0102加权quick_union和路径压缩-union-find-动态连通性-算法研究

3 union-find算法

3.5 加权quick-union算法

3.5.1 算法实现

quick-union出现最坏情况，因为我们是随意将一棵树链接到另外一棵树上，修改如下：

• 添加一个数组和一些代码记录树中节点数；
• 链接时将节点数较小的树链接到较大的树上，示意图3.5.1-1如下所示：

这样能大大改进算法的效率，我们将它称为加权quick-union算法。

基于union-find各实现算法的相同性，遵循依赖倒置原则，我们设计一个同一的接口，抽象相同的方法，一个抽象实现类，实现相同的方法。

UnionFind接口代码如下3.5.1所示：

package com.gaogzhen.algorithms4.foundation;/* union-find算法功能接口*/
public interface UnionFind {/* 查找触点p所在分量标志* @param p 触点p* @return 分量标志*/int find(int p);/* 触点p和触点q是否在同一分量内* @param p 触点p* @param q 触点q* @return {@code true}如果触点{@code p}和触点{@code q}在同一分量内；{@code false}否则*/boolean connected(int p, int q);/* 合并触点p和触点q* @param p 触点q* @param q 触点q*/void union(int p, int q);/* 分量数量* @return 分量数量*/int count();
}

抽象类AbstractUnionFind代码3.5-2如下所示（有待进一步完善）：

package com.gaogzhen.algorithms4.foundation;/* union-find 默认实现*/
public abstract class AbstractUnionFind implements UnionFind{/* 触点所在分量标志*/private int[] id;/* 连通分量数量*/private int count;/* 初始化数组id* @param n 数组长度*/public AbstractUnionFind(int n) {count = n;id = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++)id[i] = i;}/* 获取触点i对应的分量值* @param index 触点i* @return  触点对应的分量标志*/protected int getId(int index) {return id[index];}/* 设置触点i对应的分量值* @param index 触点index* @param val 分量值*/protected void setId(int index, int val) {this.id[index] = val;}/* 数组id长度* @return 数组id长度*/protected int capacity() {return id.length;}/* 分量数量减1*/protected void decreaseCount() {count--;}/* 连通分量的数量 @return 数量 (between {@code 1} and {@code n})*/@Overridepublic int count() {return count;}/* 校验触点p是否合法* @param  p 触点p*/protected void validate(int p) {int n = id.length;if (p < 0 || p >= n) {throw new IllegalArgumentException("index " + p + " is not between 0 and " + (n-1));}}/* 判断触点p和触点q是否相连 @param  p 触点p* @param  q 触点q* @return {@code true} 如果 {@code p} 和 {@code q} 相连;*         {@code false} 否则*/@Deprecated@Overridepublic boolean connected(int p, int q) {validate(p);validate(q);return find(p) == find(q);}
}

加权qucik-union算法实现代码如下3.5-3所示：

package com.gaogzhen.algorithms4.foundation;/*  加权quick-union*/
public class WeightedQuickUnionUF extends AbstractUnionFind{/* 当前触点为根节点树中节点数量*/private int[] size;/* 初始化n个触点的数组 @param  n 数量n*/public WeightedQuickUnionUF(int n) {super(n);size = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {size[i] = 1;}}/* 返回触点p所在分量标志 @param  p 触点p* @return 触点p所在分量标志*/public int find(int p) {validate(p);while (p != getId(p))p = getId(p);return p;}/* 合并触点p和触点q所在的分量 @param  p 触点p所在分量* @param  q 触点p所在分量*/public void union(int p, int q) {int rootP = find(p);int rootQ = find(q);if (rootP == rootQ) return;// make smaller root point to larger oneif (size[rootP] < size[rootQ]) {setId(rootP, rootQ);size[rootQ] += size[rootP];}else {setId(rootQ, rootP);size[rootP] += size[rootQ];}decreaseCount();}
}

测试代码做相应调整3.5-4如下所示：

public static void testWeightedUF() {In in = fetchData();int n = in.readInt();testUF(new WeightedQuickUnionUF(n), in);
}private static In fetchData() {String path = System.getProperty("user.dir") + File.separator + "asserts/tinyUF.txt";return new In(path);
}private static void testUF(UnionFind uf, In in) {while (!in.isEmpty()) {int p = in.readInt();int q = in.readInt();if (uf.find(p) == uf.find(q)) continue;uf.union(p, q);StdOut.println(p + " " + q);}StdOut.println(uf.count() + " components");
}

