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凑微分练习

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凑微分练习

前言

在学习第一类换元法（凑微分法）时，我们常常需要凑微分。为了更加熟练地运用凑微分法，下面有几道凑微分例题供大家练习。

记住 $df (x) = f^{'} (x) d x$

例题1

$dx=‾d(ax)dx=\\underline{\\quad}d(ax)$
$dx=‾d(6x−4)dx=\\underline{\\quad}d(6x-4)$
$xdx=‾d(x2)xdx=\\underline{\\quad}d(x^2)$
$xdx=‾d(1−x2)xdx=\\underline{\\quad}d(1-x^2)$
$x2dx=‾d(4x3+3)x^2dx=\\underline{\\quad}d(4x^3+3)$

答案： $\\qquad(2)\\dfrac 16 \\qquad(3)\\dfrac 12\\qquad (4)-\\dfrac 12 \\qquad(5)\\dfrac {1}{12}$

例题2

$exdx=‾d(3ex)e^xdx=\\underline{\\quad}d(3e^x)$
$e2xdx=‾d(e2x)e^{2x}dx=\\underline{\\quad}d(e^{2x})$
$ex2dx=‾d(ex2+3)e^{\\frac x2}dx=\\underline{\\quad}d(e^{\\frac x2}+3)$
$1xdx=‾d(3ln⁡∣x∣)\\dfrac 1xdx=\\underline{\\quad}d(3\\ln|x|)$
$2xdx=‾d(5−4ln⁡∣x∣)\\dfrac 2xdx=\\underline{\\quad}d(5-4\\ln|x|)$

答案： $(1)13(2)12(3)2(4)13(5)−12(1)\\dfrac 13 \\qquad(2) \\dfrac 12 \\qquad(3)2 \\qquad(4)\\dfrac 13 \\qquad(5)-\\dfrac 12$

例题3

$sin⁡xdx=‾d(cos⁡x)\\sin xdx=\\underline{\\quad}d(\\cos x)$
$cos⁡23xdx=‾d(sin⁡23x)\\cos \\dfrac 23xdx=\\underline{\\quad}d(\\sin \\dfrac 23x)$
$11−x2dx=‾d(1−arcsin⁡x)\\dfrac{1}{\\sqrt{1-x^2}}dx=\\underline{\\quad}d(1-\\arcsin x)$
$11+9x2dx=‾d(arctan⁡3x)\\dfrac{1}{1+9x^2}dx=\\underline{\\quad}d(\\arctan 3x)$
$x1−x2dx=‾d(1−x2)\\dfrac{x}{\\sqrt{1-x^2}}dx=\\underline{\\quad}d(\\sqrt{1-x^2})$

答案： $\\qquad(2)\\dfrac 32 \\qquad(3)-1 \\qquad(4)\\dfrac 13 \\qquad(5)-1$