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第四章 串

小题考频：2
大题考频：0

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4.2 串的模式匹配

难度：☆☆☆☆☆

知识总览

4.2.1_朴素模式匹配算法

4.2.2_1_KMP算法

4.2.2_2_求next数组

4.2.3_KMP算法的进一步优化

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4.2.1_朴素模式匹配算法

什么是字符串的模式匹配

——在字符串内搜索某一段内容

查找功能

搜索引擎

• 字符串模式匹配：在主串中找到与模式串相同的⼦串，并返回其所在位置。

有可能匹配不到模式串：

子串——主串的一部分，一定存在
模式串——不一定在主串中找到

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朴素模式匹配算法

——暴力解决问题
在主串中找出所有有可能与模式串相匹配的子串，并将这些子串和模式串一一进行对比

主串长度为n，模式串长度为m

朴素模式匹配算法：将主串中所有长度为m的子串依次与模式串对比，直到找到一个完全匹配的子串，或所有的子串都不匹配为止。

最多对比 n - m + 1 个子串

上一节中Index(S,T)函数的实现，采用的就是朴素模式匹配算法的思想。

1）int i=1 - 指明当前要匹配的子串是从哪个位置开始的；
2）(i<=n-m+1) - 表示最多对比n-m+1个子串；
3）SubString(sub,S,i,m); - 从主串S中，取出从位置i开始，长度为m的子串，放到sub里；
4）if(StrCompare(sub,T)!=0) ++i; - 子串和模式串对比，若不匹配，则匹配下一个子串
5）若能匹配，返回当前子串的起始位置i；
6）若都不能匹配，返回0

上述代码使用了：1）取子串的基本操作；2）对比两个字符串的基本操作

接下来：不使用字符串的基本操作，直接通过数组下标实现朴素模式匹配算法。

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通过数组下标实现朴素模式匹配算法

设置两个扫描指针i和j，这两个指针指到哪就要把字符对比到哪。

Step1：
开始匹配第1个子串
对比主串和模式串的第1个字符

Step2：
如果指向的字符相等，那么让指针i和j分别后移




Step3：
到了第6个位置时，i和j所指向的字符不相等，则认为第一个子串匹配失败。

若当前⼦串匹配失败，则主串指针 i 指向下⼀个⼦串的第⼀个位置，模式串指针 j 回到模式串的第⼀个位置

i = i - j + 2
（i - j：指针指向当前子串的前一个位置；+2：指向下一个子串的起始位置）
j = 1

Step4：
第1个子串匹配失败后：
i的值回到2
j的值回到1
然后开始匹配第2个子串


匹配失败，则主串指针 i 指向下⼀个⼦串的第⼀个位置，模式串指针 j 回到模式串的第⼀个位置

Step4：
匹配下一个子串

失败，i 指向下一个子串的第一个位置，j 指向模式串第一个位置，开始匹配下一个子串。

Step5：
匹配成功！

若 j 指针大于模式串长度，j > T.length（模式串字符全部匹配成功），则当前⼦串匹配成功，返回当前⼦串第⼀个字符的位置 —— i - T.length

代码实现：

设主串⻓度为 n，模式串⻓度为 m，则
最坏时间复杂度 = O(nm)

