电压有效值电容和电感的电压电流相位关系以及电抗和容抗值推导

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注意下面所有 $w$ 表示的都是角速度而不是频率

电压有效值

高中物理中知道有效值电压是根据电阻发热的功率等效得到的
对于正弦波的电压， $U=U_{m}sinwt$ ,对应的电流 $I=UmRsinwtI=\\frac{U_{m}}{R}sinwt$
求得一个周期的发热量
$∫0TI2Rdt=∫0T(Umsinwt)2Rdt=Um2R∫0T(sinwt)2dt(公式1)\\int_0^TI^2Rd_t=\\int_0^T\\frac{{({U_m}sinwt})^2}Rd_t=\\frac{U_m^2}{R}\\int_0^T(sinwt)^2d_t \\tag{公式1}$
公式1中的可以化简如下,
$∫0T(sinwt)2dt=∫0T1−cos2wt2dt=∫0T12dt−∫0Tcos2wt2dt⇒余弦函数周期内积分0=∫0T12dt=T2\\int_0^T(sinwt)^2d_t =\\int_0^T\\frac{1-cos2wt}{2}d_t =\\int_0^T\\frac{1}{2}d_t-\\int_0^T\\frac{cos2wt}{2}d_t \\xRightarrow{余弦函数周期内积分0}=\\int_0^T\\frac{1}{2}d_t=\\frac{T}2$
则公式1最终结果
$Um2R∫0T(sinwt)2dt=Um2R.T2=U有效2R.(公式2)\\frac{U_m^2}{R}\\int_0^T(sinwt)^2d_t =\\frac{U_m^2}{R}. \\frac{T}2=\\frac{U_{有效}^2}{R}. \\tag{公式2}$
通过公式2可知
$U有效=Um2U_{有效}=\\frac{U_{m}}{\\sqrt{2}}$

电容电感的电压和电流的相位问题

电容的电流和电压

电流 $I=dQdt=CdUdt(式子2-1)I=\\frac{dQ}{dt}=\\frac{CdU}{dt}\\tag{式子2-1}$
其中 $d Q 表示电容上电荷变化量， d U 表示电压变化量$
设电压是正弦波的交流电 $U=U_msinwt$ ，再有式子2-1可知电流
$I=Cd(Umsinwt)dt=CUmwcoswtI=\\frac{Cd(U_msinwt)}{dt}=CU_mwcoswt$
通过上面电流和电压的公式可以看出电流比电压超前 $π2\\LARGE\\frac{\\pi}{2}$

电感的电流和电压

设电流值是正弦函数： $I=I_msinwt$ ，电流和电压的关系如下
$U=dΨdt=LdIdt=LImdsinwtdt=LImwcoswtU=\\frac{d\\Psi}{dt}=\\frac{LdI}{dt}=\\frac{LI_mdsinwt}{dt}=LI_mwcoswt$
通过上面的电流和电压的表达式可知电压比电流超前 $π2\\LARGE\\frac{\\pi}{2}$

