题目描述

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

示例1:

• 输入：n = 3
  输出：4
  说明: 有四种走法

示例2:

• 输入：n = 5
  输出：13

提示:

• n范围在[1, 1000000]之间

解题思路与代码

这道题，我说实话对我而言没有什么太大的思路。然后我去网上看了看题解，主流的解法就是使用动态规划去解题，还有用矩阵快速幂去解题的，博主我大学数学学的不好，后悔大学没有好好学习高数，线代了，所以我这里先介绍动态规划的解法，到未来，如果我有一天数学基础又好了，我会回来将矩阵快速幂这个解法来补上的。

方法一，动态规划

这道题我们直接去套用Carl哥的动态规划五部曲，去解题分析。

第一步,确定dp数组以及下标的含义：

• dp[i] : 爬到第i层楼，有dp[i]种方法。

第二步，确定递推（推导）公式

• 从dp[i] 的定义我们可以推导出，有三种方式可以得到dp[i]，分别是：
  • dp[i-1]代表的是，到达i-1层楼，一共有dp[i-1]种方法，那我再上一层楼，是不是就得到dp[i]了呢？
  • dp[i-2]代表的是，到达i-2层楼，一共有dp[i-2]种方法，那我再上两层楼，是不是就得到dp[i]了呢？
  • dp[i-3]代表的是，到达i-3层楼，一共有dp[i-3]种方法，那我再上三层楼，是不是就得到dp[i]了呢？
• 所以dp[i]就是dp[i-1],dp[i-2],dp[i-3]它们的和，dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3];

第三步，dp数组如何初始化？

• 首先，我认为所谓初始化，就是如何从最底层向结果去推演的一个过程，因为我们之前知道，一共有三种方式可以得到dp[i],所以我们等下就要初始化3个值。
• 那么由题意可值，n是一个正整数，最小值为1，这里讨论dp[0],就没有意义。
• 所以我们要从dp[1]开始初始化，所以dp[1] = 1,dp[2] = 1,dp[2] = 2,dp[3] = 4

第四步，确定遍历顺序

• 由递推公式：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]; 我们可以看出，遍历顺序，一定是从前向后去遍历的。

第五步，举例推导dp数组

• 当 n 为 6 时，
  • dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4,
  • dp[4] = dp[1] + dp [2] + dp[3] = 7,
  • dp[5] = dp[2] + dp [3] + dp[4] = 13,
  • dp[6] = dp[3] + dp [4] + dp[5] = 24.

当这五部曲分析完成后，我们就可以去写代码啦~

代码如下：

class Solution {
public:int waysToStep(int n) {if(n <= 2) return n;if(n == 3) return 4;vector<int> dp (n+1,0);dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 4;for(int i = 4; i < n+1; ++i)dp[i] = ((dp[i-1] + dp[i-2])%1000000007 + dp[i-3])%1000000007; //这个公式是由下面公式合并同类项而来的//dp[i] = ((dp[i-3]%1000000007 + dp[i-2])%1000000007 + dp[i-1]%1000000007)%1000000007;return dp[n];}
};

复杂度分析

时间复杂度分析：

• 初始化一个长度为 n+1 的 dp 数组，时间复杂度为 O(n)。
  遍历 dp 数组，计算 dp[i] 的值，时间复杂度为 O(n)。
  整个算法的时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度分析：

• 开辟一个长度为 n+1 的 dp 数组，空间复杂度为 O(n)。
  综上所述，该算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。需要注意的是，由于取模操作的存在，实际运行时间可能会略微慢一些，但不会改变时间复杂度的量级。

方法二，使用滚动遍历，优化动态规划

和上题的思想一样，只不过用4个int变量，去替代了dp数组。
int one = 1，代替了原来的dp[1], int two = 2，代替了原来的dp[2], int three = 4，代替了原来的dp[3],
int result = ((three + two)%1000000007 + one)%1000000007，代替了原来的dp[n]

然后用one = two ，two = three，three = result，去不断更新dp[i-1],dp[i-2],dp[i-3]的值。

具体的代码实现如下：

class Solution {
public:int waysToStep(int n) {if(n <= 2) return n;if(n == 3) return 4;int one = 1; int two = 2; int three = 4; int result = 0;for(int i = 4; i < n+1; ++i){result = ((three + two)%1000000007 + one)%1000000007;one = two;two = three;three = result;}return result;}
};

复杂度分析

时间复杂度分析：

初始化三个变量 one, two, three，时间复杂度为 O(1)。
遍历 n 次，计算 result 的值，时间复杂度为 O(n)。
整个算法的时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度分析：

只开辟了三个变量 one, two, three，空间复杂度为 O(1)。
综上所述，该算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。

总结

这道题，是一道动态规划非常好的练手题。我们可以拿它来做动态规划的入门。很好很不错！