引入Tuning function design的自适应反步控制方法 下篇

上一篇文章写了如何通过推迟参数设计的方法来解决不匹配条件下的系统反步控制设计。为什么要用推迟参数设计?就是因为不匹配条件下系统的未知量和控制输入不在一个通道中，导致设计时不能直接由控制器抵消掉不确定项，从而导致设计中需要对同一个未知项进行多次估计。上上一篇文章针对这种情况也做了详细的说明和推导。本文主要是对引入Tuning function design的自适应反步控制方法进行推导。

然而由于CSDN网站字数的限制，本篇文章分成了上下两篇内容。

博客链接如下：

引入Tuning function design的自适应反步控制方法 上篇

推迟参数设计的自适应反步控制和自适应神经网络的反步控制设计_ADi_hhh的博客

利用Turning function解决高阶不匹配系统的控制器设计问题

上篇内容已经描述推迟参数设计在高阶不匹配系统控制器设计的失利，下篇主要讲述Tuning function是如何解决推迟参数设计解决不了的问题的。

问题描述

考虑如下的一个系统：
x˙1=f1(x1)θ+x2x˙2=f2(x1,x2)theta+x3x˙3=f3(x1,x2,x3)theta+uy=x1(14)\\begin{aligned} \\dot x_1&=f_1(x_1)\\theta+x_2\\\\ \\dot x_2&=f_2(x1,x2)theta+x_3\\\\ \\dot x_3&=f_3(x_1,x_2,x_3)theta+u\\\\ y&=x_1 \\end{aligned} \\qquad(14) x˙1​x˙2​x˙3​y​=f1​(x1​)θ+x2​=f2​(x1,x2)theta+x3​=f3​(x1​,x2​,x3​)theta+u=x1​​(14)
该系统是非匹配的，其中fi(.)f_i(.)fi​(.)是已知的函数，$\theta$为未知参数，设计控制器使得y→ydy→y_dy→yd​，并且ydy_dyd​的导数可知。

控制器设计

1. 定义系统误差：z1=y−yd=x1−ydz_1=y-y_d=x_1-y_dz1​=y−yd​=x1​−yd​

2. 系统误差的动态方程：
   z˙1=x˙1−y˙d=f1(x1)θ+x2−y˙d=w1θ+x2−y˙d\\begin{aligned} \\dot z_1 &=\\dot x_1 -\\dot y_d\\\\ &=f_1(x_1) \\theta+x_2-\\dot y_d\\\\ &=w_1\\theta+x_2-\\dot y_d \\end{aligned} z˙1​​=x˙1​−y˙​d​=f1​(x1​)θ+x2​−y˙​d​=w1​θ+x2​−y˙​d​​

其中w1=f1w_1=f_1w1​=f1​

3. 考虑如下候选李亚普诺夫函数：V1=12z12V_1 = \\frac{1}{2}z_1^2V1​=21​z12​

   对其求导得：
   V˙1=z1z˙1=z1(w1θ+x2−y˙d)\\begin{aligned} \\dot V_1 &=z_1\\dot z_1\\\\ & = z_1(w_1\\theta+x_2-\\dot y_d) \\end{aligned} V˙1​​=z1​z˙1​=z1​(w1​θ+x2​−y˙​d​)​
   这时候我们可以把x2x_2x2​当作一个输入量，那么假如
   x2=−k1z1−w1θ^+y˙dx_2=-k_1z_1-w_1 \\hat\\theta+\\dot y_d x2​=−k1​z1​−w1​θ^+y˙​d​
   其中θ^\\hat \\thetaθ^是对$\theta$的估计，估计误差为θ~=θ^−θ\\tilde \\theta=\\hat \\theta-\\thetaθ~=θ^−θ，引入一虚拟控制量α1\\alpha_1α1​，即令α1=−k1z1−w1θ^+y˙d\\alpha_1=-k_1z_1-w_1 \\hat\\theta+\\dot y_dα1​=−k1​z1​−w1​θ^+y˙​d​