最坏的情况，每个⼦串都要对⽐ m 个字符，共 n-m+1 个⼦串，复杂度 = O((n-m+1)m) = $O(nm)$

注：很多时候，n >> m，
保留数量级更大的项，把 O ( n m − m 2 + m ) O(nm-m^2+m) O(nm−m2+m)简化为$O(nm)$

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4.2.2_1_KMP算法

——由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt提出，因此称为KMP算法

对于朴素模式匹配算法，⼀旦发现当前这个⼦串中某个字符不匹配，就只能转⽽匹配下⼀个⼦串（从头开始）

因为我们并不知道主串里面这些字符到底是什么，所以我们必须从子串开头的第一个字符开始匹配。

如果匹配模式串时，在最后一个字符匹配失败，那么主串中之前这些字符就和模式串中的字符对应。

那么在主串中匹配失败的位置，的之前的字符，是已知的，和模式串时保持一致的。

不匹配的字符之前，一定是和模式串一致的

在朴素模式匹配算法中，匹配失败后只能从第2个子串开始重新匹配：

但是匹配第2个子串时，已知了主串中的前面这几个字符，发现刚开始就已经不匹配了，所以根本没有必要去检查和匹配。

第3个子串一样，已经知道了主串前面的几个字符，对不上，也没有必要去检查和匹配了。

匹配第4个子串时，主串里已知部分和模式串是能够匹配的，其他部分能否匹配现在还不知道，那么在这个子串中，可以从未知部分往后进行检查和匹配：

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优化思路 - 模式串的最后一个位置不匹配

①不匹配的字符之前，一定是和模式串一致的；
②所以没有必要检查已知部分和模式串不匹配的子串；
③已知部分和模式串相匹配的子串中，已经匹配的部分（已知部分）也不用再次对比；
④直接从【已知部分和模式串相匹配的子串】的未知部分开始匹配。

跳过了中间几个子串的对比，也调过了当前子串已知的部分的对比，提高了算法效率

对于模式串 T = ‘abaabc’，当第6个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变（指向当前失配的字符），模式串指针 j=3（从模式串的第3个字符向后依次匹配）

得到的结论只和模式串有关，与匹配到主串的哪个位置没有关系。

验证（从第5个位置开始匹配）：

匹配到当前子串的最后一个字符时，字符失配。
那么前面的字符就和模式串保持一致，即已知部分。

使用之前的结论：

对于模式串 T = ‘abaabc’，当第6个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变（指向当前失配的字符），模式串指针 j=3（从模式串的第3个字符向后依次匹配）

验证了该结论对模式串’abaabc’具有通⽤性，和主串没有半⽑钱关系。

以上是对于模式串T = ’abaabc’的第6个元素匹配失败的情况。

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优化思路 - 其他位置不匹配

考虑其他位置的情况。

对于模式串 T = ‘abaabc’，当第5个元素匹配失败时? 怎么搞？

• 第5个元素匹配失败，可以知道主串中前面4个元素的信息，与模式串保持一致

第2个子串也不能匹配上：

第3个子串也不能匹配上：

第4个子串可以匹配上：

此时可令主串指针i不变，模式串指针j = 2
从模式串的第二个元素开始匹配即可

• 第4个元素匹配失败，可以知道主串中前面3个元素的信息，与模式串保持一致

第2个子串不能匹配上：

第3个子串可以匹配上：

此时可令主串指针i不变，模式串指针j = 2
从模式串的第二个元素开始匹配即可

• 第3个元素匹配失败，可以知道主串中前面2个元素的信息，与模式串保持一致

第2个子串不能匹配上：

所以从第3个子串开始重新匹配：

此时可令主串指针i不变，模式串指针j = 1
从模式串的第一个元素开始匹配即可

• 第2个元素匹配失败，可以知道主串中前面1个元素的信息，与模式串保持一致

所以从第2个子串开始重新匹配：

此时可令主串指针i不变，模式串指针j = 1
从模式串的第一个元素开始匹配即可

• 第1个元素匹配失败，只能尝试匹配下一个子串：
  

尝试匹配下一个子串：

结论：
对于模式串 T = ‘abaabc’
当第6个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=3
当第5个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第4个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第3个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第2个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第1个元素匹配失败时，匹配下⼀个相邻⼦串，令 j=0, i++, j++

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上节例子对比

第六个字符匹配失败：

如果用朴素模式匹配算法：

朴素模式匹配算法，此时应令i = i - j + 3，j = 1；

如果用优化思路：

当第6个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=3
当第5个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第4个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第3个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第2个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第1个元素匹配失败时，匹配下⼀个相邻⼦串，令 j=0, i++, j++

