我的个人博客文章链接如下：学习通信原理之——彻底理解频谱和频谱密度

前言

最近还是在复习通信原理，但是对于频谱/频谱密度/能量谱/能量谱密度/功率谱/功率谱密度还是一知半解的，所以我就去各种看资料，看视频，又去问了问老师。
所以我在这里写下自己对这两个概念的一些分析和理解，不敢说100%正确，仅供大家参考。

频谱

频谱的定义

我感觉最通俗的解释就是信号的某种特征量随信号频率的关系，称为频谱

符号定义

接下来文中出现的符号定义

周期信号

周期信号的傅立叶级数具有幅频特性和相频特性

单边谱

这里是傅立叶级数的普通形式
{An(幅度)∼ωφn(相位)∼ω}\\begin{Bmatrix}A_{n}(幅度) \\sim \\omega \\\\ \\varphi_{n}(相位) \\sim \\omega \\end{Bmatrix} {An​(幅度)∼ωφn​(相位)∼ω​}
An=an2+bn2n=1,2,3...A_n=\\sqrt[]{a^2_n+b^2_n}~~~ n=1,2,3... An​=an2​+bn2​​   n=1,2,3...

双边谱

这里是傅立叶级数的复数形式
{∣Fn(幅度)∣∼ωφn(相位)∼ω}\\begin{Bmatrix} \\left | F_{n}(幅度)\\right | \\sim \\omega \\\\ \\varphi_{n}(相位)\\sim \\omega \\end{Bmatrix} {∣Fn​(幅度)∣∼ωφn​(相位)∼ω​}
∣Fn∣=An2n=0,±1,±2,...\\left | F_{n}\\right |=\\frac{A_n}{2}~~~n=0,\\pm 1,\\pm 2,... ∣Fn​∣=2An​​   n=0,±1,±2,...

例子：周期矩形波信号

我拿GeoGebra画了一个很粗略的表示，这个其实是周期性的，就是他其实是无限个矩形波函数，大家应该都懂我意思🤪

$$矩形波信号：幅度为1宽度为\tau 周期为T$$
我们求其频谱也就是求傅立叶级数的系数Fn

求其傅立叶级数的Fn

Fn=1T∫−T2T2f(t)e−jnΩtdt=1T∫−T2T2e−jnΩtdt=1T1−jnΩe−jnΩt∣−T2T2=1T1−jnΩ[e−jnΩT2−e−jnΩ(−T2)]=1T1−jnΩ[−2jsin(nΩτ2)]=2Tsin(nΩτ2)nΩτ2⋅τ2=τTSa(nΩτ2)(n=0,±1,±2...)\\begin{aligned} Fn&=\\frac{1}{T}\\int_{-\\frac{T}{2} }^{\\frac{T}{2} } f(t)e^{-jn\\Omega t}dt \\\\ &=\\frac{1}{T}\\int_{-\\frac{T}{2} }^{\\frac{T}{2} } e^{-jn\\Omega t}dt \\\\ &=\\frac{1}{T}\\frac{1}{-jn\\Omega} e^{-jn\\Omega t}|_{-\\frac{T}{2}}^{\\frac{T}{2}} \\\\ &=\\frac{1}{T}\\frac{1}{-jn\\Omega} [e^{-jn\\Omega \\frac{T}{2} }-e^{-jn\\Omega (-\\frac{T}{2}) }] \\\\ &=\\frac{1}{T}\\frac{1}{-jn\\Omega}[-2jsin(n\\Omega\\frac{\\tau }{2} )] \\\\ &=\\frac{2}{T}\\frac{sin(\\frac{n\\Omega\\tau}{2} )}{\\frac{n\\Omega\\tau}{2}} ·\\frac{\\tau}{2} \\\\ &=\\frac{\\tau}{T}Sa(\\frac{n\\Omega\\tau}{2}) (n=0,\\pm 1,\\pm 2...) \\end{aligned} Fn​=T1​∫−2T​2T​​f(t)e−jnΩtdt=T1​∫−2T​2T​​e−jnΩtdt=T1​−jnΩ1​e−jnΩt∣−2T​2T​​=T1​−jnΩ1​[e−jnΩ2T​−e−jnΩ(−2T​)]=T1​−jnΩ1​[−2jsin(nΩ2τ​)]=T2​2nΩτ​sin(2nΩτ​)​⋅2τ​=Tτ​Sa(2nΩτ​)(n=0,±1,±2...)​
我们已知抽样函数Sa(x)函数=sinxxτ是信号宽度,T是信号周期我们已知抽样函数Sa(x)函数=\\frac{sinx}{x} \\\\\\tau是信号宽度,T是信号周期 我们已知抽样函数Sa(x)函数=xsinx​τ是信号宽度,T是信号周期

