4.4 Riemann 积分和 Lebesgue 积分

4.4.1 Riemann 积分的可积性

定义. 若闭区间 $[a,b]$ 上有 $n+1$ 个点:
a=x0<x1<⋯<xn−1<xn=ba=x_{0}\\lt x_{1}\\lt \\cdots\\lt x_{n-1}\\lt x_{n} =b a=x0​<x1​<⋯<xn−1​<xn​=b
把区间分成 $n$ 份, 记每个子区间为 Δi=[xi−1,xi]\\Delta_{i}=[x_{i-1},x_{i}]Δi​=[xi−1​,xi​], $i=1,\dots ,n$, 则称这些分点和子区间构成 $[a,b]$ 的一个分割, 记为 T={x0,…,xn}T=\\{x_{0},\\dots,x_{n}\\}T={x0​,…,xn​} 或 T={Δ1,…,Δn}T=\\{\\Delta_{1},\\dots,\\Delta_{n}\\}T={Δ1​,…,Δn​}. 记 Δxi=xi−xi−1\\Delta x_{i}= x_{i}-x_{i-1}Δxi​=xi​−xi−1​, $i=1,\dots ,n$, 定义
∥T∥=max⁡iΔxi\\parallel T\\parallel =\\max\\limits_{i}\\Delta x_{i} ∥T∥=imax​Δxi​
为分割 $T$ 的细度.

定义. $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的函数, 对于 $[a,b]$ 上的任一分割 T={Δ1,…,Δn}T=\\{\\Delta_{1},\\dots,\\Delta_{n}\\}T={Δ1​,…,Δn​}, 和任意点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​}, ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 定义和式
∑i=1nf(ξi)Δxi\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i} i=1∑n​f(ξi​)Δxi​
为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个黎曼和. 当 $\parallel T\parallel \to 0$ 时黎曼和的极限称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的黎曼定积分, 记为 ∫abf(x)dx\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x∫ab​f(x)dx. 如果该极限存在, 则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积.

黎曼定积分的 $ϵ-\delta$ 定义: 若存在实数 $J$, 使得对于 $\forall ϵ>0$, 存在 $\delta >0$, 使得对于任意分割 T={Δ1,…,Δn}T=\\{\\Delta_{1},\\dots,\\Delta_{n}\\}T={Δ1​,…,Δn​}, $\parallel T\parallel \le \delta$, 和任意点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​}, ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 有
∣∑i=1nf(ξi)Δxi−J∣≤ϵ|\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}-J|\\leq \\epsilon ∣i=1∑n​f(ξi​)Δxi​−J∣≤ϵ
则称 $J$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的黎曼定积分.

定理4.4.1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 则 $f(x)$ 必然有界.

证明: 我们接下来证明: 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无界, 则对于任意 $M>0$, 任意 $ϵ>0$, 存在满足 $\parallel T\parallel \le \delta$ 的分割 T={Δ1,…,Δn}T=\\{\\Delta_{1},\\dots,\\Delta_{n}\\}T={Δ1​,…,Δn​}, 和 $T$ 上的点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​}, ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 使得黎曼和满足 ∣∑i=1nf(ξi)Δxi∣≥M|\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}|\\geq M∣i=1∑n​f(ξi​)Δxi​∣≥M.

