前言

图是一种比较复杂的数据结构，每个结点之间可以有多种关系。
所以，一个图可以呈现出千奇百怪的形式。
对于不同的形式的图，我们可以用不同的存储方式来进行存储。

比如说：

• 对于边比较少而结点很多的图，我们需要把更多的存储空间用于存放顶点的信息，如果两个顶点之间不存在边，那么就不需要花费存储空间来说明这个地方没有边。
• 对于边比较多而顶点相对没那么多的图，在每一个顶点之间，都很有可能存在边，如果每一条边都单独考虑，会显得比较繁琐。
• 对于插入和删除边的操作做的比较多的图，我们更希望更快的找到这条边的信息在那个位置，于是具有随机存取性质的数据结构更加实用。

像这样的例子还有很多，下面总结一下最常用的两种存储方式——邻接矩阵和邻接表。

一、邻接矩阵

1.概念

所谓邻接矩阵存储，是指用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组存储图中边的信息（即各顶点之间的邻接关系)，存储顶点之间邻接关系的二维数组称为邻接矩阵。

• 顶点数为n的图G的邻接矩阵为$n\times n$的二维数组，如果记顶点编号为v₁, v₂, …, v_n，则对于顶点v_i和v_j，若存在一条边(v_i, v_j)∈E，则A[i][j] = 1， 否则A[i][j] = 0，即

A [ i ] [ j ] = { 1 , 若  ( v i , v j ) 或  ⟨ v i , v j ⟩ 是  E ( G ) 中的边  0 , 若  ( v i , v j ) 或  ⟨ v i , v j ⟩ 不是  E ( G ) 中的边  A[i][j]=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1, & \\text { 若 }\\left(v_{i}, v_{j}\\right) \\text { 或 }\\left\\langle v_{i}, v_{j}\\right\\rangle \\text { 是 } E(G) \\text { 中的边 } \\\\ 0, & \\text { 若 }\\left(v_{i}, v_{j}\\right) \\text { 或 }\\left\\langle v_{i}, v_{j}\\right\\rangle \\text { 不是 } E(G) \\text { 中的边 } \\end{array}\\right. A[i][j]={1,0,​ 若 (vi​,vj​) 或 ⟨vi​,vj​⟩ 是 E(G) 中的边  若 (vi​,vj​) 或 ⟨vi​,vj​⟩ 不是 E(G) 中的边 ​

• 对于带权图而言,若顶点v,和 v;之间有边相连,则邻接矩阵中对应项存放着该边对应的权值，若顶点V和V不相连，则用$\infty$来代表这两个顶点之间不存在边:

A [ i ] [ j ] = { w i j , 若  ( v i , v j ) 或  ⟨ v i , v j ⟩ 是  E ( G ) 中的边  0 或  ∞ , 若  ( v i , v j ) 或  ⟨ v i , v j ⟩ 不是  E ( G ) 中的边  A[i][j]=\\left\\{\\begin{array}{ll} w_{i j}, & \\text { 若 }\\left(v_{i}, v_{j}\\right) \\text { 或 }\\left\\langle v_{i}, v_{j}\\right\\rangle \\text { 是 } E(G) \\text { 中的边 } \\\\ 0 \\text { 或 }\\infty, & \\text { 若 }\\left(v_{i}, v_{j}\\right) \\text { 或 }\\left\\langle v_{i}, v_{j}\\right\\rangle \\text { 不是 } E(G) \\text { 中的边 } \\end{array}\\right. A[i][j]={wij​,0 或 ∞,​ 若 (vi​,vj​) 或 ⟨vi​,vj​⟩ 是 E(G) 中的边  若 (vi​,vj​) 或 ⟨vi​,vj​⟩ 不是 E(G) 中的边 ​

