关于DTFT、DFT和FFT的理解

首先，时域信号可以看做是一个离散时间序列 $x[n]$，其中 $n$ 是时间点。在进行傅里叶变换时，我们将 $x[n]$ 看做一个周期为 $N$ 的信号，周期长度为 $N$，但实际上DFT和FFT计算时并不满足周期性，输出序列是 $X[k]$，其中 $k$ 是离散频率点，由于DFT和FFT的输出长度是固定的，因此在 $N$ 内对 $X[k]$ 进行周期采样，采样周期为 $2\pi /N$。

具体来说，DTFT 的定义为：

X(ejω)=∑n=−∞∞x[n]e−jωnX(e^{j\\omega}) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} x[n] e^{-j\\omega n}X(ejω)=n=−∞∑∞​x[n]e−jωn

其中，X(ejω)X(e^{j\\omega})X(ejω) 是信号的频谱。DTFT 中，$\omega$ 是一个连续变量， X(ejω)X(e^{j\\omega})X(ejω) 是频域信号在 $\omega$ 处的幅值和相位。但在DFT中，$k$ 是一个离散变量，DFT 的表达式为：

X[k]=∑n=0N−1x[n]e−j2πnk/NX[k] = \\sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\\pi nk/N}X[k]=n=0∑N−1​x[n]e−j2πnk/N

DFT 中的 $k$ 代表了离散频率，与DTFT中的 $\omega$ 相对应。注意，DFT中$n$ 的范围是 $0\le n\le N-1$，而非 $-\infty \le n\le \infty$，并且， DFT 中的 $\omega$ 只有在 $0$ 和 $2\pi$ 之间才有物理意义，故 $k$ 的取值范围是 $0\le k\le N-1$，所以DFT 离散化了 DTFT 中的频域信息。

DFT 系数表示了离散时间信号在离散频域下的表现，其中 $k$代表频率下标，表示 kΔf=kNfsk\\Delta f = \\frac{k}{N}f_skΔf=Nk​fs​ 的频率成分。 Δf=fsN\\Delta f = \\frac{f_s}{N}Δf=Nfs​​ 表示频率分辨率，fsf_sfs​是采样率。

FFT与DFT是等价的，只是计算次数不同，由于计算次数更少，FFT运行更快。对于一个长度为 $N$ 的复合序列 $x(n)$ 应用DFT 或FFT时，输出的序列也是长度为 $N$ 的，具体表示式可以写为：

X[k]=∑n=0N−1x[n]e−j2πnk/NX[k] = \\sum_{n = 0}^{N-1} x[n] e^{-j2\\pi nk/N}X[k]=n=0∑N−1​x[n]e−j2πnk/N

其中 $k$ 表示输出序列中的下标，$X[k]$ 是DFT或FFT输出的第 $k$ 个复数点。

总结一下，DTFT、DFT和FFT都是进行时域与频域变换的方法，它们的区别在于计算时的性质和复杂度。DTFT输出一个连续的频域信号，DFT抽样后输出一个离散的频域信号；FFT在DFT的基础上进行优化，运算速度更快。需要注意的是，输出的频域序列长度是固定的，在DFT和FFT中，输出序列的长度通常为 $N$，但输入序列的长度可以任意。