画出其频谱图

先画出Sa函数，注意坐标轴，我这里为了方便显示，取了几个具体的数值，实际上要根据题中的条件计算。

clear
close all
clc% 定义时间轴t和信号x
t = -16:0.01:16;
x = (0.25)*sinc(t / pi);% 绘制原始信号
plot(t, x, '--','LineWidth', 3);
xlabel('时间');
ylabel('幅度');
title('Sa(t)');
grid on;
hold on;% 进行1/4倍采样
x_downsampled = downsample(x, 80);% 计算新的时间轴
t_downsampled = t(1:80:end);% 绘制降采样后的信号
stem(t_downsampled, x_downsampled, 'LineWidth', 3);
xlabel('w');
ylabel('Fn');
title('频谱图');
legend('频谱信号', '谱线');
grid on;

我们设T=4τFn=14Sa(nΩτ2)则零点nΩτ2=πm⇒nΩ=2mπτ我们设T=4\\tau~~ Fn=\\frac{1}{4}Sa(\\frac{n\\Omega\\tau }{2} ) \\\\则零点\\frac{n\\Omega\\tau }{2}=\\pi m\\Rightarrow n\\Omega =\\frac{2m\\pi}{\\tau} 我们设T=4τ  Fn=41​Sa(2nΩτ​)则零点2nΩτ​=πm⇒nΩ=τ2mπ​

两个零点之间有4条谱线，这些谱线的位置和数量取决于信号的采样率和矩形波函数的宽度。
两个零点之间有4条谱线,谱线间隔为ΩωΩ=2πτ2πT=4最高点是0.25两个零点之间有4条谱线,谱线间隔为\\Omega \\\\ \\frac{\\omega }{\\Omega}=\\frac{\\frac{2\\pi }{\\tau } }{\\frac{2\\pi }{T} } =4\\\\ 最高点是0.25 两个零点之间有4条谱线,谱线间隔为ΩΩω​=T2π​τ2π​​=4最高点是0.25

Ω=2πT=2πf\\Omega=\\frac{2\\pi }{T}=2\\pi f Ω=T2π​=2πf
因为周期门函数在时域是周期连续的，所以他在频谱上就是非周期离散的。

对应关系

举个例子：

• 矩形波函数在时域是连续周期的，那么他在频谱上就是非周期离散的。
• 门函数做傅立叶变换后就是Sa函数，如果把它在时域上周期化，那他的频谱就被离散化了，也就是变成了上图的样子，包络是一个Sa函数，但是谱线是离散的。

特点

1. 周期信号频谱是离散谱（谐波性）。
2. 谱线所处的位置是基频Ω的整数倍。
3. 一般具有收敛性，总趋势减小。

T不变，改变τ，观察三个脉冲时间不同的矩形波信号

函数gτ(t)=τTSa(nπτT)函数g_\\tau (t)=\\frac{\\tau}{T}Sa(\\frac{n\\pi \\tau }{T} ) 函数gτ​(t)=Tτ​Sa(Tnπτ​)

结论

观察这些图，我们可以得到结论：
若T不变τ减小{1.最大点τT↓2.谱线间隔不变2.零点向右移动，零点横坐标变大了4.谱线数目Tτ若T不变\\tau 减小\\left\\{\\begin{matrix}1.最大点\\frac{\\tau}{T} \\downarrow \\\\2.谱线间隔不变 \\\\2.零点向右移动，零点横坐标变大了 \\\\4. 谱线数目\\frac{T}{\\tau} \\end{matrix}\\right. 若T不变τ减小⎩⎨⎧​1.最大点Tτ​↓2.谱线间隔不变2.零点向右移动，零点横坐标变大了4.谱线数目τT​​

$$当\tau ⟶0,图像会变成一条直线，也就是我们说的冲激函数\delta (t)$$

τ不变，改变T，观察四个周期不同的矩形波信号

若τ不变，T增加{最大值τT↓谱线间隔Ω=2πT↓,当T→∞，Ω→0零点2mπτ,τ不变,0点不变谱线数Tτ↑,谱线数→∞若\\tau 不变，T增加\\left\\{\\begin{matrix}最大值\\frac{\\tau }{T}\\downarrow \\\\谱线间隔\\Omega=\\frac{2\\pi}{T} \\downarrow,当T\\rightarrow \\infty ，\\Omega\\rightarrow 0 \\\\零点\\frac{2m\\pi}{\\tau },\\tau 不变,0点不变 \\\\谱线数\\frac{T}{\\tau }\\uparrow ,谱线数\\rightarrow \\infty \\end{matrix}\\right. 若τ不变，T增加⎩⎨⎧​最大值Tτ​↓谱线间隔Ω=T2π​↓,当T→∞，Ω→0零点τ2mπ​,τ不变,0点不变谱线数τT​↑,谱线数→∞​

