AVL树介绍

AVL树的概念

二叉搜索树虽然可以提高我们查找数据的效率，但如果插入二叉搜索树的数据是有序或接近有序的，此时二叉搜索树会退化为单支树，在单支树当中查找数据相当于在单链表当中查找数据，效率是很低下的。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.A delson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

AVL树可以是一棵空树，也可以是具有以下性质的一棵二叉搜索树：

• 树的左右子树都是AVL树。
• 树的左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1（-1/01）。

如果一棵二叉搜索树的高度是平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log2 N)，搜索时间复杂度也是O(log2 N)。

只有满二叉树才能做到每个结点左右子树高度之差均为0。

ps:AVL树不一定需要平衡因子，平衡因子只是一种控制实现方式。

AVL树结点的定义

我们这里直接实现K V模型的AVL树，为了方便后续的操作，这里将AVL树中的结点定义为三叉链结构，并在每个结点当中引入平衡因子（右子树高度-左子树高度）。除此之外，还需编写一个构造新结点的构造函数，由于新构造结点的左右子树均为空树，于是将新构造结点的平衡因子初始设置为0即可。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{//三叉链AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;//存储的键值对pair<K, V> _kv;//平衡因子(balance factor)int _bf; //右子树高度-左子树高度//构造函数AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};

AVL树的插入

AVL树插入结点时有以下三个步骤：

• 按照二叉搜索树的插入方法，找到待插入位置。
• 找到待插入位置后，将待插入结点插入到树中。
• 更新平衡因子，如果出现不平衡，则需要进行旋转。

因为AVL树本身就是一棵二叉搜索树，因此寻找结点的插入位置是非常简单的，按照二叉搜索树的插入规则：

• 待插入结点的key值比当前结点小就插入到该结点的左子树。
• 待插入结点的key值比当前结点大就插入到该结点的右子树。
• 待插入结点的key值与当前结点的key值相等就插入失败。

如此进行下去，直到找到与待插入结点的key值相同的结点判定为插入失败，或者最终走到空树位置进行结点插入。

AVL树插入结点后需要更新树中结点的平衡因子，由于一个结点的平衡因子是否需要更新，是取决于该结点的左右子树的高度是否发生了变化，因此插入一个结点后，该结点的祖先结点的平衡因子可能需要更新。

所以我们插入结点后需要倒着往上更新平衡因子，更新规则如下：

• 新增结点在parent的右边，parent的平衡因子+ + 。
• 新增结点在parent的左边，parent的平衡因子− −。

每更新完一个结点的平衡因子后，都需要进行以下判断：

• 如果parent的平衡因子等于-1或者1，表明还需要继续往上更新平衡因子。
• 如果parent的平衡因子等于0，表明无需继续往上更新平衡因子了。
• 如果parent的平衡因子等于-2或者2，表明此时以parent结点为根结点的子树已经不平衡了，需要进行旋转处理。

注意：

• parent的平衡因子在更新前只可能是-1/0/1（AVL树中每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1）。
• 在最坏情况下，我们更新平衡因子时会一路更新到根结点。

若是在更新平衡因子的过程当中，出现了平衡因子为-2/2的结点，这时我们需要对以该结点为根结点的树进行旋转处理，而旋转处理分为四种，在进行分类之前我们首先需要进行以下分析：

当parent的平衡因子为-2/2时，cur的平衡因子必定是-1/1而不会是0。

理由如下：

若cur的平衡因子是0，那么cur一定是新增结点，而不是上一次更新平衡因子时的parent，否则在上一次更新平衡因子时，会因为parent的平衡因子为0而停止继续往上更新。
而cur是新增结点的话，其父结点的平衡因子更新后一定是-1/0/1，而不可能是-2/2，因为新增结点最终会插入到一个空树当中，在新增结点插入前，其父结点的状态有以下两种可能：

• 其父结点是一个左右子树均为空的叶子结点，其平衡因子是0，新增结点插入后其平衡因子更新为-1/1。
• 其父结点是一个左子树或右子树为空的结点，其平衡因子是-1/1，新增结点插入到其父结点的空子树当中，使得其父结点左右子树当中较矮的一棵子树增高了，新增结点后其平衡因子更新为0。

综上所述，当parent的平衡因子为-2/2时，cur的平衡因子必定是-1/1而不会是0。

根据此结论，我们可以将旋转处理分为以下四类：

• 当parent的平衡因子为-2，cur的平衡因子为-1时，进行右单旋。
• 当parent的平衡因子为-2，cur的平衡因子为1时，进行左右双旋。
• 当parent的平衡因子为2，cur的平衡因子为-1时，进行右左双旋。
• 当parent的平衡因子为2，cur的平衡因子为1时，进行左单旋。