   此时可以定义出第二个误差为z2=x2−α1z_2=x_2-\\alpha_1z2​=x2​−α1​

   因为引入了新的估计误差θ~\\tilde \\thetaθ~，因此考虑如下候选李雅普诺夫函数：
   V2=V1+12γθ~2V_2=V_1+\\frac{1}{2 \\gamma}\\tilde \\theta^2 V2​=V1​+2γ1​θ~2
   对其求导得：
   V˙2=V˙1+1γθ~θ^˙=z1(w1θ+x2−y˙d)+1γθ~θ^˙=z1(w1θ+z2+α1−y˙d)+1γθ~θ^˙=z1(w1θ+z2+(−k1z1−w1θ^+y˙d)−y˙d)+1γθ~θ^˙=−k1z12+z1z2+θ~(−z1w1+1γθ^˙)(15)\\begin{aligned} \\dot V_2&=\\dot V_1+\\frac{1}{\\gamma}\\tilde \\theta \\dot{\\hat \\theta}\\\\ &=z_1(w_1\\theta+x_2-\\dot y_d)+\\frac{1}{\\gamma}\\tilde \\theta \\dot{\\hat \\theta}\\\\ &=z_1(w_1\\theta+z_2+\\alpha_1-\\dot y_d)+\\frac{1}{\\gamma}\\tilde \\theta \\dot{\\hat \\theta}\\\\ &=z_1(w_1\\theta+z_2+(-k_1z_1-w_1 \\hat\\theta+\\dot y_d)-\\dot y_d)+\\frac{1}{\\gamma}\\tilde \\theta \\dot{\\hat \\theta}\\\\ &=-k_1z_1^2+z_1z_2+\\tilde \\theta(-z_1w_1+\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}) \\end{aligned}\\qquad(15) V˙2​​=V˙1​+γ1​θ~θ^˙=z1​(w1​θ+x2​−y˙​d​)+γ1​θ~θ^˙=z1​(w1​θ+z2​+α1​−y˙​d​)+γ1​θ~θ^˙=z1​(w1​θ+z2​+(−k1​z1​−w1​θ^+y˙​d​)−y˙​d​)+γ1​θ~θ^˙=−k1​z12​+z1​z2​+θ~(−z1​w1​+γ1​θ^˙)​(15)
   令τ1=w1z1\\tau_1=w_1z_1τ1​=w1​z1​，则公式15变为：
   V˙2=−k1z12+z1z2+θ~(1γθ^˙−τ1)(16)\\begin{aligned} \\dot V_2&=-k_1z_1^2+z_1z_2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_1) \\end{aligned}\\qquad(16) V˙2​​=−k1​z12​+z1​z2​+θ~(γ1​θ^˙−τ1​)​(16)

4. 考虑系统第二个误差的动态方程：
   z˙2=x˙2−α˙1=f2θ+x3−α˙1\\begin{aligned} \\dot z_2&=\\dot x_2-\\dot \\alpha_1\\\\ &=f_2 \\theta+x_3-\\dot \\alpha_1 \\end{aligned} z˙2​​=x˙2​−α˙1​=f2​θ+x3​−α˙1​​

   ​ 值得注意的是此时$ \\alpha_1$是一个关于$x_1,y_d,\\dot y_d,\\hat \\theta$的复合函数，并且其中含有未知项
   α˙1=∂α1∂x1x˙1+∂α1∂ydy˙d+∂α1∂y˙dy¨d+∂α1∂θ^θ^˙=∂α1∂x1(f1(x1)θ+x2)+∂α1∂ydy˙d+∂α1∂y˙dy¨d+∂α1∂θ^θ^˙=∂α1∂x1f1(x1)θ+∂α1∂x1x2+∂α1∂ydy˙d+∂α1∂y˙dy¨d+∂α1∂θ^θ^˙=∂α1∂x1f1(x1)θ+ψ+∂α1∂θ^θ^˙\\begin{aligned} \\dot \\alpha_1 &=\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial x_1} \\dot x_1+\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial y_d} \\dot y_d+\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\dot y_d} \\ddot y_d+\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta}\\\\ &=\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial x_1}(f_1(x_1)\\theta+x_2)+\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial y_d} \\dot y_d+\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\dot y_d} \\ddot y_d+\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta}\\\\ &=\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial x_1}f_1(x_1)\\theta+\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial x_1}x_2+\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial y_d} \\dot y_d+\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\dot y_d} \\ddot y_d+\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta}\\\\ &=\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial x_1}f_1(x_1)\\theta+\\psi+\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta} \\end{aligned} α˙1​​=∂x1​∂α1​​x˙1​+∂yd​∂α1​​y˙​d​+∂y˙​d​∂α1​​y¨​d​+∂θ^∂α1​​θ^˙=∂x1​∂α1​​(f1​(x1​)θ+x2​)+∂yd​∂α1​​y˙​d​+∂y˙​d​∂α1​​y¨​d​+∂θ^∂α1​​θ^˙=∂x1​∂α1​​f1​(x1​)θ+∂x1​∂α1​​x2​+∂yd​∂α1​​y˙​d​+∂y˙​d​∂α1​​y¨​d​+∂θ^∂α1​​θ^˙=∂x1​∂α1​​f1​(x1​)θ+ψ+∂θ^∂α1​​θ^˙​
   其中∂α∂x1x2+∂α∂ydy˙d+∂α∂y˙dy¨d=ψ\\frac{\\partial \\alpha}{\\partial x_1}x_2+\\frac{\\partial \\alpha}{\\partial y_d} \\dot y_d+\\frac{\\partial \\alpha}{\\partial \\dot y_d} \\ddot y_d=\\psi∂x1​∂α​x2​+∂yd​∂α​y˙​d​+∂y˙​d​∂α​y¨​d​=ψ是已知的。