2.图像示例

• 无向图和它的邻接矩阵可以表示为下图形式：
  
• 有向图和它的邻接矩阵可以表示为下图形式：
  

3. 代码实现

图的邻接矩阵代码实现：

#include<iostream>
#include<string>
#include<assert.h>
using namespace std;#define MaxVertexNum 100		//顶点数目的最大值
#define INF 0xfffffff
//顶点的数据类型
typedef string VertexType;	
//带权图中边上权值的数据类型	
typedef int EdgeType;
//定义图的类型 
typedef enum GraphType{UDG, DG, UDN, DN
}GraphType;	
//邻接矩阵数据结构定义	
typedef struct{VertexType Vex[MaxVertexNum];				//顶点表EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];	//边表int vexnum, arcnum;							//图的当前顶点数和弧数GraphType type;								//标记图的类型 
}MGraph, *graph;void graph_create(MGraph &g);				//图的定义 
int vertex_index(MGraph g, string v);		//返回顶点v的坐标
void graph_add_vertex(MGraph &g, string v);	//添加顶点
bool graph_has_vertex(MGraph &g, string v);	//检查是否存在顶点v
void graph_add_edge(MGraph &g, string v1, string v2);		//添加边 
bool graph_has_edge(MGraph g, string v1, string v2);		//检查是否存在v1->v2的边 
void show_graph(MGraph g);					//打印图 void graph_create(MGraph &g){	string str;cout << "请输入要定义的图的类型：" << endl << "UDG（无向图）  DG（有向图）  UDN（无向网）  DN（有向网）" << endl; cin >> str;//初始化邻接矩阵 for(int i = 0; i < g.vexnum; i++){for(int j = 0; j < g.vexnum; j++){if(i != j){if(str == "UDN" || str == "DN")g.Edge[i][j] = INF;else g.Edge[i][j] = 0;}else g.Edge[i][j] = 0;}}if(str == "UDG") g.type = UDG;		//构建无向图else if(str == "DG")  g.type = DG;	//构建有向图else if(str == "UDN") g.type = UDN;	//构建无向网else if(str == "DN")  g.type = DN;	//构建有向网	
}void graph_add_vertex(MGraph &g, string v){if(!graph_has_vertex(g, v)){assert(g.vexnum <= MaxVertexNum);g.Vex[g.vexnum++] = v;}
}
bool graph_has_vertex(MGraph &g, string v){for(int i = 0; i < g.vexnum; i++)if(g.Vex[i] == v) return true;return false;
}void graph_add_edge(MGraph &g, string v1, string v2){if(!graph_has_edge(g, v1, v2)){int start = vertex_index(g, v1);int end = vertex_index(g, v2);if(g.type == UDG){g.Edge[start][end] = 1;g.Edge[end][start] = 1;}else if(g.type == DG){g.Edge[start][end] = 1;}else if(g.type == UDN){cout << "请输入边的权值：";cin >> g.Edge[start][end];g.Edge[end][start] = g.Edge[start][end]; }else if(g.type == DN){cout << "请输入边的权值：";cin >> g.Edge[start][end];}}
}bool graph_has_edge(MGraph g, string v1, string v2){int start = vertex_index(g, v1);int end = vertex_index(g, v2);assert(start != -1 && end != -1);if(g.type == UDG || g.type == UDN){//如果是无向图或无向网 if(g.Edge[start][end] != 0 && g.Edge[start][end] != INF) return true;if(g.Edge[end][start] != 0 && g.Edge[end][start] != INF) return true;	}else if(g.type == DG || g.type == DN){//如果是有向图或有向网 if(g.Edge[start][end] != 0 && g.Edge[start][end] != INF) return true;}return false;
}int vertex_index(MGraph g, string v){for(int i = 0; i < g.vexnum; i++){if(g.Vex[i] == v) return i;}return -1;
}void show_graph(MGraph g) {cout << "图的邻接矩阵如下所示：" << endl;for(int i = 0; i < g.vexnum; i++){//cout << g.Vex[i] << " ";for(int j = 0; j < g.vexnum; j++){if(g.Edge[i][j] == INF)cout << "∞" << " ";elsecout << g.Edge[i][j] << " ";}cout << endl;}
}void test(MGraph &g){int vexNum = 0, edgeNum = 0;string str, str1, str2;cout << "请输入图的顶点的数量：" << endl;cin >> vexNum;for(int i = 0; i < vexNum; i++){cout << "输入顶点" << i+1 << "的信息："; cin >> str;graph_add_vertex(g, str);}cout << "请输入图的边的数量：" << endl;cin >> edgeNum;for(int i = 0; i < edgeNum; i++){cout << "输入第" << i+1 << "条边的首尾顶点：";cin >> str1 >> str2;graph_add_edge(g, str1, str2);}
}int main(){MGraph g;graph_create(g);test(g); show_graph(g); return 0;
}

当然，还可以根据需求，写一些个性化的函数来丰富图的功能。比如graph_destroy用来销毁图，graph_get_edge来获取边的权值，graph_edges_count计算与顶点v有关系的边的数量……

注意

• 在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵（顶点信息等均可省略)。
• 当邻接矩阵的元素仅表示相应边是否存在时，EdgeType可采用值为0和1的枚举类型。
• 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可采用压缩存储。
• 邻接矩阵表示法的空间复杂度为 O ( n 2 ) \\ O(n ^{2})  O(n2)，其中n为图的顶点数$|V|$。

