Leetcode.319 灯泡开关

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Leetcode.319 灯泡开关 mid

题目描述

初始时有 n 个灯泡处于关闭状态。第一轮，你将会打开所有灯泡。接下来的第二轮，你将会每两个灯泡关闭第二个。

第三轮，你每三个灯泡就切换第三个灯泡的开关（即，打开变关闭，关闭变打开）。第 i 轮，你每 i 个灯泡就切换第 i 个灯泡的开关。直到第 n 轮，你只需要切换最后一个灯泡的开关。

找出并返回 n 轮后有多少个亮着的灯泡。

示例 1：

输入：n = 3
输出：1
解释：
初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭].
第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启].
第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启].
第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭].

你应该返回 1，因为只有一个灯泡还亮着。

示例 2：

输入：n = 0
输出：0

示例 3：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 0<=n<=1090 <= n <= 10^90<=n<=109

解法：数论

我们发现对于第 $k$ 个灯泡，它的被切换的次数就是 $k$ 的约数个数。比如 $k=6$，第 $k$ 个灯泡就会被切换 4 次(1,2,3,6)。

我们发现灯泡切换 偶数次 之后灯就关了，切换 奇数次 之后灯才是亮着的。

• 当 $k$ 不是完全平方数时，$k$ 有 偶数个 约数
• 当 $k$ 是完全平方数时，$k$ 有 奇数个 约数

所以我们要统计 亮着的 灯泡，只需要统计切换 奇数次 的灯泡个数。即，统计 ($1-n$)中的完全平方数个数，即 n\\sqrt{n}n​。由于 sqrt是浮点数运算，为了避免精度问题，我们可以计算 n+0.5\\sqrt{n + 0.5}n+0.5​来保证结果的正确性。

时间复杂度：$O(1)$

C++代码：

class Solution {
public:int bulbSwitch(int n) {return (int)sqrt(n + 0.5);}
};