LeetCode算法小抄 -- 经典图论算法 之 并查集算法
LeetCode算法小抄 -- 经典图论算法 之 并查集算法
- 经典图论算法
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- 并查集算法
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- 动态连通性
- 思路
- 平衡性优化
- 路径压缩
- Union Find 算法
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- [130. 被围绕的区域](https://leetcode.cn/problems/surrounded-regions/)
- [990. 等式方程的可满足性](https://leetcode.cn/problems/satisfiability-of-equality-equations/)
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经典图论算法
并查集算法
并查集(Union-Find)是一种树型的数据结构,用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。
并查集的思想是用一个数组表示了整片森林(parent),树的根节点唯一标识了一个集合,我们只要找到了某个元素的的树根,就能确定它在哪个集合里。
动态连通性
简单说,动态连通性其实可以抽象成给一幅图连线。比如下面这幅图,总共有 10 个节点,他们互不相连,分别用 0~9 标记:
现在我们的 Union-Find 算法主要需要实现这两个 API:
class UF {/* 将 p 和 q 连接 */public void union(int p, int q);/* 判断 p 和 q 是否连通 */public boolean connected(int p, int q);/* 返回图中有多少个连通分量 */public int count();
}
这里所说的「连通」是一种等价关系,也就是说具有如下三个性质:
1、自反性:节点 p
和 p
是连通的。
2、对称性:如果节点 p
和 q
连通,那么 q
和 p
也连通。
3、传递性:如果节点 p
和 q
连通,q
和 r
连通,那么 p
和 r
也连通。
比如说之前那幅图,0~9 任意两个不同的点都不连通,调用 connected
都会返回 false,连通分量为 10 个。
如果现在调用 union(0, 1)
,那么 0 和 1 被连通,连通分量降为 9 个。
再调用 union(1, 2)
,这时 0,1,2 都被连通,调用 connected(0, 2)
也会返回 true,连通分量变为 8 个
思路
怎么用森林来表示连通性呢?我们设定树的每个节点有一个指针指向其父节点,如果是根节点的话,这个指针指向自己。比如说刚才那幅 10 个节点的图,一开始的时候没有相互连通,就是这样:
class UF {// 记录连通分量private int count;// 节点 x 的父节点是 parent[x]private int[] parent;/* 构造函数,n 为图的节点总数 */public UF(int n) {// 一开始互不连通this.count = n;// 父节点指针初始指向自己parent = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++)parent[i] = i;}/* 其他函数 */
}
如果某两个节点被连通,则让其中的(任意)一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上:
class UF {// 省略上文给出的代码部分...public void union(int p, int q) {int rootP = find(p);int rootQ = find(q);if (rootP == rootQ)return;// 将两棵树合并为一棵parent[rootP] = rootQ;// parent[rootQ] = rootP 也一样count--; // 两个分量合二为一}/* 返回某个节点 x 的根节点 */private int find(int x) {// 根节点的 parent[x] == xwhile (parent[x] != x)x = parent[x];return x;}/* 返回当前的连通分量个数 */public int count() { return count;}
}
这样,如果节点 p
和 q
连通的话,它们一定拥有相同的根节点:
class UF {// 为了节约篇幅,省略上文给出的代码部分...public boolean connected(int p, int q) {int rootP = find(p);int rootQ = find(q);return rootP == rootQ;}
}
那么这个算法的复杂度是多少呢?我们发现,主要 API connected
和 union
中的复杂度都是 find
函数造成的,所以说它们的复杂度和 find
一样。
find
主要功能就是从某个节点向上遍历到树根,其时间复杂度就是树的高度。我们可能习惯性地认为树的高度就是 logN
,但这并不一定。logN
的高度只存在于平衡二叉树,对于一般的树可能出现极端不平衡的情况,使得「树」几乎退化成「链表」,树的高度最坏情况下可能变成 N
。
平衡性优化
树的不平衡现象,关键在于 union
过程
我们一开始就是简单粗暴的把 p
所在的树接到 q
所在的树的根节点下面,那么这里就可能出现「头重脚轻」的不平衡状况,比如下面这种局面:
我们其实是希望,小一些的树接到大一些的树下面,这样就能避免头重脚轻,更平衡一些。解决方法是额外使用一个 size
数组,记录每棵树包含的节点数,我们不妨称为「重量」:
修改初始化
class UF {private int count;private int[] parent;// 新增一个数组记录树的“重量”private int[] size;public UF(int n) {this.count = n;parent = new int[n];// 最初每棵树只有一个节点// 重量应该初始化 1size = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;size[i] = 1;}}/* 其他函数 */
}
修改union( )函数
class UF {// 为了节约篇幅,省略上文给出的代码部分...public void union(int p, int q) {int rootP = find(p);int rootQ = find(q);if (rootP == rootQ)return;// 小树接到大树下面,较平衡if (size[rootP] > size[rootQ]) {parent[rootQ] = rootP;size[rootP] += size[rootQ];} else {parent[rootP] = rootQ;size[rootQ] += size[rootP];}count--;}
}
树的高度大致在 logN
这个数量级,极大提升执行效率。
路径压缩
其实我们并不在乎每棵树的结构长什么样,只在乎根节点。
因为无论树长啥样,树上的每个节点的根节点都是相同的,所以能不能进一步压缩每棵树的高度,使树高始终保持为常数?