   则
   z˙2=f2θ+x3−α˙1=f2θ+x3−∂α1∂x1f1θ−ψ−∂α1∂θ^θ^˙=(f2−∂α1∂x1f1)θ+x3−ψ−∂α1∂θ^θ^˙=w2θ+x3−ψ−∂α1∂θ^θ^˙\\begin{aligned} \\dot z_2&=f_2 \\theta+x_3-\\dot \\alpha_1\\\\ &=f_2 \\theta+x_3-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial x_1}f_1\\theta-\\psi-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta}\\\\ &=(f_2-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial x_1}f_1) \\theta+x_3-\\psi-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta}\\\\ &=w_2\\theta+x_3-\\psi-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta}\\\\ \\end{aligned} z˙2​​=f2​θ+x3​−α˙1​=f2​θ+x3​−∂x1​∂α1​​f1​θ−ψ−∂θ^∂α1​​θ^˙=(f2​−∂x1​∂α1​​f1​)θ+x3​−ψ−∂θ^∂α1​​θ^˙=w2​θ+x3​−ψ−∂θ^∂α1​​θ^˙​
   其中w2=(f2−∂α1∂x1f1)w_2=(f_2-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial x_1}f_1)w2​=(f2​−∂x1​∂α1​​f1​)

5. 虑如下候选李雅普诺夫函数V3=V2+12z22V_3=V_2+\\frac{1}{2}z_2^2V3​=V2​+21​z22​

   对其求导得：

V˙3=V˙2+z2z˙2=−k1z12+z1z2+θ~(1γθ^˙−τ1)+z2(w2θ+x3−ψ−∂α1∂θ^θ^˙)=−k1z12+θ~(1γθ^˙−τ1)+z2(z1+w2θ+x3−ψ−∂α1∂θ^θ^˙)=−k1z12+θ~(1γθ^˙−τ1)+z2(z1+w2θ^−w2θ~+x3−ψ−∂α1∂θ^θ^˙)=−k1z12+θ~(1γθ^˙−τ1−w2z2)+z2(z1+w2θ^+x3−ψ−∂α1∂θ^θ^˙)(17)\\begin{aligned} \\dot V_3&= \\dot V_2+z_2\\dot z_2\\\\ &=-k_1z_1^2+z_1z_2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_1)+z_2(w_2\\theta+x_3-\\psi-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta})\\\\ &=-k_1z_1^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_1)+z_2(z_1+w_2\\theta+x_3-\\psi-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta})\\\\ &=-k_1z_1^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_1)+z_2(z_1+w_2\\hat\\theta -w_2 \\tilde \\theta+x_3-\\psi-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta})\\\\ &=-k_1z_1^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_1-w_2z_2)+z_2(z_1+w_2 \\hat \\theta+x_3-\\psi-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta})\\\\ \\end{aligned}\\qquad(17) V˙3​​=V˙2​+z2​z˙2​=−k1​z12​+z1​z2​+θ~(γ1​θ^˙−τ1​)+z2​(w2​θ+x3​−ψ−∂θ^∂α1​​θ^˙)=−k1​z12​+θ~(γ1​θ^˙−τ1​)+z2​(z1​+w2​θ+x3​−ψ−∂θ^∂α1​​θ^˙)=−k1​z12​+θ~(γ1​θ^˙−τ1​)+z2​(z1​+w2​θ^−w2​θ~+x3​−ψ−∂θ^∂α1​​θ^˙)=−k1​z12​+θ~(γ1​θ^˙−τ1​−w2​z2​)+z2​(z1​+w2​θ^+x3​−ψ−∂θ^∂α1​​θ^˙)​(17)

