【线性代数】矩阵特征值的快速求法

矩阵特征值的快速求法

本文讨论3阶矩阵的特征值的快速求法。

分为速写特征多项式和速解方程两部分。

速写特征多项式

不妨令：
A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]\\boldsymbol{A}=\\left[\\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\end{array}\\right] A=​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​​
其特征多项式为：
∣λE−A∣=∣λ−a11−a12−a13−a21λ−a22−a23−a31−a32λ−a33∣|\\lambda \\boldsymbol{E}-\\boldsymbol{A}|=\\left|\\begin{array}{ccc} \\lambda-a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\\\ -a_{21} & \\lambda-a_{22} & -a_{23} \\\\ -a_{31} & -a_{32} & \\lambda-a_{33} \\end{array}\\right| ∣λE−A∣=​λ−a11​−a21​−a31​​−a12​λ−a22​−a32​​−a13​−a23​λ−a33​​​
直接展开可得：
∣λE−A∣=λ3−(a11+a22+a33)λ2+kλ−∣A∣|\\lambda \\boldsymbol{E}-\\boldsymbol{A}|=\\lambda^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\\lambda^2+k\\lambda-|A| ∣λE−A∣=λ3−(a11​+a22​+a33​)λ2+kλ−∣A∣
即：
∣λE−A∣=λ3−tr(A)⋅λ2+kλ−∣A∣|\\lambda \\boldsymbol{E}-\\boldsymbol{A}|=\\lambda^3-tr(A)\\cdot\\lambda^2+k\\lambda-|A| ∣λE−A∣=λ3−tr(A)⋅λ2+kλ−∣A∣
此处的：
k=(a11a22+a11a33+a22a33)−(a12a21+a13a31+a32a23)k=(a_{11}a_{22}+a_{11}a_{33}+a_{22}a_{33})-(a_{12}a_{21}+a_{13}a_{31}+a_{32}a_{23}) k=(a11​a22​+a11​a33​+a22​a33​)−(a12​a21​+a13​a31​+a32​a23​)
即：主对角错乘$-$对称位置相乘。

例1

求下列矩阵的特征多项式
A=[2−20−21−20−20]\\boldsymbol{A}=\\left[\\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 0 \\\\ -2 & 1 & -2 \\\\ 0 & -2 & 0 \\end{array}\\right] A=​2−20​−21−2​0−20​​
[解析]：显然$|A|=8,tr(A)=2+1+0=3$

注意$k=(2\times 1+0+0)-[(-2\times (-2)+0+(-2)\times (-2))]=2-8=-6$

因此特征多项式为：∣λE−A∣=λ3−3λ2−6λ−8|\\lambda \\boldsymbol{E}-\\boldsymbol{A}|=\\lambda^3-3\\lambda^2-6\\lambda-8∣λE−A∣=λ3−3λ2−6λ−8

速求方程

• 猜根法

对于三次方程，第一步都需要猜根法，即若$f(\lambda )$满足f(λ0)=0f(\\lambda_0)=0f(λ0​)=0，则有因式(λ−λ0)(\\lambda-\\lambda_0)(λ−λ0​)。

其次，三次方程韦达定理，即：

ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)ax^3+bx^2+cx+d=0(a\\neq0)ax3+bx2+cx+d=0(a=0)的三个根满足：
x1x2x3=−dax_1x_2x_3=-\\frac{d}{a} x1​x2​x3​=−ad​
对于我们计算的：
∣λE−A∣=λ3−tr(A)⋅λ2+kλ−∣A∣|\\lambda \\boldsymbol{E}-\\boldsymbol{A}|=\\lambda^3-tr(A)\\cdot\\lambda^2+k\\lambda-|A| ∣λE−A∣=λ3−tr(A)⋅λ2+kλ−∣A∣
显然可知：
λ1λ2λ3=∣A∣\\lambda_1\\lambda_2\\lambda_3=|A| λ1​λ2​λ3​=∣A∣
因此猜所有$|A|$的因子即可。

• 速写二次因式

例2

求：f(x)=x3−6x2+3x+2=0f(x)=x^3-6x^2+3x+2=0f(x)=x3−6x2+3x+2=0的解

[解析]：注意到$f(1)=0$

分解为：$(x-1)(二次因式)$

二次因式如何确定？其实很简单。

注意到：三次项系数为$1$，因此二次因式的二次项一定为x2x^2x2

注意到：常数项为$2$，因此二次因式的常数项一定为$-2$，因为这样才有$(-2)\times (-1)=2$

此时已经是：x3−6x2+3x+2=(x−1)(x2+bx−2)x^3-6x^2+3x+2=(x-1)(x^2+bx-2)x3−6x2+3x+2=(x−1)(x2+bx−2)

那么如何确定一次项呢？其实很简单，有两种思路：

不要展开，只看结果的二次项，是−6x2-6x^2−6x2，所以bx2−x2=−6x2bx^2-x^2=-6x^2bx2−x2=−6x2

那么$b=-5$，所以分解为：x3−6x2+3x+2=(x−1)(x2−5x−2)x^3-6x^2+3x+2=(x-1)(x^2-5x-2)x3−6x2+3x+2=(x−1)(x2−5x−2)

也可以只看结果的一次项，是$3x$，所以：$(-1)\times (bx)-2x=3$

依然得出：$b=-5$

看到某考研老师还在用多项式除法计算这个方程的解，实在太过复杂。

之前笔者做高中数学的培训，跟高中学生讲解三次方程的求法就是采用上述方法，不知道为什么很多书还在使用多项式除法。

综合应用

步骤如下：

[step1]：迅速求出$|A|,k,tr(A)$速写特征多项式

[step2]：猜根分解因式

例3

虽然本例比较特殊，上三角行列式的特征值就是主对角线元素，但还是可以作为练习。

求下列矩阵的特征值：
A=[111022003]\\boldsymbol{A}=\\left[\\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 \\end{array}\\right] A=​100​120​123​​
[解答]：显然$tr(A)=6，|A|=6,k=(2+3+6)-0=11$

因此特征多项式为：f(λ)=λ3−6λ2+11λ−6f(\\lambda)=\\lambda^3-6\\lambda^2+11\\lambda-6f(λ)=λ3−6λ2+11λ−6

观察得$\lambda =1$是根，f(λ)=λ3−6λ2+11λ−6=(λ−1)(λ2+bλ+6)f(\\lambda)=\\lambda^3-6\\lambda^2+11\\lambda-6=(\\lambda-1)(\\lambda^2+b\\lambda+6)f(λ)=λ3−6λ2+11λ−6=(λ−1)(λ2+bλ+6)

观察结果的二次项系数：−λ2+bλ2=−6-\\lambda^2+b\\lambda^2=-6−λ2+bλ2=−6

因此$b=-5$

分解为：
$$
\\begin{aligned}
f(\\lambda)=\\lambda^3-6\\lambda2+11\\lambda-6&=(\\lambda-1)(\\lambda^2-5\\lambda+6)\\
&=(\\lambda-1)(\\lambda-2)(\\lambda-3)

\\end{aligned}
$$
因此特征值为：$\lambda =1,2,3$