这样每个节点的父节点就是整棵树的根节点,find
就能以 O(1) 的时间找到某一节点的根节点,相应的,connected
和 union
复杂度都下降为 O(1)。
要做到这一点主要是修改 find
函数逻辑
第一种是在 find
中加一行代码:
class UF {// 为了节约篇幅,省略上文给出的代码部分...private int find(int x) {while (parent[x] != x) {// 这行代码进行路径压缩parent[x] = parent[parent[x]];x = parent[x];}return x;}
}
每次 while 循环都会把一对儿父子节点改到同一层,这样每次调用 find
函数向树根遍历的同时,顺手就将树高缩短了
路径压缩的第二种写法是这样:
class UF {// 为了节约篇幅,省略上文给出的代码部分...// 第二种路径压缩的 find 方法public int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]);}return parent[x];}
}
这种路径压缩的效果如下:
另外,如果使用路径压缩技巧,那么 size
数组的平衡优化就不是特别必要了。
一般看到的 Union Find 算法应该是如下实现:
Union Find 算法
class UF {// 连通分量个数private int count;// 存储每个节点的父节点private int[] parent;// n 为图中节点的个数public UF(int n) {this.count = n;parent = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;}}// 将节点 p 和节点 q 连通public void union(int p, int q) {int rootP = find(p);int rootQ = find(q);if (rootP == rootQ)return;parent[rootQ] = rootP;// 两个连通分量合并成一个连通分量count--;}// 判断节点 p 和节点 q 是否连通public boolean connected(int p, int q) {int rootP = find(p);int rootQ = find(q);return rootP == rootQ;}public int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]);}return parent[x];}// 返回图中的连通分量个数public int count() {return count;}
}
总结一下我们优化算法的过程:
1、用 parent
数组记录每个节点的父节点,相当于指向父节点的指针,所以 parent
数组内实际存储着一个森林(若干棵多叉树)。
2、用 size
数组记录着每棵树的重量,目的是让 union
后树依然拥有平衡性,保证各个 API 时间复杂度为 O(logN),而不会退化成链表影响操作效率。
3、在 find
函数中进行路径压缩,保证任意树的高度保持在常数,使得各个 API 时间复杂度为 O(1)。使用了路径压缩之后,可以不使用 size
数组的平衡优化。
130. 被围绕的区域
给你一个 m x n
的矩阵 board
,由若干字符 'X'
和 'O'
,找到所有被 'X'
围绕的区域,并将这些区域里所有的 'O'
用 'X'
填充。
类似棋类游戏「黑白棋」,只要你用两个棋子把对方的棋子夹在中间,对方的子就被替换成你的子。可见,占据四角的棋子是无敌的,与其相连的边棋子也是无敌的(无法被夹掉)。
可以用DFS解决
这里采用 Union-Find 算法解决
你可以把那些不需要被替换的 O
看成一个拥有独门绝技的门派,它们有一个共同「祖师爷」叫 dummy
,这些 O
和 dummy
互相连通,而那些需要被替换的 O
与 dummy
不连通。
根据我们的实现,Union-Find 底层用的是一维数组,构造函数需要传入这个数组的大小,而题目给的是一个二维棋盘。
这个很简单,二维坐标 (x,y)
可以转换成 x * n + y
这个数(m
是棋盘的行数,n
是棋盘的列数),敲黑板,这是将二维坐标映射到一维的常用技巧。
其次,我们之前描述的「祖师爷」是虚构的,需要给他老人家留个位置。索引 [0.. m*n-1]
都是棋盘内坐标的一维映射,那就让这个虚拟的 dummy
节点占据索引 m * n
好了。
class Solution {public void solve(char[][] board) {if (board.length == 0) return;int m = board.length;int n = board[0].length;// 给 dummy 留一个额外位置UF uf = new UF(m * n + 1);int dummy = m * n;// 将首列和末列的 O 与 dummy 连通for (int i = 0; i < m; i++) {if (board[i][0] == 'O')uf.union(i * n, dummy);if (board[i][n - 1] == 'O')uf.union(i * n + n - 1, dummy);}// 将首行和末行的 O 与 dummy 连通for (int j = 0; j < n; j++) {if (board[0][j] == 'O')uf.union(j, dummy);if (board[m - 1][j] == 'O')uf.union(n * (m - 1) + j, dummy);}// 方向数组 d 