优化之后，主串指针不需要回溯。
采用这种策略，效率大幅度提高。

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对例子进行改造

第5个元素改成c：

第5个元素发生失配：

优化思路：

当第6个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=3
当第5个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第4个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第3个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第2个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第1个元素匹配失败时，匹配下⼀个相邻⼦串，令 j=0, i++, j++

此时第2个元素仍匹配失败：

当第6个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=3
当第5个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第4个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第3个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第2个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第1个元素匹配失败时，匹配下⼀个相邻⼦串，令 j=0, i++, j++

此时第1个元素仍匹配失败：

当第6个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=3
当第5个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第4个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第3个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第2个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第1个元素匹配失败时，匹配下⼀个相邻⼦串，令 j=0, i++, j++

此时第1个元素匹配，第2个元素匹配失败：

当第6个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=3
当第5个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第4个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第3个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第2个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第1个元素匹配失败时，匹配下⼀个相邻⼦串，令 j=0, i++, j++

此时第3个元素匹配失败：

当第6个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=3
当第5个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第4个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第3个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第2个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第1个元素匹配失败时，匹配下⼀个相邻⼦串，令 j=0, i++, j++

此时第1个元素匹配失败：

当第6个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=3
当#pic_center第5个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第4个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=2
当第3个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第2个元素匹配失败时，可令主串指针 i 不变，模式串指针 j=1
当第1个元素匹配失败时，匹配下⼀个相邻⼦串，令 j=0, i++, j++

最终因为指针j超出模式串的范围而停止：

完成匹配工作。
整个过程中i不用回溯。

怎么⽤代码实现这个处理逻辑？
对于模式串T = ‘abaabc’
用数组来表示模式串指针需要修改的信息

特别地，第1个元素失配时，要将j = 0 再让 i++, j++

if (S[i] != T[j]) //模式串在第几个位置失配时，使用第几个位置的指针修改信息j = next[j];if(j == 0) {i++; j++} //第1个位置时，匹配下一个相邻子串

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KMP算法

是的，这就是KMP算法。

KMP算法的整体流程就是在进行模式匹配之前，需要先进行一个预处理：

1. 分析模式串，求出和模式串相对应的这个next数组。
2. 然后再利用next数组来进行模式匹配，整个匹配的过程主串的指针i是不需要回溯的。

利用next数组进行匹配

传入主串的值S、模式串的值T、和模式串相对应的这个next数组；
从主串的1和模式串的1位置开始往后匹配；
如果，主串的当前元素和模式串的当前元素相等的话，即匹配成功，i和j同时++；
并且当j == 0时，也需要让i和j同时++
否则，说明i和j所指元素不匹配，失配时让j = next[j]即可。

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朴素模式匹配 v.s. KMP算法

对比发现，其实修改的部分即黄色框所框出部分，和需要传入一个next数组。
有了next数组后，当主串和模式串发生失配时，不需要再修改主串的指针i让其回溯，只需要修改模式串的j指针即可。

朴素模式匹配算法，最坏的时间复杂度$O(mn)$
KMP算法，最坏的时间复杂度$O(m+n)$

其中，求 next 数组时间复杂度 O(m)
模式匹配过程最坏时间复杂度 O(n)

需要掌握手算next数组的方法。

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4.2.2_2_求next数组

——（⼿算练习）
next数组的作⽤：当模式串的第 j 个字符失配时，从模式串的第 next[j] 继续往后匹配

练习1：

手算next数组

的next数组：

next数组的下标与字符串的下标一一对应，1~6。

• next[1]：
  【当模式串的第一个字符匹配失败时，模式串指针j应该指向什么位置】

当第一个字符匹配失败时，直接让i++，j++，即开始匹配后一个子串和模式串：

该逻辑对于任何一个模式串都是一样的，只要第1个字符发生了不匹配的情况，只能让他匹配下一个子串。
所以所有的模式串next[1]肯定都是0。

• next[2]：
  【当模式串的第二个字符匹配失败时，模式串指针j应该指向什么位置】
  
  此时，只能让模式串往后滑动一位，即指向1位置：
  

该逻辑对于任何一个模式串都是一样的，只要第2个字符发生了不匹配的情况，应尝试匹配模式串的第1个字符。
所以所有的模式串next[2]肯定都是1。

• next[3]：
  【当模式串的第三个字符匹配失败时，模式串指针j应该指向什么位置】

在不匹配的位置前划出分界线，左边的部分是已知的，右边是未知的。
尝试让模式串一步一步往右移，过程中，观察分界线左边部分能否匹配上。
直到分界线之前“能对上”，或模式串完全跨过分界线为止。
此时j指向哪儿，next数组值就是多少。