​ 定义τ2=w2z2+τ1\\tau_2=w_2z_2+\\tau_1τ2​=w2​z2​+τ1​，同时为了使最后设计的参数更新率是一个，而不是一个参数需要多个更新率，这里也要对∂α1∂θ^θ^˙\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\dot{\\hat \\theta}∂θ^∂α1​​θ^˙进行处理，使其也具有1γθ^˙−τ2\\frac{1}{\\gamma}\\dot {\\hat \\theta}-\\tau_2γ1​θ^˙−τ2​的形式。

​ 给公式(17)加减γz2∂α1∂θ^τ2\\gamma z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\tau_2γz2​∂θ^∂α1​​τ2​，则对应的公式(17)变为：
V˙3=−k1z12+θ~(1γθ^˙−τ1−w2z2)+z2(z1+w2θ^+x3−ψ−∂α1∂θ^(θ^˙−γτ2)−∂α1∂θ^τ2)=−k1z12+θ~(1γθ^˙−τ2)−z2∂α1∂θ^(θ^˙−γτ2)+z2(z1+w2θ^+x3−ψ−γ∂α1∂θ^τ2)(18)\\begin{aligned} \\dot V_3&=-k_1z_1^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_1-w_2z_2)+z_2(z_1+w_2 \\hat \\theta+x_3-\\psi-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma\\tau_2)-\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\tau_2)\\\\ &=-k_1z_1^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_2)-z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma\\tau_2)+z_2(z_1+w_2 \\hat \\theta+x_3-\\psi-\\gamma\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\tau_2) \\end{aligned}\\qquad(18) V˙3​​=−k1​z12​+θ~(γ1​θ^˙−τ1​−w2​z2​)+z2​(z1​+w2​θ^+x3​−ψ−∂θ^∂α1​​(θ^˙−γτ2​)−∂θ^∂α1​​τ2​)=−k1​z12​+θ~(γ1​θ^˙−τ2​)−z2​∂θ^∂α1​​(θ^˙−γτ2​)+z2​(z1​+w2​θ^+x3​−ψ−γ∂θ^∂α1​​τ2​)​(18)

6. 引入第三个系统误差z3=x3−α2z_3 = x_3-\\alpha_2z3​=x3​−α2​。其中α2\\alpha_2α2​是虚拟控制量，由公式(18)可以得出α2\\alpha_2α2​的表达式为：
   α2=−k2z2−z1−w2θ^+ψ+γ∂α1∂θ^τ2(19)\\alpha_2= -k_2 z_2-z_1-w_2\\hat \\theta +\\psi+\\gamma\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} \\tau_2 \\qquad(19) α2​=−k2​z2​−z1​−w2​θ^+ψ+γ∂θ^∂α1​​τ2​(19)
   将公式(19)及x3=z3+α2x_3=z_3+\\alpha_2x3​=z3​+α2​代入到公式(18)中去，可得：
   V˙3=−k1z12−k2z22+θ~(1γθ^˙−τ2)−z2∂α1∂θ^(θ^˙−γτ2)+z2z3(20)\\begin{aligned} \\dot V_3&=-k_1z_1^2-k_2z_2^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_2)-z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma\\tau_2)+z_2z_3 \\end{aligned}\\qquad(20) V˙3​​=−k1​z12​−k2​z22​+θ~(γ1​θ^˙−τ2​)−z2​∂θ^∂α1​​(θ^˙−γτ2​)+z2​z3​​(20)