任取满足 $\parallel T\parallel \le \delta$ 的分割 T={Δ1,…,Δn}T=\\{\\Delta_{1},\\dots,\\Delta_{n}\\}T={Δ1​,…,Δn​}, 因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无界, 因此它必然在至少一个子区间上无界, 否则将会得出 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界, 设 $f$ 在 Δk\\Delta_{k}Δk​ 上无上界. 在除 Δk\\Delta_{k}Δk​ 外的各个子区间上分别任取一点, 记为 ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, $1\le i\le n$, $i\ne k$, 记 ∣∑i=1i≠knf(ξi)Δxi∣=G|\\sum\\limits_{i=1\\atop i\\neq k}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}|= G∣i=ki=1​∑n​f(ξi​)Δxi​∣=G. 由于 $f(x)$ 在 Δk\\Delta_{k}Δk​ 上无界, 因此对于任意 $N>0$, 存在 ξ∈Δk\\xi\\in \\Delta_{k}ξ∈Δk​, $|f(\xi )|\ge N$, 以 $\xi$ 作为 Δk\\Delta_{k}Δk​ 上选取的点 ξk\\xi_{k}ξk​, 得到点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​}, 此时 ∣∑i=1nf(ξi)Δxi∣=∣∑i=1i≠knf(ξi)Δxi+f(ξ)Δxk∣≥∣f(ξ)Δk∣−∣∑i=1i≠knf(ξi)Δxi∣=NΔxk−G|\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}|=|\\sum\\limits_{i=1\\atop i\\neq k}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}+f(\\xi)\\Delta x_{k}|\\geq|f(\\xi)\\Delta_{k}|-|\\sum\\limits_{i=1\\atop i\\neq k}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}|= N\\Delta x_{k} - G∣i=1∑n​f(ξi​)Δxi​∣=∣i=ki=1​∑n​f(ξi​)Δxi​+f(ξ)Δxk​∣≥∣f(ξ)Δk​∣−∣i=ki=1​∑n​f(ξi​)Δxi​∣=NΔxk​−G, 若取 N=M+GΔxkN=\\frac{M+G}{\\Delta x_{k}}N=Δxk​M+G​, 此时 ∣∑i=1nf(ξi)Δxi∣=∣∑i=1i≠knf(ξi)Δxi+f(ξi)Δxi∣≥M|\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}|=|\\sum\\limits_{i=1\\atop i\\neq k}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}+f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}|\\geq M∣i=1∑n​f(ξi​)Δxi​∣=∣i=ki=1​∑n​f(ξi​)Δxi​+f(ξi​)Δxi​∣≥M, 分割 $T$ 和点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​} 即为所求.

有界并不是可积的充分条件, 例如 Dirichlet 函数就是有界但不可积的, 将会在后面给出证明.

由此可见, 有界是可积的必要条件, 下文仅对有界函数讨论可积性.

定义. 对于任意的分割 $T$, 由于函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界, 因此其必然在所有分段 Δi\\Delta_{i}Δi​ 上有界, 进而有上确界和下确界. 进一步地, 设 mi=inf⁡x∈Δif(x)m_{i}=\\inf\\limits_{x\\in \\Delta_{i}}f(x)mi​=x∈Δi​inf​f(x), Mi=sup⁡x∈Δif(x)M_{i}=\\sup\\limits_{x\\in \\Delta_{i}}f(x)Mi​=x∈Δi​sup​f(x), $i=1,\dots ,n$, 定义和式 ∑i=1nmiΔxi,∑i=1nMiΔxi\\sum\\limits_{i=1}^{n}m_{i}\\Delta x_{i}, \\quad \\sum\\limits_{i=1}^{n}M_{i}\\Delta x_{i}i=1∑n​mi​Δxi​,i=1∑n​Mi​Δxi​ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上关于分割 $T$ 的达布下和和达布上和, 分别记为 $s(T)$ 和 $S(T)$, 可见达布上和与达布下和仅与分割 $T$ 有关, 是从属于 $T$ 的两个属性. 显然 $m(b-a)\le s(T)\le S(T)\le M(b-a)$, 其中 M=sup⁡x∈[a,b]f(x)M=\\sup\\limits_{x\\in [a,b]}f(x)M=x∈[a,b]sup​f(x), m=inf⁡x∈[a,b]f(x)m=\\inf\\limits_{x\\in [a,b]}f(x)m=x∈[a,b]inf​f(x). 对于 $T$ 上的任一点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​}, ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 黎曼和 s(T)≤∑i=1nf(ξi)Δxi≤S(T)s(T) \\leq \\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}\\leq S(T)s(T)≤i=1∑n​f(ξi​)Δxi​≤S(T). 整理一下得到: 对于任意的分割 $T$ 及 $T$ 上的点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​}, ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 有
m(b−a)≤s(T)≤∑i=1nf(ξi)Δxi≤S(T)≤M(b−a)m(b-a)\\leq s(T)\\leq \\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}\\leq S(T) \\leq M(b-a) m(b−a)≤s(T)≤i=1∑n​f(ξi​)Δxi​≤S(T)≤M(b−a)
可以证明: 分割 $T$ 的达布上和与达布下和分别是分割 $T$ 与 $T$ 上的所有点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​}, ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 对应黎曼和的上下确界, 即
s(T)=inf⁡{ξi}∑i=1nf(ξi)Δxi,S(T)=sup⁡{ξi}∑i=1nf(ξi)Δxis(T)=\\inf\\limits_{\\{\\xi_{i}\\}}\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i},\\ S(T)=\\sup\\limits_{\\{\\xi_{i}\\}}\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i} s(T)={ξi​}inf​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​, S(T)={ξi​}sup​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​
证明: 仅证明 S(T)=sup⁡{ξi}∑i=1nf(ξi)ΔxiS(T)=\\sup\\limits_{\\{\\xi_{i}\\}}\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}S(T)={ξi​}sup​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​, 关于 $s(T)$ 的结论可以用类似方式证明.

