动态系统的建模与分析

前言

CS小菜鸡控制理论入门
视频学习笔记
视频传送门：动态系统的建模与分析】9_一阶系统的频率响应_低通滤波器_Matlab/Simulink分析

拉普拉斯变换

F(s)=L{f(t)}=∫0∞f(t)e−stdtF(s)=\\mathcal{L}\\{f(t)\\}=\\int_0^\\infty f(t)e^{-st}\\mathrm{d}tF(s)=L{f(t)}=∫0∞​f(t)e−stdt，其中$s=\sigma +j\omega$

L{f′(t)}=sF(s)−f(0)\\mathcal{L}\\{f'(t)\\}=sF(s)-f(0)L{f′(t)}=sF(s)−f(0)

L{f′′(t)}=s2F(s)−sf(0)−f′(0)\\mathcal{L}\\{f''(t)\\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)L{f′′(t)}=s2F(s)−sf(0)−f′(0)

L{∫0tf(τ)d(τ)}=1sF(s)\\mathcal{L}\\{\\int_0^t f(\\tau)d(\\tau)\\}=\\frac{1}{s}F(s)L{∫0t​f(τ)d(τ)}=s1​F(s)

一个电路例子：

e′=Li′′+Ri′+1cie'=Li''+Ri'+\\frac{1}{c}ie′=Li′′+Ri′+c1​i

sE(s)=Ls2I(s)+RsI(s)+1cI(s)sE(s)=Ls^2I(s)+RsI(s)+\\frac{1}{c}I(s)sE(s)=Ls2I(s)+RsI(s)+c1​I(s)

sE(s)=(Ls2+Rs+1c)I(s)sE(s)=(Ls^2+Rs+\\frac{1}{c})I(s)sE(s)=(Ls2+Rs+c1​)I(s)

I(s)=sLs2+Rs+1cE(s)I(s)=\\frac{s}{Ls^2+Rs+\\frac{1}{c}}E(s)I(s)=Ls2+Rs+c1​s​E(s)

常系数微分方程$⟺$线性时不变系统

非线性化系统：1.在平衡点处线性化 2.采用非线性化分析控制

拉普拉斯变换求解线性微分方程：

1. 运用$\mathcal{L}$将$t$域转化到$s$域；
2. $+-\times ÷$；
3. 运用L−1\\mathcal{L^{-1}}L−1将$s$域转化到$t$域；

拉普拉斯逆变换

F(s)=5−ss2+5s+4F(s)=\\frac{5-s}{s^2+5s+4}F(s)=s2+5s+45−s​

F(s)=−3s+4+2s+1F(s)=\\frac{-3}{s+4}+\\frac{2}{s+1}F(s)=s+4−3​+s+12​

L−1[F(s)]=−3e−4t+2e−t\\mathcal{L^{-1}}[F(s)]=-3e^{-4t}+2e^{-t}L−1[F(s)]=−3e−4t+2e−t

$s=-4,-1$：传递函数（Transfer Function）的极点（Poles）

一阶系统的单位阶跃响应（Step Response）

x˙(t)+gRx(t)=u(t)\\dot{x}(t)+\\frac{g}{R}x(t)=u(t)x˙(t)+Rg​x(t)=u(t)

x(t)=CRg(1−e−gRt)x(t)=\\frac{CR}{g}(1-e^{-\\frac{g}{R}t})x(t)=gCR​(1−e−Rg​t)

时间常数$t=\tau$，满足x(τ)=1−1e=0.63x(\\tau)=1-\\frac{1}{e}=0.63x(τ)=1−e1​=0.63

稳定（整定）时间 $Tss=4\tau$

用于系统辨识：

假设 $Tss=4$，则τ=1=Rg\\tau=1=\\frac{R}{g}τ=1=gR​

CRg=5⟹C=5\\frac{CR}{g}=5\\Longrightarrow C=5gCR​=5⟹C=5

u(s)⟶as+a⟶x(s)u(s) \\longrightarrow \\frac{a}{s+a} \\longrightarrow x(s)u(s)⟶s+aa​⟶x(s)：本质上是一个低通滤波器

频率响应

input: Misin(ωt+ϕi)M_isin(\\omega t+\\phi_i)Mi​sin(ωt+ϕi​)

output: M0sin(ωt+ϕ0)M_0sin(\\omega t+\\phi_0)M0​sin(ωt+ϕ0​)

振幅响应：M0Mi=M\\frac{M_0}{M_i}=MMi​M0​​=M

幅角响应：ϕ0−ϕi=ϕ\\phi_0-\\phi_i=\\phiϕ0​−ϕi​=ϕ

(一番数学推导…)

conclusion

MG=∣G(jω)∣M_G=|G(j\\omega)|MG​=∣G(jω)∣

ϕG=∠G(jω)\\phi_G=\\angle G(j\\omega)ϕG​=∠G(jω)