往右移动一步：
发现分界线左边的g和o失配，说明模式串右移一步不够。
继续往右移动一步：

此时整个模式串跨过了分界线，此时要继续向后检查模式串的j和右边位置未知元素i是否匹配。
此时j的值为1，那么next[3] = 1

• next[4]：
  【当模式串的第四个字符匹配失败时，模式串指针j应该指向什么位置】

Step1：分界线

分界线左边的值是可以确定的，逐步向右移动模式串看是否匹配，或者模式串跨过分界线。

Step2：右移一步

失配。

Step3：右移两步

失配。

Step4：右移三步

此时模式串跨过分界线，j指向1，next[4] = 1

• next[5]：
  【当模式串的第五个字符匹配失败时，模式串指针j应该指向什么位置】

重复以上步骤，逐步向右移动模式串，找匹配部分。

最终找到了分界线左边的匹配部分，接下来检查右边i和j是否匹配：

此时j指向2，next[5] = 2

• next[6]：
  【当模式串的第六个字符匹配失败时，模式串指针j应该指向什么位置】

重复以上步骤，逐步向右移动模式串，找匹配部分。

最终模式串跨过分界线，之后需要检查i和模式串第1个字符能否匹配：

此时j指向1，next[6] = 1

使⽤next数组进⾏模式匹配

给出主串S为googlo goo google，在其中找到模式串google：

已经手算得到next数组：

开始进行模式匹配
Step1：第6个元素匹配失败

j = 6 时失配，此时让 j = next[j]，即 j = next[6]，
接下来让 j = 1

Step2：第1个元素匹配失败

j = 1 时失配，此时让 j = next[j]，即 j = next[1]，
接下来让 j = 0

j = 0时让i和j都++

Step3：第5个元素匹配失败

j = 5 时失配，此时让 j = next[j]，即 j = next[5]，
接下来让 j = 2

Step4：匹配成功

练习2：

求模式串T = ababaa的next数组
模式串长度是6，next组数有next[1]~next[6]
总结规则：

Step1：next[1]=0和next[2]=1

Step2：求next[3]

模式串跨过分界线，此时j = 1，next[3] = 1

Step3：求next[4]

分界线左边匹配成功，此时j = 2，next[4] = 2

Step4：求next[5]

分界线左边匹配成功，此时j = 3，next[5] = 3

Step5：求next[6]

分界线左边匹配成功，此时j = 4，next[6] = 4

练习3：

求next数组：

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4.2.3_KMP算法的进一步优化

——求nextval数组

KMP算法优化的思路：
以之前小节中的模式串abaabc为例，已经求出了这个模式串的next数组。

模式串abaabc的next数组：

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例1：第三个位置失配

如果第三个位置发生失配时，让j指针指回next[3]