测试结果如下所示；

4 3
3 8
6 5
9 4
2 1
5 0
7 2
6 1
2 components

3.5.2 算法性能分析

命题H。对于N个触点，加权quick-union算法构造的森林中的任意节点的深度最多为$\lg N$。

证明：数学归纳法证明一个更强的命题，即森林中大小为k的树的高度最大为$\lg k$。

$$\begin{gathered} 证明：当k的高度为1时，树的高度为0 \\ 根据归纳法，假设大小为i的树的高度最多为\lg i,i\le k \\ 设i\le j且i+j=看，当我们将大小为i和大小为j的树归并时，小树的高度+1，即 \\ i+\lg i=\lg (2i)\le \lg (i+j)=\lg k \end{gathered}$$

推论。对于加权quick-union算法和N个触点，在最坏情况下find()、connected()和union()的成本低增长数量级为$\lg N$。

证明。在森林中，对于从一个节点到它根节点到路径上的每个节点，每种操作最多都只会访问数组常数次。

加权quick-union算法处理N个触点和M条连接时最多访问数组$cM\lg N次，c为常数$。而quick-find则至少需要访问NM次。因此，加权quick-unino算法能让我们在合理的时间内解决实际中大规模动态连通性问题。

3.6 路径压缩

理想情况下 ，我们希望每个节点都直接链接到它的根节点上。

路径压缩算法其中一种实现代码3.6-1如下所示：

package com.gaogzhen.algorithms4.foundation;//public class UF extends AbstractUnionFind{/* 触点为根节点树高度*/private byte[] rank;/* 初始化 @param  n 数量*/public UF(int n) {super(n);rank = new byte[n];for (int i = 0; i < n; i++) {rank[i] = 0;}}/* 返回触点p所在分量的树的根节点 @param  p 节点p* @return 节点p所在树根节点*/public int find(int p) {validate(p);while (p != getId(p)) {// 路径减半压缩，当前节点指向其祖父节点setId(p , getId(getId(p)));p =  getId(p);}return p;}/* 归并触点p和触点q @param  p 触点p* @param  q 触点q*/public void union(int p, int q) {int rootP = find(p);int rootQ = find(q);if (rootP == rootQ) return;// 较低高度的树链接到较高高度的树if      (rank[rootP] < rank[rootQ]) setId(rootP, rootQ);else if (rank[rootP] > rank[rootQ]) setId(rootQ, rootP);else {// 高度相同，一个链接到另外一个，被链接的高度+1setId(rootQ, rootP);rank[rootP]++;}decreaseCount();}
}

• find()方法：通过循环，将路径上遇到的所有节点直接链接到根节点；

测试代码3.6-2如下所示：

public static void testPathCompress() {In in = fetchData();int n = in.readInt();testUF(new UF(n), in);
}

fetchData()和testUF()代码同上，测试结果：

4 3
3 8
6 5
9 4
2 1
5 0
7 2
6 1
2 components

3.7 分析

路径压缩的加权quick-union算是目前最优的算法，但并非所有操作都能在常数时间内完成。使用路径压缩的加权quick-union算法的每个操作在最坏情况下（均摊后）都不是常数级别。

各种union-find算法上性能特点如下表3.7-1所示：

我们能找到一种能够保证在常数时间内完成各种操作的算法吗？

4 展望

通过对每种UF算法实现都改进了上一个版本的实现，但这个过程并不突兀。

• 解决方法的实现很简单，可以用经验性的数据评估各个算法的优劣；
• 可以通过这些研究验证将算法性能量化的数学结论。

以后研究各种基础问题时，我们都会遵循类似于讨论union-find问题时的步骤，如下：

• 完整而详细的定义问题，找出解决问题所必需的基本抽象操作并定义一份API；
• 简洁地实现一种初级算法，给出一个精心组织的开发用例并使用实际数据作为输入；
• 当实现所解决的问题的最大规模达不到期望时决定改进还是放弃；
• 逐步改进实现，通过经验分析或（和）数学分析验证改进后的效果；
• 用更高层次的抽象表示数据结构或算法来设计更高级的改进版本；
• 如果可能尽量为最坏情况下的性能提供保证，但在处理普通数据时也要有良好的性能；
• 在适当的时候将更细致的深入研究留给有经验的研究者并继续解决下一个问题。

结语

如果小伙伴什么问题或者指教，欢迎交流。

❓QQ:806797785

⭐️源代码仓库地址：https://gitee.com/gaogzhen/algorithm

参考链接:

[1][美]Robert Sedgewich,[美]Kevin Wayne著;谢路云译.算法：第4版[M].北京：人民邮电出版社，2012.10.p136-149.