邻接矩阵的特点

1. 无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵（并且唯一)。因此，在实际存储邻接矩阵时只需存储上(或下)三角矩阵的元素。
2. 对于无向图，邻接矩阵的第$i$行（或第$i$列）非零元素（或非$0$元素）的个数正好是顶点$i$的度 T D ( v i ) \\ TD(v _{i})  TD(vi​)。
3. 对于有向图，邻接矩阵的第$i$行非零元素(或非$\infty$元素)的个数正好是顶点$i$的出度 O D ( v i ) \\ OD(v _{i})  OD(vi​)；第$i$列非零元素（或非$\infty$元素）的个数正好是顶点i的入度 I D ( v i ) \\ ID(v _{i})  ID(vi​)。
4. 用邻接矩阵存储图，很容易确定图中任意两个顶点之间是否有边相连。但是，要确定图中有多少条边，则必须按行、按列对每个元素进行检测，所花费的时间代价很大。
5. 稠密图适合使用邻接矩阵的存储表示。
6. 设图$G$的邻接矩阵为$A$， A n \\ A ^{n}  An的元素 A n [ i ] [ j ] \\ A ^{n}[i][j]  An[i][j]等于由顶点$i$到顶点$j$的长度为$n$的路径的数目。该结论了解即可，证明方法请参考离散数学教材。

二、邻接表

1.概念

当一个图为稀疏图时，使用邻接矩阵法显然要浪费大量的存储空间，而图的邻接表法结合了顺序存储和链式存储方法，大大减少了这种不必要的浪费。

• 所谓邻接表，是指对图$G$中的每个顶点$v$建立一个单链表，第$i$个单链表中的结点表示依附于顶点$v$的边（对于有向图则是以顶点$v$为尾的弧)，这个单链表就称为顶点$v$的边表（对于有向图则称为出边表)。
• 边表的头指针和顶点的数据信息采用顺序存储（称为顶点表)，所以在邻接表中存在两种结点：顶点表结点和边表结点。

2.图像示例

• 顶点表结点的数据结构如下图所示：
  

• 边表结点的数据结构如下图所示：
  
  顶点表结点由顶点域(data）和指向第一条邻接边的指针（firstarc）构成，边表结点（邻接表）由邻接点域(adjvex）和指向下一条邻接边的指针域(nextarc)构成。