电容的容抗计算公式

f是电容两端的频率，c是电容值
电压有效值电容和电感的电压电流相位关系以及电抗和容抗值推导

根据电阻的有效电压的思想计算电容的容抗

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/39915001
首先认为加在电容两端的电压依然认为是正弦波的电压 $U=Umsinwt(电压)U=U_{m}sinwt \\tag{电压}$
对应电压的有效值是： $U有效=Um2(电压有效)U_{有效}=\\frac{U_{m}}{\\sqrt{2}}\\tag{电压有效}$
电容的电流和电压关系:
$I=CdUdt=Cd(Umsinwt)dtI=C\\frac{dU}{dt}=C\\frac{d({U_{m}sinwt })}{dt}$
设电容的阻值是 $X_C$ ,那么一个周期内的发热计算
$I有效2XCT=∫0TI2XCdt=∫0T(Cd(Umsinwt)dt)2XCdt=∫0TI2XCdt=∫0T(CwUmcoswt)2XCdtI_{有效}^2X_CT=\\int_0^TI^2X_Cdt=\\int_0^T({C\\frac{d({U_{m}sinwt })}{dt}})^2X_Cdt=\\int_0^TI^2X_Cdt=\\int_0^T({Cw{{U_{m}coswt })}}^2X_Cdt$
上式中消去容抗 $X_c$ 可得
$I有效2T=∫0T(CwUmcoswt)2dt=(CwUm)2∫0T(coswt)2dt(式3)I_{有效}^2T=\\int_0^T({Cw{{U_{m}coswt })}}^2dt={(CwU_{m})}^2\\int_0^T({{{coswt })}}^2dt\\tag{式3}$
式子3中的化简，
$(CwUm)2∫0T(coswt)2dt=(CwUm)2∫0T1+cos2wt2dt=(CwUm)2(∫0T12dt+∫0Tcos2wt2dt)⇒余弦函数周期内积分0=(CwUm)2T2(式4)\\begin{aligned} {(CwU_{m})}^2\\int_0^T({{{coswt })}}^2dt &={(CwU_{m})}^2\\int_0^T\\frac{1+cos2wt}{2}dt \\\\ &= {(CwU_{m})}^2(\\int_0^T\\frac{1}{2}d_t+\\int_0^T\\frac{cos2wt}{2}d_t ) \\\\& \\xRightarrow{余弦函数周期内积分0} \\\\&={(CwU_{m})}^2\\frac{T}{2}\\tag{式4} \\end{aligned}$
式子3和4可知
$I有效2T=(CwUm)2T2I有效=CwUm2(式5)\\begin{aligned} I_{有效}^2T&={(CwU_{m})}^2\\frac{T}{2} \\\\I_{有效}&= \\frac{CwU_{m}}{\\sqrt{}{2}}\\tag{式5} \\end{aligned}$
最终容抗值可得
$XC=U有效I有效=Um2CwUm2=1Cw=12πfCX_C=\\frac{U_{有效}}{I_{有效}}=\\frac{\\frac{U_m}{\\sqrt{2}}}{\\frac{CwU_{m}}{\\sqrt{}{2}}}=\\frac{1}{Cw}=\\frac{1}{2\\pi fC}$

电感感抗

假设电流是： $I=I_msin(wt)$ ,
根据正弦波得有效值可知道有效电流 $I有效=Im2I_{有效}=\\frac{I_m}{\\sqrt{2}}$
对应得电压公式
$U=LdIdt=Ld(Imsinwt)dt=wLImcos(wt)U=L\\frac{dI}{dt}=L\\frac{d(I_msinwt)}{dt}=wLI_mcos(wt)$
同样设电感得阻值是 $X_L$
可知下面的等式
$I有效2XLT=∫0T(UXL)2XLdt=(wLIm)2XL∫0T(coswt)2dt=(wLIm)2XL∫0T1+cos2wt2dt=(wLIm)2XL∫0T12dt+0(公式6)\\begin{aligned} {I_{有效}}^2X_LT&=\\int_0^T (\\frac{U}{X_L})^2X_Ldt\\\\&=\\frac{(wLI_m)^2}{X_L}\\int_0^T(coswt)^2dt\\\\&=\\frac{(wLI_m)^2}{X_L}\\int_0^T\\frac{1+cos2wt}{2}dt\\\\&=\\frac{(wLI_m)^2}{X_L}\\int_0^T\\frac{1}{2}dt+0\\tag {公式6} \\end{aligned}$
公式6可化简为
$Im2XLT2=(wLIm)2XLT2⇒两边消去相同得项得到XL=(wL)2XL⇒最后得到电抗XL=wL\\frac{I_m^2X_LT}{2}=\\frac{(wLI_m)^2}{X_L}\\frac{T}{2}\\xRightarrow{两边消去相同得项得到}X_L=\\frac{(wL)^2}{X_L}\\xRightarrow{最后得到电抗}X_L=wL$

电压有效值电容和电感的电压电流相位关系以及电抗和容抗值推导

注意下面所有 $w$ 表示的都是角速度而不是频率

电压有效值

电容电感的电压和电流的相位问题

电容的电流和电压

电感的电流和电压

电容的容抗计算公式

根据电阻的有效电压的思想计算电容的容抗

电感感抗

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注意下面所有www表示的都是角速度而不是频率

电压有效值

电容电感的电压和电流的相位问题

电容的电流和电压

电感的电流和电压

电容的容抗计算公式

根据电阻的有效电压的思想计算电容的容抗

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