对于 $\forall ϵ>0$, 在任意一个分段 Δi∈{Δ1,...,Δn}\\Delta_{i}\\in \\{\\Delta_{1},...,\\Delta_{n}\\}Δi​∈{Δ1​,...,Δn​} 上, 由于 Mi=sup⁡x∈Δif(x)M_{i}=\\sup\\limits_{x\\in \\Delta_{i}}f(x)Mi​=x∈Δi​sup​f(x), 因此存在 ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, 使得 f(ξi)≥Mi−ϵb−af(\\xi_{i})\\geq M_{i}-\\frac{\\epsilon}{b-a}f(ξi​)≥Mi​−b−aϵ​, 由此构造出点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​}, ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$. $T$ 和 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​} 对应的黎曼和满足
S(T)−ϵ=∑i=1n(Mi−ϵb−a)Δxi≤∑i=1nf(ξi)Δxi≤S(T)S(T)-\\epsilon=\\sum\\limits_{i=1}^{n}(M_{i}-\\frac{\\epsilon}{b-a})\\Delta x_{i} \\leq \\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}\\leq S(T) S(T)−ϵ=i=1∑n​(Mi​−b−aϵ​)Δxi​≤i=1∑n​f(ξi​)Δxi​≤S(T)
定理4.4.2. 若分割 T′T'T′ 是在分割 $T$ 的基础上增加 $p$ 个分点得到的, 则
s(T)+(M−m)p∥T∥≥s(T′)≥s(T)s(T)+(M-m)p \\parallel T \\parallel \\geq s(T') \\geq s(T) s(T)+(M−m)p∥T∥≥s(T′)≥s(T)

S(T)−(M−m)p∥T∥≤S(T′)≤S(T)S(T)-(M-m)p \\parallel T \\parallel \\leq S(T') \\leq S(T) S(T)−(M−m)p∥T∥≤S(T′)≤S(T)

证明: 我们证明 S(T)−(M−m)p∥T∥≤S(T′)≤S(T)S(T)-(M-m)p \\parallel T \\parallel \\leq S(T') \\leq S(T)S(T)−(M−m)p∥T∥≤S(T′)≤S(T), 关于 $s(T)$ 的结论可类似证明.

