第二类换元法三角代换的万能代换

前置知识：第二类换元法

介绍

由$\sin x,\cos x$与常数经过有限次四则运算所得到的表达式称为三角有理式，记作$R(\sin x,\cos x)$。对它的不定积分$\int R(\sin x,\cos x)dx$，作半角代换： t = tan ⁡ x 2 t=\\tan \\dfrac x2 t=tan2x​。

由三角函数公式的万能公式可得，有

sin ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 \\sin \\alpha=\\dfrac{2\\tan \\frac{\\alpha}{2}}{1+\\tan^2\\frac{\\alpha}{2}} sinα=1+tan22α​2tan2α​​

cos ⁡ α = 1 − tan ⁡ 2 α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 \\cos \\alpha=\\dfrac{1-\\tan^2\\frac{\\alpha}{2}}{1+\\tan^2 \\frac{\\alpha}{2}} cosα=1+tan22α​1−tan22α​​

tan ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 − tan ⁡ 2 α 2 \\tan \\alpha=\\dfrac{2\\tan\\frac{\\alpha}{2}}{1-\\tan^2\\frac{\\alpha}{2}} tanα=1−tan22α​2tan2α​​

于是

∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = ∫ R ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) ⋅ 2 1 + t 2 d t \\int R(\\sin x,\\cos x)dx=\\int R(\\dfrac{2t}{1+t^2},\\dfrac{1-t^2}{1+t^2})\\cdot \\dfrac{2}{1+t^2}dt ∫R(sinx,cosx)dx=∫R(1+t22t​,1+t21−t2​)⋅1+t22​dt

因为任何三角有理函数都可以用这个代换方法找到初等的原函数，所以 t = tan ⁡ x 2 t=\\tan \\dfrac x2 t=tan2x​常被称为“万能代换”。

例题

计算 ∫ 1 + sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x d x \\int \\dfrac{1+\\sin x}{1+\\cos x}dx ∫1+cosx1+sinx​dx

解：
\\qquad 令 t = tan ⁡ x 2 t=\\tan \\dfrac x2 t=tan2x​，则有

1 + sin ⁡ x = 1 + 2 t 1 + t 2 = ( 1 + t ) 2 1 + t 2 \\qquad 1+\\sin x=1+\\dfrac{2t}{1+t^2}=\\dfrac{(1+t)^2}{1+t^2} 1+sinx=1+1+t22t​=1+t2(1+t)2​

1 + cos ⁡ x = 1 + 1 − t 2 1 + t 2 = 2 1 + t 2 \\qquad 1+\\cos x=1+\\dfrac{1-t^2}{1+t^2}=\\dfrac{2}{1+t^2} 1+cosx=1+1+t21−t2​=1+t22​

\\qquad 所以

∫ 1 + sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x d x = ∫ ( 1 + t ) 2 1 + t 2 2 1 + t 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t = ∫ ( 1 + t ) 2 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t \\qquad \\int \\dfrac{1+\\sin x}{1+\\cos x}dx=\\int\\dfrac{\\quad\\frac{(1+t)^2}{1+t^2}\\quad}{\\frac{2}{1+t^2}}\\cdot \\dfrac{2}{1+t^2}dt=\\int\\dfrac{(1+t)^2}{2}\\cdot \\dfrac{2}{1+t^2}dt ∫1+cosx1+sinx​dx=∫1+t22​1+t2(1+t)2​​⋅1+t22​dt=∫2(1+t)2​⋅1+t22​dt

= ∫ ( 1 + 2 t 1 + t 2 ) d t = t + ln ⁡ ( 1 + t 2 ) + C \\qquad\\qquad\\qquad\\qquad\\quad =\\int(1+\\dfrac{2t}{1+t^2})dt=t+\\ln(1+t^2)+C =∫(1+1+t22t​)dt=t+ln(1+t2)+C

= tan ⁡ x 2 − ln ⁡ [ 1 cos ⁡ 2 x ( cos ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 x ) ] + C = tan ⁡ x 2 − 2 ln ⁡ ∣ cos ⁡ x 2 ∣ + C \\qquad\\qquad\\qquad\\qquad\\quad =\\tan \\dfrac x2-\\ln[\\dfrac{1}{\\cos^2 x}(\\cos^2 x+\\sin^2 x)]+C=\\tan\\dfrac x2-2\\ln|\\cos\\dfrac x2|+C =tan2x​−ln[cos2x1​(cos2x+sin2x)]+C=tan2x​−2ln∣cos2x​∣+C

总结

万能代换的过程很繁琐，但并没有太大的思维难度。如果一道三角有理函数求原函数的题一直想不出来，不妨试试用万能代换。