是上下左右搜索的常用手法int[][] d = new int[][]{{1,0}, {0,1}, {0,-1}, {-1,0}};for (int i = 1; i < m - 1; i++) for (int j = 1; j < n - 1; j++) if (board[i][j] == 'O')// 将此 O 与上下左右的 O 连通for (int k = 0; k < 4; k++) {int x = i + d[k][0];int y = j + d[k][1];if (board[x][y] == 'O')uf.union(x * n + y, i * n + j);}// 所有不和 dummy 连通的 O,都要被替换for (int i = 1; i < m - 1; i++) for (int j = 1; j < n - 1; j++) if (!uf.connected(dummy, i * n + j))board[i][j] = 'X';}}class UF {// 连通分量个数private int count;// 存储每个节点的父节点private int[] parent;// n 为图中节点的个数public UF(int n) {this.count = n;parent = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;}}// 将节点 p 和节点 q 连通public void union(int p, int q) {int rootP = find(p);int rootQ = find(q);if (rootP == rootQ)return;parent[rootQ] = rootP;// 两个连通分量合并成一个连通分量count--;}// 判断节点 p 和节点 q 是否连通public boolean connected(int p, int q) {int rootP = find(p);int rootQ = find(q);return rootP == rootQ;}public int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]);}return parent[x];}// 返回图中的连通分量个数public int count() {return count;}
}
其实用 Union-Find 算法解决这个简单的问题有点杀鸡用牛刀,它可以解决更复杂,更具有技巧性的问题,主要思路是适时增加虚拟节点,想办法让元素「分门别类」,建立动态连通关系。
990. 等式方程的可满足性
给定一个由表示变量之间关系的字符串方程组成的数组,每个字符串方程 equations[i]
的长度为 4
,并采用两种不同的形式之一:"a==b"
或 "a!=b"
。在这里,a 和 b 是小写字母(不一定不同),表示单字母变量名。
只有当可以将整数分配给变量名,以便满足所有给定的方程时才返回 true
,否则返回 false
。
核心思想是,将 equations
中的算式根据 ==
和 !=
分成两部分,先处理 ==
算式,使得他们通过相等关系各自勾结成门派(连通分量);然后处理 !=
算式,检查不等关系是否破坏了相等关系的连通性。
class Solution {public boolean equationsPossible(String[] equations) {// 26 个英文字母UF uf = new UF(26);// 先让相等的字母形成连通分量for (String eq : equations) {if (eq.charAt(1) == '=') {char x = eq.charAt(0);char y = eq.charAt(3);uf.union(x - 'a', y - 'a');}}// 检查不等关系是否打破相等关系的连通性for (String eq : equations) {if (eq.charAt(1) == '!') {char x = eq.charAt(0);char y = eq.charAt(3);// 如果相等关系成立,就是逻辑冲突if (uf.connected(x - 'a', y - 'a'))return false;}}return true;}
}
class UF {// 连通分量个数private int count;// 存储每个节点的父节点private int[] parent;// n 为图中节点的个数public UF(int n) {this.count = n;parent = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;}}// 将节点 p 和节点 q 连通public void union(int p, int q) {int rootP = find(p);int rootQ = find(q);if (rootP == rootQ)return;parent[rootQ] = rootP;// 两个连通分量合并成一个连通分量count--;}// 判断节点 p 和节点 q 是否连通public boolean connected(int p, int q) {int rootP = find(p);int rootQ = find(q);return rootP == rootQ;}public int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]);}return parent[x];}// 返回图中的连通分量个数public int count() {return count;}
}
–end–