结论

我们重点看一下最后一个图，当T趋于∞，周期信号的周期无穷大，那么他就变成了非周期信号，频域变成了连续函数。
我们知道：
nΩ=2πTn,T→∞,nΩ→0n\\Omega=\\frac{2\\pi}{T}n , T\\rightarrow \\infty ,n\\Omega\\rightarrow 0 nΩ=T2π​n,T→∞,nΩ→0
上面的公式是什么意思呢，就是频域的离散函数变成了连续函数，因为每一个谱线的间隔的无限小。
$$在数学上，当\Omega \to 0时,我们称其为\omega$$

其实最后一个图像我们就从傅立叶级数得到了傅立叶变换——计算非周期信号的频谱。关于其数学公式的推导，我也写了一篇博客但是因为公式实在太多，只推导了一部分，后期我会把坑填上的。

频谱密度

这个概念可折磨我太久了，主要是网上好多说的感觉不太准确，也没有合适的视频讲解，只能靠着我自己搜集资料来做一个浅浅的解释。

我去问老师的时候，他先举了一个例子：

假如这有一本书，书上画满了点，那么书上的点就是无限的，随便在书上找一页，每个点上面“占有了”这个书多少呢。
答案是0，点是无限的，所以平均到每个点上面，占有的书就是0。

在Wikipedia中，对于密度的定义是这样的：

密度是指一物质单位体积下的质量

我们常说的密度是连续的，所以那频谱密度也是连续的，这里我给个频谱密度一个定义，是指信号单位频率下的能量。

频谱密度就是信号的傅里叶变换对频率的微分。如果频谱密度存在，必须要求频谱是可微分的，可微分又必须保证是连续的，也就是基频为0。

我们在上面已经说了，连续的频谱基频Ω趋于0，对照着下面这图像

我们可以知道，连续频谱在时域上是非周期的。所以，当我们谈论谱密度时，就已经是默认这个信号在时域上是非周期的，频谱是连续的了。

这里我们需要引入能量信号，他的能量是有限的，所以他一定是一个非周期函数，所以严格地说，他不能用傅立叶级数去计算他的频谱，他只能用傅立叶变换去计算他的频谱密度。

关于周期信号的频谱密度，我参考了这一篇文章：频谱和频谱密度在概念和适用方向上有哪些区分？ - 張無忌的回答 - 知乎

周期功率信号 的功率只集中分布在基频的倍频上，因而，功率在频域是离散分布的，如果严格地套用谱密度的意义，其谱密度应该是一连串冲击函数，这类包含无穷的特殊函数对应用而言是没有意义的。有时为了与非周期信号统一表示，会将集中分布的功率近似平均到相邻倍频的区间内，形式上也就变成频谱密度，但应当了解，这是近似的，并不是周期信号原始的属性。

举个例子，在这幅图中，我们可以将集中分布的功率近似分布到相邻的倍频区间内，他也就变成连续的了。

非周期功率信号 对应的直接就是频谱密度。

还有需要了解的是，对能量信号和功率信号的分析中，虽然有时两者的分析中都称谱密度，但能量信号的谱密度是 能量的谱密度 ，而功率信号的谱密度指的是 功率的谱密度 ，二者在计算上有区别的，相差了一个时间平均，不应混淆。

总结

我们一般在分析信号的时候，要先确定其信号类型，如果是非功率非能量信号，则要用广义函数和分布对其进行分析，但是话说回来，我看了这么多还真没遇到过这样的，如果我以后遇到了再来填坑。确定其信号类型之后，我们要根据其类型再去分析：如果是能量信号，看看是周期信号还是非周期信号(通常是非周期信号)，再对其进行傅立叶变换，假如是功率信号，判断其是周期信号还是非周期信号，要注意只有周期功率信号才有频谱(因为可以做傅立叶级数)，非周期功率信号和能量信号是没有频谱的，只有频谱密度(只能做傅立叶变换)。或者说周期性的功率信号频域是离散的，其他信号频域是连续的。