7. 考虑第三个系统误差的动态方程
   z˙3=x˙3−α˙2=f3θ+u−α˙2\\begin{aligned} \\dot z_3 &=\\dot x_3 -\\dot \\alpha_2\\\\ &=f_3\\theta+u-\\dot \\alpha_2 \\end{aligned} z˙3​​=x˙3​−α˙2​=f3​θ+u−α˙2​​
   其中α2\\alpha_2α2​是一个复合函数，关于x1,x2,yd,y˙d,θ^˙x_1,x_2,y_d,\\dot y_d,\\dot{\\hat \\theta}x1​,x2​,yd​,y˙​d​,θ^˙。对于求导得
   α˙2=∂α2∂x1f1θ+∂α2∂x2f2θ+∂α2∂x1x2+∂α2∂x2x3+∂α2∂θ^θ^˙+∂α2∂ydy˙d+∂α2∂y˙dy¨d=∂α2∂x1f1θ+∂α2∂x2f2θ+∂α2∂θ^θ^˙+ψ2\\begin{aligned} \\dot \\alpha_2&=\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{1}} f_{1} \\theta+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{2}} f_{2} \\theta +\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{1}} x_{2}+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{2}} x_{3} +\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} \\dot{\\hat{\\theta}}+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial y_{d}} \\dot y_d+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial\\dot y_{d}} \\ddot y_d\\\\ &=\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{1}} f_{1} \\theta+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{2}} f_{2} \\theta+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} \\dot{\\hat{\\theta}}+\\psi_{2} \\end{aligned} α˙2​​=∂x1​∂α2​​f1​θ+∂x2​∂α2​​f2​θ+∂x1​∂α2​​x2​+∂x2​∂α2​​x3​+∂θ^∂α2​​θ^˙+∂yd​∂α2​​y˙​d​+∂y˙​d​∂α2​​y¨​d​=∂x1​∂α2​​f1​θ+∂x2​∂α2​​f2​θ+∂θ^∂α2​​θ^˙+ψ2​​
   其中ψ2=∂α2∂x1x2+∂α2∂x2x3+∂α2∂ydy˙d+∂α2∂y˙dy¨d\\psi_2=\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{1}} x_{2}+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{2}} x_{3}+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial y_{d}} \\dot y_d+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial\\dot y_{d}} \\ddot y_dψ2​=∂x1​∂α2​​x2​+∂x2​∂α2​​x3​+∂yd​∂α2​​y˙​d​+∂y˙​d​∂α2​​y¨​d​

   则对应地
   z˙3=f3θ+u−(∂α2∂x1f1θ+∂α2∂x2f2θ+∂α2∂θ^θ^˙+ψ2)=(f3−∂α2∂x1f1−∂α2∂x2f2)θ+u−ψ2−∂α2∂θ^θ^˙=w3θ+u−ψ2−∂α2∂θ^θ^˙\\begin{aligned} \\dot z_3&=f_3\\theta+u-(\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{1}} f_{1} \\theta+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{2}} f_{2} \\theta+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} \\dot{\\hat{\\theta}}+\\psi_{2})\\\\ &=(f_3-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{1}}f_1-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{2}} f_{2})\\theta +u-\\psi_2-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} \\dot{\\hat{\\theta}}\\\\ &=w_3\\theta+u-\\psi_2-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} \\dot{\\hat{\\theta}} \\end{aligned} z˙3​​=f3​θ+u−(∂x1​∂α2​​f1​θ+∂x2​∂α2​​f2​θ+∂θ^∂α2​​θ^˙+ψ2​)=(f3​−∂x1​∂α2​​f1​−∂x2​∂α2​​f2​)θ+u−ψ2​−∂θ^∂α2​​θ^˙=w3​θ+u−ψ2​−∂θ^∂α2​​θ^˙​
   其中w3=(f3−∂α2∂x1f1−∂α2∂x2f2)w_3=(f_3-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{1}}f_1-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial x_{2}} f_{2})w3​=(f3​−∂x1​∂α2​​f1​−∂x2​∂α2​​f2​)

