数据结构之第八章、二叉树
目录
一、树型结构（了解）
1.1概念
1.2专业术语（重要）
1.3树的表示形式（了解）
编辑 1.4树的应用
二、二叉树（重点）
2.1概念
2.2两种特殊的二叉树
2.3二叉树的性质
2.4二叉树的存储
2.5 二叉树的基本操作
2.5.1前置说明
2.5.2二叉树的遍历
2.5.3二叉树的基本操作
2.6完成二叉树相关OJ题目
一、树型结构（了解）
1.1概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
- 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
- 树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2专业术语（重要）
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.3树的表示形式（了解）
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
1.4树的应用
文件系统管理（目录和文件）
二、二叉树（重点）
2.1概念
从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
大自然的奇观：
2.2两种特殊的二叉树
1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点对应时，称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3二叉树的性质
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点（k层，每一层都放满）
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
（2^k-1=n-->2^k=n+1）
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
(叶子节点数比度为2的节点个数多1)
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12答案：
1.B
2.A
3.B
4.B
2.4二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：
// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。
2.5 二叉树的基本操作
2.5.1前置说明
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
public class BinaryTree {static class TreeNode{public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char val) {this.val = val;}}public TreeNode createTree(){TreeNode A=new TreeNode('A');TreeNode B=new TreeNode('B');TreeNode C=new TreeNode('C');TreeNode D=new TreeNode('D');TreeNode E=new TreeNode('E');TreeNode F=new TreeNode('F');TreeNode G=new TreeNode('G');TreeNode H=new TreeNode('H');A.left=B;A.right=C;B.left=D;B.right=E;C.left=F;C.right=G;E.right=H;//保留根节点return A;}
}注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。
再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是
1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。
从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
2.5.2二叉树的遍历
1.前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
- LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
// 前序遍历public void preOrder(TreeNode root) {if(root == null) return;System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}/*遍历思路List<Integer> ret = new ArrayList<>();public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null) return ret;//System.out.print(root.val+" ");ret.add(root.val);preorderTraversal(root.left);preorderTraversal(root.right);return ret;}*///子问题/*public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> ret = new ArrayList<>();if(root == null) return ret;ret.add(root.val);List<Integer> leftTree = preorderTraversal(root.left);ret.addAll(leftTree);List<Integer> rightTree = preorderTraversal(root.right);ret.addAll(rightTree);return ret;}*/// 中序遍历public void inOrder(TreeNode root) {if(root == null) return;inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}// 后序遍历public void postOrder(TreeNode root) {if(root == null) return;postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");}public static int usedSize = 0;// 获取树中节点的个数public int size(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}usedSize++;size(root.left);size(root.right);return usedSize;}public int size2(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}return size2(root.left) + size2(root.right) + 1;}public static int leafSize = 0;public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}if(root.left == null && root.right == null) {leafSize++;}getLeafNodeCount(root.left);getLeafNodeCount(root.right);return leafSize;}public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}if(root.left == null && root.right == null) {return 1;}return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);}}
下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似,可自己动手绘制:
前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1
2.层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
3.选择题
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A
2.5.3二叉树的基本操作
// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
// 获取叶子节点的个数int getLeafNodeCount(Node root);
// 子问题思路-求叶子结点个数
// 获取第K层节点的个数int getKLevelNodeCount(Node root,int k);
// 获取二叉树的高度int getHeight(Node root);
// 检测值为value的元素是否存在Node find(Node root, int val);
//层序遍历void levelOrder(Node root);
// 判断一棵树是不是完全二叉树boolean isCompleteTree(Node root);