此时说明主串中第三个字符和模式串的第三个字符a是肯定不相等的。
即主串中第三个字符肯定不是a。

如果此时按照next数组中next[3] = 1，来进行匹配，那么这一次匹配也一定是失败的。

因为模式串中的第一个字符为a，而且已经知道了主串中的第三个字符不为a
这次匹配失败后，那么应该让j指针等于next[j]，也就是等于0。

所以当第3个字符匹配失败的时候，让j = 0，即next[3] = 0。

优化后：

第3个位置失配时：

直接让j = next[3] = 0

那么下一个匹配的位置就会直接跳过这个字符，因为会让i和j同时++

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例2：第五个位置失配

假设模式串在第5个位置失配，那么KMP算法会让j = next[5] = 2。

虽然暂时不知道主串i指针所指位置的字符是什么，但是肯定不是b。

所以如果按照刚才让j指针指向2位置，接下来的这次匹配一定是失败的，因为字符2和字符5都是b，然后还需要让j = next[2] = 1。

所以干脆就一步到位，让next[5] =next[2]的值：
即j = next[5] = 1：

此时回到上面的情况，如果字符5发生失配，j = next[5]，直接就j = 1，节约了一个步骤，没有必要再让next[5] = 2，即比较第二个字符，因为肯定匹配不上。

这就是优化。

当然不是所有next数组都可以优化，优化思路为：
需要判断next数组所指的字符和原本失配的字符是否相等。

• 如果这两个字符不相等，那么next数组保持不变；
• 如果这两个字符相等，那么next数组就可以进行优化。

将next数组优化成nextval，然后再KMP算法匹配的时候，用nextval数组替代next数组，其他一样。

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练习1：

对于这个模式串：

求出其next数组：

然后手算其nextval数组：

首先，nextval[1]的值直接写=0；
然后，如果当前的next[j]所指字符，和目前j所指的字符不相等，就让nextval的值等于next的值，所以nextval[2]应该等于1。

• 如，next[2] = 1，所指字符为第1个，即a，和目前j所指的第2个字符b不相等，那么nextval[1] = next[1] = 1
  
• 如，next[3] = 1，所指字符为第1个，即a，但是目前j所指第3个字符为a相等，那么就让nextval[3] = nextval[next[3]] = nextval[1] = 0，即跳到1对比失败的那个next，即next[1] = 0。

也就是说直接把next[3]的值优化为next[1]的值，即0。

同样的，第四个字符b失配时，next[4] = 2，跳到第二个字符b时相等，那么
nextval[4] = nextval[next[4]] = nextval[2] = 1

第五个字符a失配时，next[5] = 3，跳到第三个字符a时相等，那么
nextval[5] = nextval[next[5]] = nexvalt[3] = 0

第六个字符a失配时，next[6] = 4，跳到第四个字符b时不相等，那么
nextval[6] = next[6] = 4

最终求出了nextval数组：

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练习2：

对于模式串：

其next数组是：

nextval[1] = 0；
第二个字符和next[2]所指字符相等，nextval[2] = nextval[next[2]] = 0；
第三个字符和next[3]所指字符相等，nextval[3] = nextval[next[3]] = 0；
第四个字符和next[4]所指字符相等，nextval[4] = nextval[next[4]] = 0；
第五个字符和next[5]所指字符不相等，nextval[5] = [next[5] = 4。

所以求得其nextval数组为：

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优化KMP算法

——感受一下优化的力量

优化前：

此时匹配到第4个字符，失配。到next[4] = 3：

此时第3个字符依然失配。到next[3] = 2：

此时第2个字符依然失配。到next[2] = 1：

此时第1个字符依然失配。到next[1] = 0：

j = 0时，i和j同时++：

此时匹配成功：

优化后：

此时匹配到第4个字符，失配。到nextval[4] = 0：

j = 0时，i和j同时++：

此时就跳过了刚才中间部分的对比。

接下来匹配成功：

把next数组优化为nextval数组之后，中间减少了很多没有必要的对比。

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知识回顾与重要考点

4.2.1_朴素模式匹配算法

• 暴力解法：把所有有可能的子串遍历一遍
• 最坏时间复杂度 = $O(nm)$
  ——每一个子串前面所有元素都和模式串匹配，只有最后一个元素和模式串不匹配

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4.2.2_1_KMP算法

• 需要掌握手算next数组的方法
• 记住KMP算法的整体时间复杂度$O(m+n)$
  ——预处理(next数组)时间复杂度$O(m)$；模式匹配时间复杂度$O(n)$

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4.2.2_2_求next数组

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4.2.3_KMP算法的进一步优化

• 串在考试中的地位