8. 考虑候选李雅普诺夫函数为V4=V3+12z32V_4=V_3+\\frac{1}{2}z_3^2V4​=V3​+21​z32​，对其求导为：
   V˙4=V˙3+z3z˙3=−k1z12−k2z22+θ~(1γθ^˙−τ2)−z2∂α1∂θ^(θ^˙−γτ2)+z2z3+z3(w3θ+u−ψ2−∂α2∂θ^θ^˙)=−k1z12−k2z22+θ~(1γθ^˙−τ2)−z2∂α1∂θ^(θ^˙−γτ2)+z3(z2+w3θ+u−ψ2−∂α2∂θ^θ^˙)=−k1z12−k2z22+θ~(1γθ^˙−τ2)−z2∂α1∂θ^(θ^˙−γτ2)+z3(z2+w3(θ^−θ~)+u−ψ2−∂α2∂θ^θ^˙)=−k1z12−k2z22+θ~(1γθ^˙−τ2−z3w3)−z2∂α1∂θ^(θ^˙−γτ2)+z3(z2+w3θ^+u−ψ2−∂α2∂θ^θ^˙)\\begin{aligned} \\dot V_4&=\\dot V_3+z_3\\dot z_3\\\\ &=-k_1z_1^2-k_2z_2^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_2)-z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma\\tau_2)+z_2z_3+z_3(w_3\\theta+u-\\psi_2-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} \\dot{\\hat{\\theta}})\\\\ &=-k_1z_1^2-k_2z_2^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_2)-z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma\\tau_2)+z_3(z_2+w_3\\theta+u-\\psi_2-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} \\dot{\\hat{\\theta}})\\\\ &=-k_1z_1^2-k_2z_2^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_2)-z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma\\tau_2)+z_3(z_2+w_3(\\hat\\theta-\\tilde \\theta)+u-\\psi_2-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} \\dot{\\hat{\\theta}})\\\\ &=-k_1z_1^2-k_2z_2^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_2-z_3w_3)-z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma\\tau_2)+z_3(z_2+w_3\\hat\\theta+u-\\psi_2-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} \\dot{\\hat{\\theta}})\\\\ \\end{aligned} V˙4​​=V˙3​+z3​z˙3​=−k1​z12​−k2​z22​+θ~(γ1​θ^˙−τ2​)−z2​∂θ^∂α1​​(θ^˙−γτ2​)+z2​z3​+z3​(w3​θ+u−ψ2​−∂θ^∂α2​​θ^˙)=−k1​z12​−k2​z22​+θ~(γ1​θ^˙−τ2​)−z2​∂θ^∂α1​​(θ^˙−γτ2​)+z3​(z2​+w3​θ+u−ψ2​−∂θ^∂α2​​θ^˙)=−k1​z12​−k2​z22​+θ~(γ1​θ^˙−τ2​)−z2​∂θ^∂α1​​(θ^˙−γτ2​)+z3​(z2​+w3​(θ^−θ~)+u−ψ2​−∂θ^∂α2​​θ^˙)=−k1​z12​−k2​z22​+θ~(γ1​θ^˙−τ2​−z3​w3​)−z2​∂θ^∂α1​​(θ^˙−γτ2​)+z3​(z2​+w3​θ^+u−ψ2​−∂θ^∂α2​​θ^˙)​
   令τ3=τ2+z3w3\\tau_3=\\tau_2+z_3w_3τ3​=τ2​+z3​w3​,则对应地z2∂α1∂θ^(θ^˙−γτ2)z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma\\tau_2)z2​∂θ^∂α1​​(θ^˙−γτ2​)和∂α2∂θ^θ^˙\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} \\dot{\\hat{\\theta}}∂θ^∂α2​​θ^˙也要相应地变化为相同的形式。
   V˙4=−k1z12−k2z22+θ~(1γθ^˙−τ2−z3w3)−z2∂α1∂θ^(θ^˙−γτ2)+z3(z2+w3θ^+u−ψ2−∂α2∂θ^θ^˙)=−k1z12−k2z22+θ~(1γθ^˙−τ3)−z2∂α1∂θ^(θ^˙−γ(τ2+z3w3−z3w3)+z3(z2+w3θ^+u−ψ2−∂α2∂θ^(θ^˙−γτ3+γτ3))=−k1z12−k2z22+θ~(1γθ^˙−τ3)−z2∂α1∂θ^(θ^˙−γτ3)−∂α2∂θ^(θ^˙−γτ3)+γz2∂α1∂θ^z3w3+z3(z2+w3θ^+u−ψ2−∂α2∂θ^γτ3)=−k1z12−k2z22+θ~(1γθ^˙−τ3)−z2∂α1∂θ^(θ^˙−γτ3)−∂α2∂θ^(θ^˙−γτ3)+z3(γz2∂α1∂θ^w3+z2+w3θ^+u−ψ2−∂α2∂θ^γτ3)(21)\\begin{aligned} \\dot