当 $p=1$ 时, 设新增的分点在第 $k$ 个子区间, 达布上和中这一区间对应的项变为
MiΔxi→Mi′Δxi′+Mi′′Δxi′′M_{i}\\Delta x_{i}\\rightarrow M_{i}'\\Delta x_{i}'+ M_{i}''\\Delta x_{i}'' Mi​Δxi​→Mi′​Δxi′​+Mi′′​Δxi′′​
这里 Mi′M_{i}'Mi′​ 和 Mi′′M_{i}''Mi′′​ 分别是插入分点左侧和右侧的区间上的最大值, Δxi′\\Delta x_{i}'Δxi′​ 和 Δxi′′\\Delta x_{i}''Δxi′′​ 分别是插入分点左侧和右侧的区间长度. 显然 Mi′M_{i}'Mi′​ 和 Mi′′M_{i}''Mi′′​ 都不超过 $M$, 插入分点前后的此项的差值为
Mi′Δxi′+Mi′′Δxi′′−MiΔxi=(Mi′−Mi)Δxi′+(Mi′′−Mi)Δxi′′≤0M_{i}'\\Delta x_{i}'+ M_{i}''\\Delta x_{i}''-M_{i}\\Delta x_{i} =(M_{i}'-M_{i})\\Delta x_{i}'+(M_{i}''-M_{i})\\Delta x_{i}'' \\leq 0 Mi′​Δxi′​+Mi′′​Δxi′′​−Mi​Δxi​=(Mi′​−Mi​)Δxi′​+(Mi′′​−Mi​)Δxi′′​≤0
由于 Mi−Mi′≤Mi−mi≤M−mM_{i}-M_{i}'\\leq M_{i}-m_{i}\\leq M-mMi​−Mi′​≤Mi​−mi​≤M−m, Mi−Mi′′≤Mi−mi≤M−mM_{i}-M_{i}''\\leq M_{i}-m_{i}\\leq M-mMi​−Mi′′​≤Mi​−mi​≤M−m, Δxi′≤∥T∥\\Delta x_{i}'\\leq \\parallel T \\parallelΔxi′​≤∥T∥, Δxi′′≤∥T∥\\Delta x_{i}'' \\leq \\parallel T \\parallelΔxi′′​≤∥T∥

因此 S(T)−(M−m)∥T∥≤S(T′)≤S(T)S(T)-(M-m) \\parallel T \\parallel \\leq S(T') \\leq S(T)S(T)−(M−m)∥T∥≤S(T′)≤S(T)

若 $p=n-1$ 时成立, 求证 $p=n$ 时成立: 设插入 $n-1$ 个分点后得到 Tn−1T^{n-1}Tn−1
S(T)−(M−m)(n−1)∥T∥≤S(Tn−1)≤S(T)S(T)-(M-m) (n-1) \\parallel T \\parallel \\leq S(T^{n-1}) \\leq S(T) S(T)−(M−m)(n−1)∥T∥≤S(Tn−1)≤S(T)
此时再插入一点, 得到 TnT^{n}Tn, 由 $p=1$ 的结论, 有
S(Tn−1)−(M−m)∥Tn−1∥≤S(Tn)≤S(Tn−1)S(T^{n-1})-(M-m) \\parallel T^{n-1} \\parallel \\leq S(T^{n}) \\leq S(T^{n-1}) S(Tn−1)−(M−m)∥Tn−1∥≤S(Tn)≤S(Tn−1)
由于 ∥Tn−1∥≤∥T∥\\parallel T^{n-1} \\parallel\\leq \\parallel T \\parallel∥Tn−1∥≤∥T∥, 再结合 $p=n-1$ 时的结论, 有
S(T)−(M−m)n∥T∥≤S(Tn)≤S(T)S(T)-(M-m)n \\parallel T \\parallel \\leq S(T^{n}) \\leq S(T) S(T)−(M−m)n∥T∥≤S(Tn)≤S(T)
证毕.

定理4.4.3. 对于任意分割 $T$ 和 T′T'T′, T′T'T′ 的达布上和不会低于 $T$ 的达布下和, 达布下和不会高于 $T$ 的达布上和, 即
s(T′)≤S(T)s(T')\\leq S(T) s(T′)≤S(T)

S(T′)≥s(T)S(T') \\geq s(T) S(T′)≥s(T)

证明:

设 $T$ 和 T′T'T′ 的分点合并后得到 T+T′T+T'T+T′, 根据定理4.4.2, 有
s(T′)≤s(T+T′)≤S(T+T′)≤S(T)s(T') \\leq s(T+T')\\leq S(T+T')\\leq S(T) s(T′)≤s(T+T′)≤S(T+T′)≤S(T)

s(T)≤s(T+T′)≤S(T+T′)≤S(T′)s(T) \\leq s(T+T')\\leq S(T+T')\\leq S(T') s(T)≤s(T+T′)≤S(T+T′)≤S(T′)

证毕.

