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氢原子的电子轨道半径、能量、速度

网友: 文章列表 2024-03-21 22:58:12

氢原子的电子轨道半径、能量、速度

在https://blog.csdn.net/qq_35379989/article/details/130065868?spm=1001.2014.3001.5501中我们已经给出了波尔模型的三大假设：定态假设、跃迁假设以及角动量量子化。

一、氢原子的轨道半径

在跃迁假设中，通过设定波尔模型轨道能量：E_n=-\\frac{R_H h c}{n^2}与电子动能和势能能量公式：E=T+V=\\frac{1}{2} m_e v^2-\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_0} \\cdot \\frac{Z e^2}{r}=-\\frac{1}{2} \\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_0} \\cdot \\frac{Z e^2}{r}联立，可以得到电子的轨道半径为：r_n=\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_0} \\frac{e^2}{2 R_H h c} n^2。

在上方，已经给出了电子轨道半径为：r_n=\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_0} \\frac{e^2}{2 R_H h c} n^2，结合R_H=\\frac{2 \\pi^2 e^4 m_e}{\\left(4 \\pi \\varepsilon_0\\right)^2 \\cdot c h^3}

令：a_0=\\frac{4 \\pi \\varepsilon_0 h^2}{4 \\pi^2 m e^2}=0.53 \\times 10^{-10} \\mathrm{~m}

则可以获得氢原子量子化的轨道半径为：r_n=a_0 n^2（其中,n为氢原子的线系/主量子数，n=1为莱曼系，n=2为巴尔末系，...）

当n=1时，我们称其为氢原子的第一波尔半径，简称为波尔半径。

二、氢原子能量

氢原子电子轨道能量为：E_n=-\\frac{R_H h c}{n^2}，且里德伯常数有公式：R_H=\\frac{2 \\pi^2 e^4 m_e}{\\left(4 \\pi \\varepsilon_0\\right)^2 \\cdot c h^3}，带入后可得：

E_n=-\\frac{2 \\pi^2 e^4 m_e}{\\left(4 \\pi \\varepsilon_0\\right)^2 \\cdot h^2} \\frac{1}{n^2}=-\\frac{m_e c^2}{2}\\left(\\frac{e^2}{4 \\pi \\varepsilon_0 \\hbar c}\\right)^2 \\frac{1}{n^2}

其中，将\\frac{e^2}{4 \\pi \\varepsilon_0 \\hbar c}定义为\\alpha，其值近似为：\\alpha \\approx \\frac{1}{137}（1/137为一个神奇的无量纲常数，可以再电动力学、量子力学和相对论中看到它）。

将已知常数带入，可以进一步得到，氢原子的能量表达式为：

E_n=-13.6 \\frac{1}{n^2}(\\mathrm{eV})

当n=1时为氢原子的基态能量，数值为：E_1 \\approx-13.6 \\mathrm{eV}。

需注意的是：基态是能量最低的能级，其余能级均为激发态，激发态寿命一般很短，只有几纳秒。

三、氢原子速度

根据氢原子的所受库仑力为氢原子电子提供向心力，可得：\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_0} \\cdot \\frac{Z e^2}{r_n^2}=m_e \\frac{v_n^2}{r_n}；

依据上式，可得电子运行速度为：v_n=\\sqrt{\\frac{Z e^2}{4 \\pi \\varepsilon_0 m_e r_n}}

一中已知电子的轨道半径为：r_n=\\frac{4 \\pi \\varepsilon_0 h^2}{4 \\pi^2 m_e e^2} n^2

将轨道半径公式带入电子运行速度公式可以得到：

v_n=\\frac{e^2}{4 \\pi \\varepsilon_0 \\cdot \\hbar} \\frac{1}{n}=\\frac{e^2 c}{4 \\pi \\varepsilon_0 \\cdot \\hbar c} \\frac{1}{n}=\\frac{\\alpha c}{n}，其中\\alpha=\\frac{e^2}{4 \\pi \\varepsilon_0 \\cdot \\hbar \\cdot c}

当n=1时，即为基态氢原子的速度v_1 \\approx \\alpha c

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