V_4&=-k_1z_1^2-k_2z_2^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_2-z_3w_3)-z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma\\tau_2)+z_3(z_2+w_3\\hat\\theta+u-\\psi_2-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} \\dot{\\hat{\\theta}})\\\\ &=-k_1z_1^2-k_2z_2^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_3)-z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma(\\tau_2+z_3w_3-z_3w_3)\\\\&+z_3(z_2+w_3\\hat\\theta+u-\\psi_2-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} (\\dot{\\hat{\\theta}}-\\gamma\\tau_3+\\gamma \\tau_3))\\\\ &=-k_1z_1^2-k_2z_2^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_3)-z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma\\tau_3)-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} (\\dot{\\hat{\\theta}}-\\gamma\\tau_3)\\\\ &+\\gamma z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta}z_3w_3+z_3(z_2+w_3\\hat\\theta+u-\\psi_2-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}}\\gamma \\tau_3)\\\\ &=-k_1z_1^2-k_2z_2^2+\\tilde \\theta(\\frac{1}{\\gamma} \\dot{\\hat \\theta}-\\tau_3)-z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta} (\\dot{\\hat \\theta}-\\gamma\\tau_3)-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}} (\\dot{\\hat{\\theta}}-\\gamma\\tau_3)\\\\ &+z_3(\\gamma z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta}w_3+z_2+w_3\\hat\\theta+u-\\psi_2-\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}}\\gamma \\tau_3)\\\\ \\end{aligned} \\qquad(21) V˙4​​=−k1​z12​−k2​z22​+θ~(γ1​θ^˙−τ2​−z3​w3​)−z2​∂θ^∂α1​​(θ^˙−γτ2​)+z3​(z2​+w3​θ^+u−ψ2​−∂θ^∂α2​​θ^˙)=−k1​z12​−k2​z22​+θ~(γ1​θ^˙−τ3​)−z2​∂θ^∂α1​​(θ^˙−γ(τ2​+z3​w3​−z3​w3​)+z3​(z2​+w3​θ^+u−ψ2​−∂θ^∂α2​​(θ^˙−γτ3​+γτ3​))=−k1​z12​−k2​z22​+θ~(γ1​θ^˙−τ3​)−z2​∂θ^∂α1​​(θ^˙−γτ3​)−∂θ^∂α2​​(θ^˙−γτ3​)+γz2​∂θ^∂α1​​z3​w3​+z3​(z2​+w3​θ^+u−ψ2​−∂θ^∂α2​​γτ3​)=−k1​z12​−k2​z22​+θ~(γ1​θ^˙−τ3​)−z2​∂θ^∂α1​​(θ^˙−γτ3​)−∂θ^∂α2​​(θ^˙−γτ3​)+z3​(γz2​∂θ^∂α1​​w3​+z2​+w3​θ^+u−ψ2​−∂θ^∂α2​​γτ3​)​(21)
   至此，根据公式(21)可以设计出对应的控制器和参数更新率。
   u=−k3z3−z2−w3θ^+ψ2+∂α2∂θ^γτ3−z2∂α1∂θ^w3θ^˙=γτ3(22)\\begin{aligned} u&=-k_3 z_3 -z_2-w_3\\hat \\theta+\\psi_2+\\frac{\\partial \\alpha_{2}}{\\partial \\hat{\\theta}}\\gamma \\tau_3-z_2\\frac{\\partial \\alpha_1}{\\partial \\hat \\theta}w_3\\\\ \\dot {\\hat \\theta}&=\\gamma \\tau_3 \\end{aligned} \\qquad(22) uθ^˙​=−k3​z3​−z2​−w3​θ^+ψ2​+∂θ^∂α2​​γτ3​−z2​∂θ^∂α1​​w3​=γτ3​​(22)
   将公式(22)带入公式(21)后，可以得到
   V˙4=−k1z12−k2z22−k3z32(22)\\begin{aligned} \\dot V_4&=-k_1z_1^2-k_2z_2^2-k_3z_3^2 \\end{aligned} \\qquad(22) V˙4​​=−k1​z12​−k2​z22​−k3​z32​​(22)
   因此公式(22)构成了系统的控制器和参数更新率。