
从2开始打表，若2为质数，则2的倍数必然不是质数，因此便让表中的4 6 8 10…全部删除，最后剩下的就是素数。其运行速度要远高于普通筛。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;int n;
int cnt;
const int N = 1e6+10;
int st[N], prime[N];void get_primes()
{for(int i = 2; i <= n; i++){if( st[i] ) //如果i已经被筛掉了continue;prime[cnt++] = i; for(int j = i+i; j <= n; j += i)st[j] = true; //筛掉j}
}int main()
{cin>> n;get_primes();cout<< cnt;return 0;
}

欧拉筛： 时间复杂度：O(n)

i存的是最大质因数（非自己）
prime[j]存的是最小质因数
欧拉筛的原理：
在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的。
利用：最小质因数*最大质因数（非自己） = 这个合数

若 i % primes[ j ] == 0 ，则说明 primes[ j ] 是 i 的最小质因子，那么primes[ j ] 也一定是primes[ j ] * i 的最小质因子。
若i % primes[ j ] != 0 ，由于我们是从小到大枚举的所有的质数，并且我们没有枚举到 i 的任何一个质因子，则此时primes[ j ] 一定小于 i 的所有质因子，但是primes[ j ] 也一定是primes[ j ] * i 的最小质因子。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;int n;
int cnt;
const int N = 1e6+10;
int st[N], prime[N];void get_primes()
{for(int i = 2; i <= n; i++){if( !st[i] )    prime[cnt++] = i;for(int j = 0; prime[j] <= n/i; j++){st[prime[j] * i] = true;if(i % prime[j] == 0) //当i%primes[j]==0时,最小质因子就是primes[j]break;}}
}int main()
{cin>> n;get_primes();cout<< cnt;return 0;
}

对于 i%prime[j] == 0 就break的解释 ：当 i是prime[j]的倍数时，i = kprime[j]，如果继续运算 j+1，i * prime[j+1] = prime[j] * k prime[j+1]，这里prime[j]是最小的素因子，当i = k * prime[j+1]时会重复，所以才跳出循环。
举个例子 ：i = 8 ，j = 1，prime[j] = 2，如果不跳出循环，prime[j+1] = 3，8 * 3 = 2 * 4 * 3 = 2 * 12，在i = 12时会计算。因为欧拉筛法的原理便是通过最小素因子来消除。

祝我们都能天天快乐AC~