基本积分法

基于一些常见的积分公式，例如幂函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的积分公式。

• 三角函数的积分

$\int cosxdx=sinx+C$

$\int -sinxdx=cosx+C$

∫ s e c 2 x d x = t a n x + C ∫sec^2xdx = tanx+C ∫sec2xdx=tanx+C

∫ − c s c 2 x d x = c o t x + C ∫-csc^2xdx = cotx+C ∫−csc2xdx=cotx+C

$\int secxtanxdx=secx+C$

$\int -cscxcotxdx=cscx+C$

$\int tanxdx=-ln|cosx|+C$

$\int cotxdx=ln|sinx|+C$

$\int secxdx=ln|secx+tanx|+C$

∫ c s c x d x = − l n ∣ c s c x + c o t x ∣ + C = l n ∣ t a n x − s i n x s i n x t a n x ∣ + C ∫cscxdx = -ln|cscx+cotx|+C = ln|\\frac{tanx-sinx}{sinxtanx}|+C ∫cscxdx=−ln∣cscx+cotx∣+C=ln∣sinxtanxtanx−sinx​∣+C

∫ s i n n x d x = − 1 n ∫ s i n x n − 1 x c o s x + n − 1 n ∫ s i n n − 2 x d x + C ∫sin^nxdx = -\\frac{1}{n}∫sinx^{n-1}xcosx+\\frac{n-1}{n}∫sin^{n-2}xdx+C ∫sinnxdx=−n1​∫sinxn−1xcosx+nn−1​∫sinn−2xdx+C ，其中n>=2

∫ c o s n x d x = 1 n c o s n − 1 x s i n x + n − 1 n ∫ c o s n − 2 x d x + C ∫cos^nxdx = \\frac{1}{n}cos^{n-1}xsinx+\\frac{n-1}{n}∫cos^{n-2}xdx+C ∫cosnxdx=n1​cosn−1xsinx+nn−1​∫cosn−2xdx+C，其中n>=2

∫ t a n n x d x = 1 n − 1 t a n n − 1 x − ∫ t a n n − 2 x d x + C ∫tan^nxdx = \\frac{1}{n-1}tan^{n-1}x-∫tan^{n-2}xdx+C ∫tannxdx=n−11​tann−1x−∫tann−2xdx+C

∫ c o t n x d x = 1 n − 1 c o t n − 1 x − ∫ c o t n − 2 x d x + C ∫cot^nxdx = \\frac{1}{n-1}cot^{n-1}x-∫cot^{n-2}xdx+C ∫cotnxdx=n−11​cotn−1x−∫cotn−2xdx+C

∫ s e c n x d x = 1 n − 1 s e c n − 2 x t a n x + n − 2 n − 1 ∫ s e c n − 2 x d x + C ∫sec^nxdx = \\frac{1}{n-1}sec^{n-2}xtanx+\\frac{n-2}{n-1}∫sec^{n-2}xdx+C ∫secnxdx=n−11​secn−2xtanx+n−1n−2​∫secn−2xdx+C，其中n>=2

∫ c s c n x d x = 1 n − 1 c s c n − 2 x c o t x + n − 2 n − 1 ∫ c s c n − 2 x d x + C ∫csc^nxdx = \\frac{1}{n-1}csc^{n-2}xcotx+\\frac{n-2}{n-1}∫csc^{n-2}xdx+C ∫cscnxdx=n−11​cscn−2xcotx+n−1n−2​∫cscn−2xdx+C，其中n>=2

以上C均为常数

• 反三角函数的积分

∫ a r c s i n x d x = x a r c s i n x + 1 − x 2 + C ∫arcsinxdx = xarcsinx +\\sqrt{1-x^2}+C ∫arcsinxdx=xarcsinx+1−x2 ​+C

∫ a r c c o s x d x = x a r c c o s x − 1 − x 2 + C ∫arccosxdx = xarccosx-\\sqrt{1-x^2}+C ∫arccosxdx=xarccosx−1−x2 ​+C

∫ a r c t a n x d x = x a r c t a n x − l n 1 + x 2 + C ∫arctanxdx = xarctanx-ln\\sqrt{1+x^2}+C ∫arctanxdx=xarctanx−ln1+x2 ​+C

∫ a r c c o t x d x = x a r c c o t x + l n 1 + x 2 + C ∫arccotxdx = xarccotx+ln\\sqrt{1+x^2}+C ∫arccotxdx=xarccotx+ln1+x2 ​+C

