考研数二第十八讲 定积分的实际应用之求解旋转体积切面面积

定积分的实际应用

1.求一段曲线与x 轴和任一直线、曲线围成的图形和极坐标下曲线围成的图形面积(求一块平面区域的面积)

(1) x-型区域、 y-型区域介绍

极坐标：

求一段曲线绕 x 轴、 y轴和任一直线旋转得所得旋转体的体积、旋转曲面的表面积

设在平面直角坐标系上有一段曲线 y=f(x)>0,$a\le x\le b$ .我们在区间[a,b] 上取一个微元区间[x,x+dx] ,则此微段所对应的曲线与 x轴围成的微段矩形绕 轴旋转所形成的微元体是一个以dx 为高, f(x) 为底面半径的圆柱,如图9所示,则微元体积为 dv=πf2(x)dxdv = πf^2(x)dxdv=πf2(x)dx

将所有微元长度积分起来,即 V=∫abdV=∫abπf2(x)dxV=\\int_{a}^{b}dV = \\int_{a}^{b} πf^2(x)dxV=∫ab​dV=∫ab​πf2(x)dx

绕y轴体积

我们依然在区间 [a,b] 上取一个微元区间[x,x+dx] ,但是取不同的微元体积.我们想象曲线已经绕y 轴旋转形成了一个回转体,当我们在此回转体的一个横截面(不妨取 xOy 平面)上横坐标为 x的点取了dx 的微元变量,自然会在此平面上形成长度为 f(x) ,宽为 dx 的微元矩形(如图10所示),然后让此矩形也绕 y轴旋转形成一个有孔圆柱,所以我们就取微元体积为此有孔圆柱,则微元体积 dV=π[(x+dx)2−x2]f(x)=π[(2x+dx)dx]f(x)dV = π[(x+dx)^2-x^2]f(x)=π[(2x+dx)dx]f(x)dV=π[(x+dx)2−x2]f(x)=π[(2x+dx)dx]f(x) ，舍去含高阶无穷小（dx)2（dx)^2（dx)2的项，$dV=2\pi xf(x)dx$, 将所有微元长度积分起来，即V=∫abdV=2π∫abxf(x)dxV=\\int_{a}^{b}dV = 2π\\int_{a}^{b} xf(x)dxV=∫ab​dV=2π∫ab​xf(x)dx

绕X 轴表面积

绕任意一条直线旋转所得体积

设在平面直角坐标系上有一段曲线 y=f(x), $a\le x\le b$,以及一条直线 Ax+By+C=0 ,且曲线完全在直线的一侧,求曲线绕直线旋转一圈所得体积.