一、题目描述

原题连接： 面试题 08.03. Magic Index LCCI
题目描述：
魔术索引。 在数组A[0…n-1]中，有所谓的魔术索引，满足条件A[i] = i。给定一个有序整数数组，编写一种方法找出魔术索引，若有的话，在数组A中找出一个魔术索引，如果没有，则返回-1。若有多个魔术索引，返回索引值最小的一个。

示例1:

输入： nums = [0, 2, 3, 4, 5]
输出： 0
说明: 0下标的元素为0

示例2:

输入： nums = [1, 1, 1]
输出： 1

说明:
nums长度在[1, 1000000]之间
此题为原书中的 Follow-up，即数组中可能包含重复元素的版本

二、解题

1、方法1——暴力法

1.1、思路分析

最简单的方法就是直接遍历数组的每个元素，找到第一个nums[i] = i的元素，直接返回其下标即可。

1.2、代码实现

有了以上思路，那我们写起代码来也就水到渠成了：

int findMagicIndex1(int* nums, int numsSize) {assert(nums);int i = 0;for (i = 0; i < numsSize; i++) {if (nums[i] == i) {return i;}}return -1;
}

时间复杂度：O(n)，n为数组长度，最坏情况下我们需要遍历完数组中的所有元素。
空间复杂度：O(1)，我们只需要用到常数级的额外空间。

2、方法2——二分+分治

2.1、思路分析

既然是在有序数组中进行查找，那我们很容易就能想到能使用二分查找，具体算法思路如下：
如果nums[mid] == mid，则说明如果想要找到更优解，就只能继续mid的左侧：

而当nums[mid] != mid时，并不能确定最优解是在左侧还是在右侧，因为左侧和右侧都有可能存在符合条件的解或者不存在解。所以我们这时候左侧右侧的区间都要寻找一遍：

所以在二分的基础上我们还需要使用分治算法的思想，来递归寻找左右两侧区间，只不过这里我们得有先寻找左侧区间，
如果在左区间找到了更优解，那就不需要再寻找右区间了。

2.2、代码实现

有了以上思路，那我们写起代码来也就水到渠成了：

// 先写一个二分分治算法
void binary_finder(int* nums, int left, int right, int* answer) {assert(nums && answer);if (left < right) { // 递归结束条件return;}int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == mid) {*answer = mid;return binary_finder(nums, left, mid - 1, answer);}else {return binary_finder(nums, left, mid - 1, answer);if (-1 == *answer || *answer > right) {return binary_finder(nums, mid + 1, right, answer);}}
}
int findMagicIndex2(int* nums, int numsSize) {assert(nums);int answer = -1;binary_finder(nums, 0, numsSize - 1, &answer);return answer;
}
int main() {int nums[] = { 3,4,5,5,5,5 };int len = sizeof(nums) / sizeof(nums[0]);int result = findMagicIndex2(nums, len);printf("%d\\n", result);return 0;
}

时间复杂度：O(n)，n为数组的长度，最坏情况下，我们还是需要遍历完数组中的所有元素。
空间复杂度：O(n)，空间复杂度主要取决于递归调用的次数，最坏的情况下我们每个元素都要判断一次，故需要调用n次，空间复杂度为O(n)。