∫ a r c s e c x d x = x a r c s e c x − l n ( x − x 2 − 1 ) + C ∫arcsecxdx = xarcsecx -ln(x-\\sqrt{x^2-1})+C ∫arcsecxdx=xarcsecx−ln(x−x2−1 ​)+C

∫ a r c c s c x d x = x a r c c s c x + l n ( x + x 2 − 1 ) + C ∫arccscxdx = xarccscx+ln(x+{\\sqrt{x^2-1}})+C ∫arccscxdx=xarccscx+ln(x+x2−1 ​)+C

以上C均为常数

• 指数函数

∫ e x d x = e x + C ∫e^xdx = e^x+C ∫exdx=ex+C

∫ α x d x = α x l n α + C ∫\\alpha^xdx = \\frac{\\alpha^x}{ln\\alpha}+C ∫αxdx=lnααx​+C

∫ x e a x d x = 1 a 2 ( a x − 1 ) e a x + C ∫xe^{ax}dx = \\frac{1}{a^2}(ax-1)e^{ax}+C ∫xeaxdx=a21​(ax−1)eax+C

∫ x n e a x d x = 1 a x n e a x − n a ∫ x n − 1 e a x d x ∫x^ne^{ax}dx = \\frac{1}{a}x^ne^{ax}-\\frac{n}{a}∫x^{n-1}e^{ax}dx ∫xneaxdx=a1​xneax−an​∫xn−1eaxdx

∫ e a x s i n b x d x = e a x a 2 + b 2 ( a s i n b x − b c o s b x ) + C ∫e^{ax}sinbxdx = \\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(asinbx -bcosbx)+C ∫eaxsinbxdx=a2+b2eax​(asinbx−bcosbx)+C

∫ e a x c o s b x d x = e a x a 2 + b 2 ( a c o s b x + b s i n b x ) + C ∫e^{ax}cosbxdx = \\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(acosbx +bsinbx)+C ∫eaxcosbxdx=a2+b2eax​(acosbx+bsinbx)+C

以上C均为常数

幂函数的积分

∫ x n d x = ( x ( n + 1 ) ) / ( n + 1 ) + C ∫x^n dx = (x^{(n+1)})/(n+1) + C ∫xndx=(x(n+1))/(n+1)+C

其中n不等于-1，C为常数。

分部积分法

基于乘积法则，将复杂的积分分解成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式进行求解。例如：

公式：$\int udv=uv-\int vdu$，其中u和v都是可导函数。

举例：$\int xsin(x)dx$，令$u=x$,则$du=1dx$；令$dv=sin(x)dx，v=-cos(x)$

$\int xsin(x)dx=x(-cos(x))-\int (-cos(x))dx=-x\ast cos(x)+sin(x)+C$，其中C为常数。

替换法（换元法）

通过变量替换，将复杂的积分转化为简单的积分。例如：

公式： ∫ f ( g ( x ) ) ∗ g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u ∫f(g(x)) * g'(x) dx = ∫f(u) du ∫f(g(x))∗g′(x)dx=∫f(u)du，其中$u=g(x)$。

举例： ∫ 2 x c o s ( x 2 ) d x ，令 u = x 2 ， d u = 2 ∗ x d x ∫2xcos(x^2) dx，令u = x^2，du = 2*x dx ∫2xcos(x2)dx，令u=x2，du=2∗xdx

∫ 2 x c o s ( x 2 ) d x = ∫ c o s ( u ) d u = s i n ( u ) + C = s i n ( x 2 ) + C ∫2xcos(x^2) dx = ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x^2) + C ∫2xcos(x2)dx=∫cos(u)du=sin(u)+C=sin(x2)+C，其中C为常数。

部分分式法

将有理函数表示成多个简单的分式之和，然后再对每个简单的分式进行积分。例如：

公式：$1/(x-a)(x-b)=A/(x-a)+B/(x-b)$，其中A、B为常数。

举例： ∫ ( 3 x + 1 ) / ( x 2 − 4 ) d x ∫(3x+1)/(x^2-4) dx ∫(3x+1)/(x2−4)dx，将其拆分为3个简单的分式之和： ( A / ( x − 2 ) ) + ( B / ( x + 2 ) ) + ( C / ( x 2 − 4 ) ) (A/(x-2)) + (B/(x+2)) + (C/(x^2-4)) (A/(x−2))+(B/(x+2))+(C/(x2−4))，再分别对每个简单的分式进行积分，最终得到积分结果。

