0701微分方程的基本概念-微分方程

1 基本概念

例1 一曲线过点$(1,2)$,且在该曲线上任一点$M(x,y)$处的切线斜率为$2x$，求曲线方程。
解：设曲线方程为 y = f ( x ) , 则 d y d x = 2 x ( 1 − 1 ) ∵ 曲线过点 ( 1 , 2 ) , 即当 x = 1 时， y = 2 对 1 − 1 式两端积分，得 y = ∫ 2 x d x = x 2 + C , x = 1 , y = 2 导入得 c = 1 , 即 y = x 2 + 1 解：设曲线方程为y=f(x),则\\\\ \\frac{dy}{dx}=2x \\quad(1-1)\\\\ ∵曲线过点(1,2),即当x=1时，y=2\\\\ 对1-1式两端积分，得\\\\ y=\\int{2x}dx=x^2+C,x=1,y=2导入得\\\\ c=1,即y=x^2+1 解：设曲线方程为y=f(x),则dxdy​=2x(1−1)∵曲线过点(1,2),即当x=1时，y=2对1−1式两端积分，得y=∫2xdx=x2+C,x=1,y=2导入得c=1,即y=x2+1

微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。

微分方程的分类：

• 常微分方程：未知函数为一元函数；
• 偏微分方程：未知函数为多元函数。

微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

示例：方程（1-1）为一阶微分方程， x 3 y ′ ′ ′ + x 2 y ′ ′ − 4 x y ′ = 3 x 2 x^3y^{'''}+x^2y^{''}-4xy^{'}=3x^2 x3y′′′+x2y′′−4xy′=3x2为三界微分方程。

n阶微分方程的形式： F ( x , y , y ′ , y ′ ′ , ⋯ , y ( n ) ) = 0 F(x,y,y^{'},y^{''},\\cdots,y^{(n)})=0 F(x,y,y′,y′′,⋯,y(n))=0

• n阶微分方程中， y ( n ) y^{(n)} y(n)是必须的

微分方程的解：将函数带入微分方程使该方程称为恒等式，这样的函数称为微分方程的解。

微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

示例： y = x 2 + C 是微分方程 d y d x = 2 x 的通解 y=x^2+C是微分方程\\frac{dy}{dx}=2x的通解 y=x2+C是微分方程dxdy​=2x的通解

注：任意常数是相互独立的，即它们不能合并

示例: y = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 , c 1 , c 2 , c 3 y=c_1+c_2x+c_3x^2,c_1,c_2,c_3 y=c1​+c2​x+c3​x2,c1​,c2​,c3​是相互独立的； y = c 1 + c 2 + c 3 x , c 1 , c 2 y=c_1+c_2+c_3x,c_1,c_2 y=c1​+c2​+c3​x,c1​,c2​不是相互独立的。

初始条件：确定通解任意常数的条件称为初始条件。

设微分方程中未知函数为$y=\varphi (x)$,如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件为：

​ x = x 0 时， y = y 0 或者 y ∣ x = x 0 = y 0 x=x_0时，y=y_0或者 y|_{x=x_0}=y_0 x=x0​时，y=y0​或者y∣x=x0​​=y0​

如果微分方程是n阶的，确定任意常数的条件为：

​ x = x 0 时， y = y 0 , y ′ = y 0 ′ , ⋯ , y ( n ) = y 0 ( n ) x=x_0时，y=y_0,y^{'}=y^{'}_0,\\cdots,y^{(n)}=y^{(n)}_0 x=x0​时，y=y0​,y′=y0′​,⋯,y(n)=y0(n)​

注：初值条件的个数与方程的阶数相同。

微分方程的特解：通解中，确定了任意常数的解。

初值问题：求微分方程 y ′ = f ( x , y ) y^{'}=f(x,y) y′=f(x,y)满足初值条件 y x = x 0 = y 0 y_{x=x_0}=y_0 yx=x0​​=y0​的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的处置问题。

积分曲线：微分方程解的图形。

2 例题

例2 验证函数 x = C 1 cos ⁡ k t + C 2 sin ⁡ k t 是微分方程 d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 x=C_1\\cos kt+C_2\\sin kt是微分方程\\frac{d^2x}{dt^2}+k^2x=0 x=C1​coskt+C2​sinkt是微分方程dt2d2x​+k2x=0的解。
解：函数一阶导函数数： d x d t = k ( − C 1 sin ⁡ k t + C 2 cos ⁡ k t ) 二阶导函数数： d x d t 2 = − k 2 ( C 1 cos ⁡ k t + C 2 sin ⁡ k t ) 把二阶导函数和 x 的表达式带入微分方程得 − k 2 ( C 1 cos ⁡ k t + C 2 sin ⁡ k t ) + k 2 ( C 1 cos ⁡ k t + C 2 sin ⁡ k t ) ≡ 0 ∴ 函数是微分方程的解 解：函数一阶导函数数：\\frac{dx}{dt}=k(-C_1\\sin kt+C_2\\cos kt)\\\\ 二阶导函数数：\\frac{d^x}{dt^2}=-k^2(C_1\\cos kt+C_2\\sin kt)\\\\ 把二阶导函数和x的表达式带入微分方程得\\\\ -k^2(C_1\\cos kt+C_2\\sin kt)+k^2(C_1\\cos kt+C_2\\sin kt)\\equiv 0\\\\ ∴函数是微分方程的解 解：函数一阶导函数数：dtdx​=k(−C1​sinkt+C2​coskt)二阶导函数数：dt2dx​=−k2(C1​coskt+C2​sinkt)把二阶导函数和x的表达式带入微分方程得−k2(C1​coskt+C2​sinkt)+k2(C1​coskt+C2​sinkt)≡0∴函数是微分方程的解
例3 ，例2中当$k\ne 0时$函数是微分方程的通解，求满足初值条件 x ∣ t = 0 = A , d x d t ∣ t = 0 = 0 x|_{t=0}=A,\\frac{dx}{dt}|_{t=0}=0 x∣t=0​=A,dtdx​∣t=0​=0的特解。
解： t = 0 带入函数，得 A = C 1 cos ⁡ 0 + C 2 sin ⁡ 0 , C 1 = A t = 0 导入一阶导函数得 , 0 = k ( − C 1 sin ⁡ 0 + C 2 cos ⁡ 0 ) , 得 C 2 = 0 ∴ 微分方程的特解为： x = A cos ⁡ k t 解：t=0带入函数，得A=C_1\\cos 0+C_2\\sin 0,C_1=A\\\\ t=0导入一阶导函数得,0=k(-C_1\\sin 0+C_2\\cos 0),得C_2=0\\\\ ∴微分方程的特解为：x=A\\cos kt 解：t=0带入函数，得A=C1​cos0+C2​sin0,C1​=At=0导入一阶导函数得,0=k(−C1​sin0+C2​cos0),得C2​=0∴微分方程的特解为：x=Acoskt

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p297-301.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p42.