• 无向图和它的邻接表可以表示为下图形式：
  

• 有向图和它的邻接表可以表示为下图形式：
  

3.代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
//#include<math.h>#define string char*
#define VertexType string
#define MAXSIZE 100 
#define REALLOCSIZE 50
#define INF 0xfffffff//边表结点
typedef struct ArcNode{int adjvex;		//某条边指向的那个顶点的位置ArcNode * next;	//指向下一条弧的指针 weight w;		//权值
}ArcNode; 
//顶点表结点
typedef struct VNode{VertexType data;	//顶点信息ArcNode * first;	//指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode;
typedef struct GraphRepr{VNode * node;		//邻接表int vexnum, arcnum;	//图的顶点数和弧数 
}Graph, *graph; graph graph_create(void) {//初始化一个图的指针 graph g = (graph)malloc(sizeof(Graph));if(g){//初始化邻接表 g->node = (VNode*)malloc(MAXSIZE*sizeof(VNode));if(!g->node) {printf("error\\n"); return NULL;}g->arcnum = g->vexnum = 0;return g;}return NULL;
}void graph_destroy(graph g) {ArcNode *pre, *p;	//定义临时指针 char * temp;for(int i = 0; i < g->vexnum;i++){pre = g->node[i].first;	//指向边表temp = g->node[i].data;free(temp);//等价于链表的销毁if(pre != NULL)	{p = pre->next;while(p != NULL) {free(pre);pre = p;p = pre->next;}free(pre);}}free(g);return;
}//判断字符串是否相等 
bool is_equal(string s1, string s2){//首先判断长度 int len_s1 = strlen(s1);int len_s2 = strlen(s2);	if(len_s1 != len_s2) return false;//长度相等后，判断每一个位置的字符 for(int i = 0; i < len_s1; i++)if(s1[i] != s2[i]) return false;return true;
}void graph_add_vertex(graph g, string v) {	if(!graph_has_vertex(g, v)){int vlen = strlen(v);//判断是否超出邻接表的大小限制 if(g->vexnum+1 > MAXSIZE){//重新申请一片空间 VNode * temp = (VNode*)malloc((g->vexnum+REALLOCSIZE)*sizeof(VNode));//将原邻接表的信息复制到新的内存空间 for(int i = 0; i < g->vexnum; i++){temp[i].data = g->node[i].data;temp[i].first = g->node[i].first;} g->node = temp;	//新的指针赋给邻接表 }g->node[g->vexnum].data = (char*)malloc(sizeof(char)*vlen+1);
//		printf("%p\\t", strcpy(g->node[g->vexnum].data, v));
//		printf("%p\\t", g->node[g->vexnum].data);
//		printf("%p\\n", v);
//		int i;
//		for(i = 0; i < vlen; i++)
//			g->node[g->vexnum].data[i] = v[i];
//		v[i] = '\\0'; g->node[g->vexnum].first = NULL;		//初始化顶点的依附表结点为空 g->vexnum++;}	return;
}bool graph_has_vertex(graph g, string v) {for(int i = 0; i < g->vexnum; i++)if(is_equal(g->node[i].data, v))	//如果能够找到一个顶点的信息为v return true;return false;
}size_t graph_vertices_count(graph g) {return g->vexnum;
}int get_index(graph g, string v){for(int i = 0; i < g->vexnum; i++)if(is_equal(g->node[i].data, v)) return i+1;	//如果能找到这个结点，返回结点位置return -1;	//否则返回-1 
}void graph_add_edge(graph g, string v1, string v2, weight w){    //判断是否存在这两个顶点,如果不存在，添加这些顶点 if(!graph_has_vertex(g, v1)) graph_add_vertex(g, v1);if(!graph_has_vertex(g, v2)) graph_add_vertex(g, v2); int start = get_index(g, v1);int end = get_index(g, v2); //判断是否存在这条边 if(!graph_has_edge(g, v1, v2)){	//初始化一个边表结点 ArcNode * Next = (ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));Next->adjvex = end-1;Next->next = NULL;Next->w = w;//如果start依附的边为空	if(g->node[start-1].first == NULL) g->node[start-1].first = Next;else{ArcNode * temp = g->node[start-1].first;//临时表结点while(temp->next) temp = temp->next;	//找到表结点中start-1这个结点的链表的最后一个顶点temp->next = Next;						//在该链表的尾部插入这个边表结点 }	g->arcnum++;	//边的数量++	}return;
}bool graph_has_edge(graph g, string v1, string v2) {int start = get_index(g, v1);int end = get_index(g, v2);//如果边表为空，则不存在边 if(g->node[start-1].first == NULL) return false;ArcNode * temp = g->node[start-1].first;	//临时表结点while(temp) {if(temp->adjvex == end-1) return true;	//如果存在一条v1指向v2的边 temp = temp->next;						//指针后移 }	return false;
}weight graph_get_edge(graph g, string v1, string v2) {double w;//如果不存在这条边，返回0 if(!graph_has_edge(g, v1, v2)) return 0.0;int start = get_index(g, v1);int end = get_index(g, v2);ArcNode * temp = g->node[start-1].first;while(temp){//找到v1指向v2的边，并返回weight if(temp->adjvex == end-1) return temp->w;temp = temp->next;} return 0.0;
}void graph_show(graph g, FILE *output) {//先打印每一个顶点信息 for(int i = 0; i < g->vexnum; i++){fprintf(output, "%s\\n", g->node[i].data);
//		printf("%s\\n", g->node[i].data);}//然后打印每一条边 for(int i = 0; i < g->vexnum; i++){    	ArcNode * Next = g->node[i].first;while (Next) {fprintf(output, "%s %s %10.2lf\\n", g->node[i].data, g->node[Next->adjvex].data, Next->w);
//        	printf("%s %s %10.2lf\\n", g->node[i].data, g->node[Next->adjvex].data, Next->w);Next = Next->next;}        }return;
}

邻接表的特点

1. 若$G$为无向图，则所需的存储空间为$O(|V|+2|E|)$;若$G$为有向图，则所需的存储空间为$O(|V|+|E|)$。前者的倍数$2$是由于无向图中，每条边在邻接表中出现了两次。
2. 对于稀疏图，采用邻接表表示将极大地节省存储空间。
3. 在邻接表中，给定一顶点，能很容易地找出它的所有邻边，因为只需要读取它的邻接表。在邻接矩阵中，相同的操作则需要扫描一行，花费的时间为$O(n)$。
4. 但是，若要确定给定的两个顶点间是否存在边，则在邻接矩阵中可以立刻查到，而在邻接表中则需要在相应结点对应的边表中查找另一结点，效率较低。
5. 在有向图的邻接表表示中，求一个给定顶点的出度只需计算其邻接表中的结点个数；但求其顶点的入度则需要遍历全部的邻接表。因此，也有人采用逆邻接表的存储方式来加速求解给定顶点的入度。当然，这实际上与邻接表存储方式是类似的。
6. 图的邻接表表示并不唯一，因为在每个顶点对应的单链表中，各边结点的链接次序可以是任意的，它取决于建立邻接表的算法及边的输入次序。