完全微分方程法

将待积函数表示成某个函数的导数，并利用完全微分方程的性质进行求解。例如：

公式：$dF(x)=f(x)dx$，其中$F(x)为函数f(x)$的原函数。

举例：$\int (2x+3)dx$，可以看作 F ′ ( x ) = 2 x + 3 F'(x) = 2x+3 F′(x)=2x+3，然后通过解这个微分方程得到 F ( x ) = x 2 + 3 x + C F(x) = x^2 + 3x + C F(x)=x2+3x+C，其中C为常数。

特殊换元法

根据积分表达式中的特殊形式，选择合适的变量替换，从而简化积分。例如：

公式：$\int tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C$。

举例： ∫ s e c 2 ( 2 x ) d x ∫sec^2(2x) dx ∫sec2(2x)dx，令$u=2x$，则$du=2dx$

∫ s e c 2 ( 2 x ) d x = ∫ s e c 2 ( u ) / 2 d u = ( 1 / 2 ) l n ∣ s e c ( u ) + t a n ( u ) ∣ + C = ( 1 / 2 ) l n ∣ s e c ( 2 x ) + t a n ( 2 x ) ∣ + C ∫sec^2(2x) dx = ∫sec^2(u)/2 du = (1/2)ln|sec(u) + tan(u)| + C = (1/2)ln|sec(2x) + tan(2x)| + C ∫sec2(2x)dx=∫sec2(u)/2du=(1/2)ln∣sec(u)+tan(u)∣+C=(1/2)ln∣sec(2x)+tan(2x)∣+C，其中C为常数。

三角代换法

通过三角函数的代换，将积分中的根式或者平方项转化为三角函数，从而进行简化。例如：

公式： ∫ ( a 2 − x 2 ) d x = ( 1 / 2 ) ( a 2 ∗ s i n ( − 1 ) ( x / a ) + x ∗ ( a 2 − x 2 ) ) + C ∫\\sqrt{(a^2 - x^2)} dx = (1/2)(a^2 * sin^{(-1)(x/a)} + x*\\sqrt{(a^2 - x^2))} + C ∫(a2−x2) ​dx=(1/2)(a2∗sin(−1)(x/a)+x∗(a2−x2)) ​+C。

举例： ∫ ( 4 − x 2 ) d x ∫\\sqrt{(4 - x^2)} dx ∫(4−x2) ​dx，令$x=2sin(u)$，则$dx=2cos(u)du$

∫ ( 4 − x 2 ) d x = ∫ 2 c o s ( u ) ∗ ( 4 − 4 s i n 2 ( u ) ) d u = 4 c o s ( u ) ∗ c o s ( u ) d u = 4 c o s 2 ( u ) d u ∫\\sqrt{(4 - x^2)} dx = ∫2cos(u) * \\sqrt{(4 - 4sin^2(u))} du = 4cos(u) * cos(u) du = 4cos^2(u) du ∫(4−x2) ​dx=∫2cos(u)∗(4−4sin2(u)) ​du=4cos(u)∗cos(u)du=4cos2(u)du，再将 c o s 2 ( u ) cos^2(u) cos2(u)用 1 − s i n 2 ( u ) 1-sin^2(u) 1−sin2(u)替换，最终得到积分结果。

分数幂法

对于涉及分数幂的积分，可以通过换元法将其转化为整数幂，从而进行简化。例如：

公式： ∫ x ( m / n ) d x = ( n / ( m + n ) ) ∗ x ( ( m + n ) / n ) + C ∫x^{(m/n)} dx = (n/(m+n)) * x^{((m+n)/n)} + C ∫x(m/n)dx=(n/(m+n))∗x((m+n)/n)+C，其中m、n为整数且n不等于0。

举例： ∫ x ( 3 / 4 ) d x ∫x^{(3/4)} dx ∫x(3/4)dx，令 u = x ( 1 / 4 ) u = x^{(1/4)} u=x(1/4)，则 d u = ( 1 / 4 ) x ( − 3 / 4 ) d x du = (1/4)x^{(-3/4)} dx du=(1/4)x(−3/4)dx

∫ x ( 3 / 4 ) d x = 4 u 3 d u = 4 u 3 d u ∫x^{(3/4)} dx = 4u^3 du = 4u^3 du ∫x(3/4)dx=4u3du=4u3du，再将 u 3 u^3 u3用 x ( 3 / 4 ) x^{(3/4)} x(3/4)替换，最终得到积分结果。