最优化方法Python计算：一元函数导数数值计算

文章列表

定义1 给定连续函数 $f (x)$ ， $x\\in\\Omega\\subseteq\\text{ℝ}$ 。设 $x,x_1\\in\\Omega$ ，
$\\Delta x=x-x_1$
称为变量 $x$ 的差分。此时， $x=x_1+\\Delta x$ 。称
$\\frac{f(x_1+\\Delta x)-f(x_1)}{\\Delta x}$
为 $f (x)$ 在 $x_1$ 处的前向差分。称
$\\frac{f(x_1)-f(x_1-\\Delta x)}{\\Delta x}$
为 $f (x)$ 在 $x_1$ 处的后向差分。称
$\\frac{f(x_1+\\Delta x/2)-f(x_1-\\Delta x/2)}{\\Delta x}$
为 $f (x)$ 在 $x_1$ 处的中心差分。
若函数 $f (x)$ 在 $x_1$ 处可微，则 $f (x)$ 在 $x_1$ 处的导数为
$f'(x_1)=\\lim_{\\Delta x\\rightarrow0}\\frac{f(x)-f(x_1)}{\\Delta x}=\\lim_{\\Delta x\\rightarrow0}\\frac{f(x_1+\\Delta x)-f(x_1)}{\\Delta x}$
即 $f (x)$ 在 $x_1$ 处的导数 $f'(x_1)$ 是 $f (x)$ 在 $x_1$ 处的前向差分 $\\frac{f(x_1+\\Delta x)-f(x_1)}{\\Delta x}$ 当 $x$ 的差分 $\\Delta x$ 趋于0时的极限。因此，当 $|\\Delta x|$ 充分小时，
$f'(x_1)\\approx \\frac{f(x_1)-f(x_1-\\Delta x)}{\\Delta x}.$
在 $f (x)$ 在 $x_1$ 处的后向差分 $\\frac{f(x_1)-f(x_1-\\Delta x)}{\\Delta x}$ 中对变量差分 $\\Delta x$ 作变换 $\\Delta x'=-\\Delta x$ ，得
$\\frac{f(x_1)-f(x_1-\\Delta x)}{\\Delta x}=\\frac{f(x_1)-f(x_1+\\Delta'x)}{-\\Delta x'}=\\frac{f(x_1+\\Delta x')-f(x_1)}{\\Delta x'}$
由于 $\\Delta x'\\rightarrow0$ 当且进当 $\\Delta x\\rightarrow0$ ，故当 $|\\Delta x|$ 充分小时，有
$f'(x_1)\\approx\\frac{f(x_1)-f(x_1-\\Delta x)}{\\Delta x}.$
对于 $f (x)$ 在 $x_1$ 处的中心差分
$\\frac{f(x_1+\\Delta x/2)-f(x_1-\\Delta x/2)}{\\Delta x}=\\frac{f(x_1+\\Delta x/2)-f(x_1)+f(x_1)-f(x_1-\\Delta x/2)}{\\Delta x}\\\\ =\\frac{1}{2}\\frac{f(x_1+\\Delta x/2)-f(x_1)+f(x_1)-f(x_1-\\Delta x/2)}{\\Delta x/2}\\\\ =\\frac{1}{2}\\left[\\frac{f(x_1+\\Delta x/2)-f(x_1)}{\\Delta x/2}+\\frac{f(x_1)-f(x_1-\\Delta x/2)}{\\Delta x/2}\\right]$
所以
$f'(x_1)\\approx\\frac{f(x_1+\\Delta x/2)-f(x_1-\\Delta x/2)}{\\Delta x}.$
令
$g(x)=\\frac{f(x+\\Delta x/2)-f(x-\\Delta x/2)}{\\Delta x}$
称其为 $f (x)$ 的广义导数。对 $f (x)$ 的广义导数 $g (x)$ 计算其在 $x_1$ 处的中心差分，可得 $f (x)$ 在 $x_1$ 处的二阶导数近似计算公式
$f''(x_1)\\approx\\frac{f(x_1+\\Delta x)+f(x_1-\\Delta x)-2f(x_1)}{\\Delta x^2}.$
利用 $f'(x_1)$ 和 $f"(x_1)$ 的近似公式，实现一元函数二阶可微的一、二阶导数计算的Python函数定义如下

def der_scalar(f,x1):						#f表示函数，x1表示自变量值dx=1e-7									#设置Δx=0.0000001f1=(f(x1+dx/2)-f(x1-dx/2))/dx			#计算一阶导数f2=(f(x1+dx)+f(x1-dx)-2*f(x1))/dx2		#计算二阶导数return f1,f2

程序中第1~5定义函数der_scalar。两个参数之一f表示二阶可微函数 $f (x)$ ，x1表示自变量值 $x_1$ 。第2行设置自变量增量 $\\Delta x=10^{-7}$ 为dx。第3行按 $f'(x_1)$ 的中心差分近似式计算 $x_1$ 处的一阶导数 $f'(x_1)$ 为f1。第4行按广义导数的中心差分计算 $x_1$ 处的二阶导数 $f''(x_1)$ 为f2。
例1 考虑函数 $f(x)=\\sin{x^2}$ ，其一阶导数 $f'(x)=2x\\cos{x^2}$ ，二阶导数 $f''(x)=2(\\cos{x^2}-2x^2\\sin{x^2})$ 。故对 $x_1=\\frac{\\pi}{3}$ 可算得 $f'(x_1)=0.9563$ ， $f''(x_1)=-2.9893$ 。下列代码比较直接由导函数解析式计算和调用上列程序定义的der_scalar函数计算的结果。

import numpy as np									#导入numpy
f=lambda x:np.sin(x2)								#设置函数f(x)
f1=lambda x:2*x*np.cos(x2)						#设置一阶导数f'(x)
f2=lambda x:2*(np.cos(x2)-2*np.sin(x2)*x2)	#设置二阶导数f"(x)
x1=np.pi/3											#设置自变量x1
print((f1(x1),f2(x1)))								#解析计算
print(der_scalar(f,x1))								#数值计算

程序的2、3、4行分别设置 $f (x)$ 、 $f^{'} (x)$ 和 $f^{''} (x)$ 的解析式。第5行设置自变量的值 $x_1=\\frac{\\pi}{3}$ 。第6行输出解析计算结果，第7行调用der_scalar函数数值地计算 $f'(x_1)$ 和 $f''(x_1)$ 。运行程序，输出

(0.9563079109495481, -2.9893240816612874)
(0.9563079098976839, -3.0000693287648676)

输出的第1行为解析计算的结果，第2行为数值计算结果。比较两者可见der_scalar函数计算的一阶导数结果精度是很高的，二阶导数的计算精度稍差。这是因为，这是对“广义导数”进行差分计算的结果。换句话说，在计算二阶导数时，累积了两次计算误差，产生了误差的“放大”效应。尽管如此，der_scalar函数在大多数场合都能满足应用的要求。

最优化方法Python计算：一元函数导数数值计算

公告

标签

最优化方法Python计算：一元函数导数数值计算

相关问题

公告

标签