对于任意的分割 $T$, 以及任意点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​}, ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 有 m(b−a)≤s(T)≤∑i=1nf(ξi)Δxi≤S(T)≤M(b−a)m(b-a)\\leq s(T)\\leq \\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}\\leq S(T)\\leq M(b-a)m(b−a)≤s(T)≤i=1∑n​f(ξi​)Δxi​≤S(T)≤M(b−a), 因此 $s(T)$ 有上界, $S(T)$ 有下界, 进而 $s(T)$ 有上确界, $S(T)$ 有下确界.

定义. 分别称 s=sup⁡Ts(T)s=\\sup\\limits_{T} s(T)s=Tsup​s(T), S=sup⁡TS(T)S=\\sup\\limits_{T} S(T)S=Tsup​S(T) 为下积分和上积分. 显然对于任意分割 $T$, 有 $m(b-a)\le s(T)\le s\le S\le S(T)\le M(b-a)$.

定理4.4.4. 上下积分, 也就是达布上和的下确界和达布下和的上确界, 分别等于达布上和达布下和在 $\Vert T\Vert \to 0$ 时的极限, 即 S=lim⁡∥T∥→0S(T)S=\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0} S(T)S=∥T∥→0lim​S(T), s=lim⁡∥T∥→0s(T)s=\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0} s(T)s=∥T∥→0lim​s(T).

证明: 下面证明 S=lim⁡∥T∥→0S(T)S=\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0} S(T)S=∥T∥→0lim​S(T), 关于 $s(T)$ 的结论可类似证明.

即证: 对于 $\forall ϵ>0$, 存在 $\delta >0$, 对于任意的分割 $T$, $\parallel T\parallel \le \delta$, 必有
$$S(T)-S\le ϵ$$
由下确界的定义, 对于任意 ϵ′>0\\epsilon'\\gt 0ϵ′>0, 必然存在分割 $T$, 使得 S≤S(T)≤S+ϵ′S\\leq S(T)\\leq S+\\epsilon'S≤S(T)≤S+ϵ′,

对于任意分割 T′T'T′, 记 $T$ 和 T′T'T′ 合并后的分割为 T+T′T+T'T+T′, 对于 $T$ 而言, T+T′T+T'T+T′ 至多新增了 pT′p_{T'}pT′​ 个点, 对于 T′T'T′ 而言, T+T′T+T'T+T′ 至多新增了 pTp_{T}pT​ 个点, 由定理4.4.2, 有
S(T′)−(M−m)pT′∥T′∥≤S(T+T′)≤S(T′)S(T')-(M-m)p_{T'}\\parallel T'\\parallel\\leq S(T+T')\\leq S(T') S(T′)−(M−m)pT′​∥T′∥≤S(T+T′)≤S(T′)

S(T)−(M−m)pT∥T∥≤S(T+T′)≤S(T)S(T)-(M-m)p_{T}\\parallel T\\parallel\\leq S(T+T')\\leq S(T) S(T)−(M−m)pT​∥T∥≤S(T+T′)≤S(T)

因此 S(T′)≤S(T+T′)+(M−m)pT′∥T′∥≤S(T)+(M−m)pT′∥T′∥S(T')\\leq S(T+T') + (M-m)p_{T'}\\parallel T'\\parallel\\leq S(T) + (M-m)p_{T'}\\parallel T'\\parallelS(T′)≤S(T+T′)+(M−m)pT′​∥T′∥≤S(T)+(M−m)pT′​∥T′∥.

因此对于任意 T′T'T′, 满足 ∥T′∥≤ϵ′(M−m)pT′\\parallel T'\\parallel\\leq \\frac{\\epsilon'}{(M-m)p_{T'}}∥T′∥≤(M−m)pT′​ϵ′​, 则有
S(T′)≤S(T)+ϵ′≤S+2ϵ′S(T')\\leq S(T)+\\epsilon' \\leq S+2\\epsilon' S(T′)≤S(T)+ϵ′≤S+2ϵ′
特别地, 对于 ϵ′=ϵ2\\epsilon'=\\frac{\\epsilon}{2}ϵ′=2ϵ​, 此时
S(T′)−S≤ϵS(T')-S\\leq \\epsilon S(T′)−S≤ϵ
证毕.

