[python刷题模板] 博弈入门-记忆化搜索/dp/打表
[python刷题模板] 博弈入门-记忆化搜索/dp/打表
一、 算法&数据结构
1. 描述
博弈一直没怎么学,每次遇到了就看看题解,这两周被atc和牛客军训了,还都没做出来,思考了一下,暂且记录我粗浅的认知。
如果我未来能好好学学,可能回来更新。
- 第一次做博弈可能是在LC,做了几道题发现基本上都可以用记忆化搜索来枚举局面。就记住了这个做法:
- 记忆化搜索式做法,复杂度和局面状态数有关。
- 注意,我们不管当前的人是谁,只要这个人遇到了这个局面,计算他在最优选择下是否能赢,就是必胜态。
- 必胜的条件是,选完后,下个人是必败态;那么当前人的操作中,只要有一个必败态,当前就是必胜态。(因为当前人可以选择这个使下个人必败的操作。)
- 而只有无论怎么操作,下个人都是必胜时,当前才是必败。因此有以下代码方式,(状态有俩参数):
@lru_cache(None) def dfs(m, n):if xxd递归出口:return False/Truefor i in range(1, (m + 1) // 2): # 枚举所有选择if not dfs(i, n): # 注意这个not,后继态必败,当前必胜return True return False
- dfs方式的问题是当状态太多或选择太多,复杂度不一定能过。这时就要想想,能不能有贪心策略了。
- 但贪心又不是很简单能想出来的,那么请果断写个dfs,然后打表!找规律!
2. 复杂度分析
- dfs方式,具体分析,一般取决于状态数和转移方式。
- 贪心打表方式:不一定。
3. 常见应用
- 基础的博弈题。
4. 常用优化
- 注意牛客的装饰器必须加括号:@lru_cache(None)。
二、 模板代码
1. 打表贪心的博弈
例题: 小d的博弈
- 具体题解可以见我这场比赛的题解。
# Problem: 小d的博弈
# Contest: NowCoder
# URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/53366/E
# Memory Limit: 524288 MB
# Time Limit: 2000 msimport sys
from functools import lru_cacheRI = lambda: map(int, sys.stdin.buffer.readline().split())
RS = lambda: map(bytes.decode, sys.stdin.buffer.readline().strip().split())
RILST = lambda: list(RI())
DEBUG = lambda *x: sys.stderr.write(f'{str(x)}\\n')MOD = 10 ** 9 + 7
PROBLEM = """
"""@lru_cache(None)
def dfs(m, n):if m <= 2 and n <= 2:return Falseif m <= 2 or n <= 2:return Truefor i in range(1, (m + 1) // 2):if not dfs(i, n):return Truefor j in range(1, (n + 1) // 2):if not dfs(m, j):return Truereturn False# 603 ms
def solve1():n, m = RI()y = x = 0while n > 2:n = (n - 1) // 2x += 1while m > 2:m = (m - 1) // 2y += 1if x != y:print('Alice')else:print('Bob')# 573 ms
def solve():n, m = RI()if (n + 1).bit_length() != (m + 1).bit_length():print('Alice')else:print('Bob')if __name__ == '__main__':t, = RI()for _ in range(t):solve()# for i in range(1, 40):# for j in range(1, 40):# print('X' if dfs(i, j) else 'O', end=' ')# print()
2. 464. 我能赢吗
链接: 464. 我能赢吗
- 第一步加个贪心判断,然后dfs
class Solution:def canIWin(self, maxChoosableInteger: int, desiredTotal: int) -> bool:@cachedef dfs(used_numbers,total):for i in range(maxChoosableInteger):if (used_numbers>>i)&1 == 0: # used_numbers第i位是0,即i未被使用,他可以用if total + i +1 >= desiredTotal:return Trueif dfs(used_numbers|(1<<i),total+i+1) == False: # 下一步的操作者,即下一个人输掉return Truereturn Falsereturn (1+maxChoosableInteger)*maxChoosableInteger//2 >= desiredTotal and dfs(0,0)
3. Nim游戏–最最基础版n=1。
链接: 292. Nim 游戏
- nim游戏应该算一个小类别了,可以有n堆石子,每次也不一定让取多少个石子。
- 我准备单开一个页面写nim游戏的sg函数。
- 这题由于只有一堆,策略就非常简单,每次完剩余数字应该是4的倍数,这样对方一定拿不完,而我可以一步到同样的状态。对上下界的和取模即可。
class Solution:def canWinNim(self, n: int) -> bool:return bool(n%4)
三、其他
四、更多例题
五、参考链接
- 链接: 【agKc/ACM】ABC297G P2197 |基础博弈论|SG函数|SG定理