第一部分 数学基础课程

一、（共5分）用逻辑符号表达下列语句（论域为包含一切事物的合集）

1. （2分）确诊者并不都有症状（注：需给出两种形式表达，一种用存在量词，一种用全称量词）
   答：
   F(x): x是确诊者，G(x):x有症状
   ∃x(F(x)∧¬G(x))
   ¬∀x(F(x) →G(x))
2. （3分）有些老人不喜欢宠物
   答：
   F(x): x是老人，G(x):x是宠物，L(x,y): x喜欢y
   ∃x(F(x)∧∀y(G(y) →¬L(x, y)))

二、填空题（第1小题每空1分，第2~3小题每空2分，共6分）

1. 设集合A有50个元素，则由集合A可构成___2^{50(2的50次方)_____个子集。其中有___2}49(2的49次方)_____个子集其元素个数为奇数。

2. 让5位中国籍学生和5位英国籍学生排成一排，要求中国籍学生和英国籍学生交叉出现，即同国籍的学生不能相邻，则有__2*5!*5!____种不同的排法。

3. 函数 f ( x ) = ( 1 − 3 x ) − 2 f(x)=(1-3x)^{-2} f(x)=(1−3x)−2中， x 4 x^4 x4的系数是_ 5 ∗ 3 4 5*3^4 5∗34_____.

三、计算题（共9分）

1. （5分）由P↑Q=¬(P∧Q)，试仅用与非联结词↑分别表示出：
   （1）¬P
   （2）P∧Q
   （2）P→Q
   答：
   （1）¬P = ¬(P∧P) =P↑P
   （2）P∧Q =¬(¬( P∧Q)) = (P↑Q)↑(P↑Q)
   （3）P→Q= ¬P∨Q = ¬(P∧¬Q)= P↑(Q↑Q)
2. （4分）对任意正整数n≥2，给出$C(n,1)+C(n,2)+\dots +(Cn,n)$的最简表达式（即计算其值），其中C(n,i)表示从n个元素中取i个元素的组合数。
   答：
   ( 1 + x ) n = C ( n , 0 ) + C ( n , 1 ) + C ( n , 2 ) + … + ( C n , n ) (1+x)^n = C(n, 0)+C(n, 1)+C(n, 2)+…+(Cn, n) (1+x)n=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+(Cn,n)
   令x=1得，
   ( 1 + 1 ) n = C ( n , 0 ) + C ( n , 1 ) + C ( n , 2 ) + … + ( C n , n ) = 2 n (1+1)^n = C(n, 0)+C(n, 1)+C(n, 2)+…+(Cn, n) = 2^n (1+1)n=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+(Cn,n)=2n
   则 C ( n , 1 ) + C ( n , 2 ) + … + ( C n , n ) = 2 n − C ( n , 0 ) = 2 n − 1 C(n, 1)+C(n, 2)+…+(Cn, n) = 2^n-C(n, 0) = 2^n-1 C(n,1)+C(n,2)+…+(Cn,n)=2n−C(n,0)=2n−1