定理4.4.5. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积的充要条件是: (1) $s=S$; (2) 对于任意 $ϵ>0$, 存在分割 $T$ 使得 $S(T)-s(T)\le ϵ$.

证明: 对于 (1): $s=S$ $⟺$ lim⁡∥T∥→0s(T)=lim⁡∥T∥→0S(T)\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0}s(T)=\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0}S(T)∥T∥→0lim​s(T)=∥T∥→0lim​S(T), 因此下文将用 lim⁡∥T∥→0s(T)=lim⁡∥T∥→0S(T)\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0}s(T)=\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0}S(T)∥T∥→0lim​s(T)=∥T∥→0lim​S(T) 替代.

(1) 充分性: 由定理4.4.4, 有 lim⁡∥T∥→0s(T)=lim⁡∥T∥→0S(T)=J\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0}s(T)=\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0}S(T)=J∥T∥→0lim​s(T)=∥T∥→0lim​S(T)=J, 进而对于 $\forall ϵ>0$, 存在 $\delta >0$, 对于任意分割 T={Δ1,…,Δn}T=\\{\\Delta_{1},\\dots,\\Delta_{n}\\}T={Δ1​,…,Δn​}, $\parallel T\parallel \le \delta$, 有
$$J-ϵ\le s(T)\le s\le S\le S(T)\le J+ϵ$$
此时对于分割 $T$ 上的任意点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​}, ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 所得的黎曼和满足:
J−ϵ≤s(T)≤∑i=1nf(ξi)Δxi≤S(T)≤J+ϵJ-\\epsilon \\leq s(T)\\leq \\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i} \\leq S(T)\\leq J+\\epsilon J−ϵ≤s(T)≤i=1∑n​f(ξi​)Δxi​≤S(T)≤J+ϵ
即 ∣∑i=1nf(ξi)Δxi−J∣≤ϵ|\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i} -J|\\leq \\epsilon∣i=1∑n​f(ξi​)Δxi​−J∣≤ϵ, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积, 证毕.

必要性: 存在实数 $J$, 使得对于 $\forall ϵ>0$, 存在 $\delta >0$, 使得对于任意分割 T={Δ1,…,Δn}T=\\{\\Delta_{1},\\dots,\\Delta_{n}\\}T={Δ1​,…,Δn​}, $\parallel T\parallel \le \delta$ , 和任意点列 {ξi}\\{\\xi_{i}\\}{ξi​}, ξi∈Δi\\xi_{i}\\in \\Delta_{i}ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 有
∣∑i=1nf(ξi)Δxi−J∣≤ϵ|\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}-J|\\leq \\epsilon ∣i=1∑n​f(ξi​)Δxi​−J∣≤ϵ
即
J−ϵ≤∑i=1nf(ξi)Δxi≤J+ϵJ-\\epsilon \\leq \\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}\\leq J+\\epsilon J−ϵ≤i=1∑n​f(ξi​)Δxi​≤J+ϵ
进而有
J−ϵ≤s(T)=inf⁡{ξi}∑i=1nf(ξi)Δxi≤J+ϵJ−ϵ≤S(T)=sup⁡{ξi}∑i=1nf(ξi)Δxi≤J+ϵJ-\\epsilon \\leq s(T)=\\inf\\limits_{\\{\\xi_{i}\\}}\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}\\leq J+\\epsilon\\\\ J-\\epsilon \\leq S(T)=\\sup\\limits_{\\{\\xi_{i}\\}}\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}\\leq J+\\epsilon J−ϵ≤s(T)={ξi​}inf​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​≤J+ϵJ−ϵ≤S(T)={ξi​}sup​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​≤J+ϵ
因此有 $|s(T)-J|\le ϵ$, $|S(T)-J|\le ϵ$. 所以 lim⁡∥T∥→0s(T)=lim⁡∥T∥→0S(T)=J\\lim\\limits_{\\parallel T\\parallel \\rightarrow 0}s(T)=\\lim\\limits_{\\parallel T\\parallel \\rightarrow 0}S(T)=J∥T∥→0lim​s(T)=∥T∥→0lim​S(T)=J, 证毕.