并且，在进行旋转处理后就无需继续往上更新平衡因子了，因为旋转后树的高度变为插入之前了，即树的高度没有发生变化，也就不会影响其父结点的平衡因子了。

插入代码如下：

//插入bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//按照二叉搜索树的插入方法，找到待插入位置Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else//待插入结点的key值等于当前结点的key值{return false;//插入失败（不允许key值冗余）}}//找到插入位置cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < cur->_kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;//三叉链结构，保证可以双向找到}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}// 控制树的平衡//1.更新平衡因子--》新增节点到根节点的祖先路径//2.出现异常平衡因子，则需要旋转平衡处理。while (parent){// 0、更新平衡因子if (cur == parent->_left)//插入位置是parent左边parent->_bf--;elseparent->_bf++;// 检查父亲的平衡因子// 1、父亲所在子树的高度不变，不影响祖先，更新结束if (parent->_bf == 0){break;} // 2、父亲所在子树的高度变了，继续往上更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;} // 3、父亲所在子树的出现了不平衡，需要旋转处理else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){// 右单旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){// 左单旋RotateL(parent);}//双旋：呈折线else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);//先左单旋，再右单旋}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);//先右单旋，再左单旋}else{//说明插入更新平衡因子之前，树中平衡因子就有问题了、assert(false);}break;//旋转后就一定平衡了，无需继续往上更新平衡因子(旋转后树高度变为插入之前了)}else{assert(false);//说明在插入时这棵树就已经出问题了}}return true;}

AVL树的旋转

（1）左单旋

左单旋的步骤如下：

• 让subR的左子树作为parent的右子树。
• 让parent作为subR的左子树。
• 让subR作为整个子树的根。
• 更新平衡因子。

举例：

当在子树c上插入一个新节点.此时子树c的高度变化为h+1,子树b的高度为h.结点5的平衡因子变为1，结点3的平衡因子变为2.此树不再平衡

左单旋：整体向左方向旋转。

• 结点5的左子树b变为结点3的右子树
• 结点3以及其子树变为结点5的左子树

左单旋后满足二叉搜索树的性质：

• subR的左子树当中结点的值本身就比parent的值大，因此可以作为parent的右子树。
• parent及其左子树当中结点的值本身就比subR的值小，因此可以作为subR的左子树。

可以看到，经过左单旋后，树的高度变为插入之前了，即树的高度没有发生变化，所以左单旋后无需继续往上更新平衡因子。

注意： 结点是三叉链结构，改变结点关系时需要跟着改变父指针的指向。

代码如下：

//左单旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}subR->_bf = parent->_bf = 0; //更新平衡因子}

（2）右单旋

右单旋的步骤如下：

• 让subL的右子树作为parent的左子树。
• 让parent作为subL的右子树。
• 让subL作为整个子树的根。
• 更新平衡因子。

举例：

当在子树a的下面插入一个结点时，结点3的左子树高度变为h+1，右子树高度为h,平衡因子变为-1.结点5的左子树高度变为h+2，右子树高度变为h,平衡因子变为-2.此时不再平衡。

右单旋：整体向右方向旋转。

• 结点5变为结点3的右子树
• 结点3右子树以及其子树变为结点5的左子树
• parent指向结点3

右单旋后满足二叉搜索树的性质：

• subL的右子树当中结点的值本身就比parent的值小，因此可以作为parent的左子树。
• parent及其右子树当中结点的值本身就比subL的值大，因此可以作为subL的右子树。

代码如下：

void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)//当子树高度为0，subLR为空subLR->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;//防止parent也是一棵树的子树，parent也有自己的parent，用ppNode记录parent的parentsubL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else//说明parent也是一棵树的子树，parent也有自己的parent{//此时将subL作为当前子树的根，将原先parent的parent指向当前的subLif (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subL;elseppNode->_right = subL;subL->_parent = ppNode;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}

（3）左右双旋

新结点插入到子树b和c会有不同的情况，首先以在子树b下插入一个结点为例，此时结点4的平衡因子变为-1，结点3的平衡因子变为1，结点5的平衡因子变为-2. AVL树不再平衡。

左右双旋：先左单旋，再右单旋。不过两次的对象不同。先对结点3和结点4进行左单旋，然后进行右单旋。

以上图为例,左右双旋的步骤如下：

• 以subL为旋转点进行左单旋。
• 以parent为旋转点进行右单旋。
• 更新平衡因子。

左右双旋后，平衡因子的更新随着subLR原始平衡因子的不同分为以下三种情况：

1、当subLR原始平衡因子是-1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为1、0、0。

2、当subLR原始平衡因子是1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、-1、0。

3、当subLR原始平衡因子是0时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、0、0。

可以看到，经过左右双旋后，树的高度变为插入之前了，即树的高度没有发生变化，所以左右双旋后无需继续往上更新平衡因子。

代码如下：

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf; //subLR不可能为nullptr，因为subL的平衡因子是1//1、以subL为旋转点进行左单旋RotateL(subL);//2、以parent为旋转点进行右单旋RotateR(parent);//3、更新平衡因子if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题}
}

（4）右左双旋

同样也是有三种情况，这里我以新节点插入到c子树为例分析：

调整过程：

以上图为例，右左双旋的步骤如下：

• 以subR为旋转点进行右单旋。
• 以parent为旋转点进行左单旋。
• 更新平衡因子。

右左双旋后，平衡因子的更新随着subLR原始平衡因子的不同分为以下三种情况：

1、当subRL原始平衡因子是1时，左右双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为-1、0、0。

2、当subRL原始平衡因子是-1时，左右双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、1、0。

3、当subRL原始平衡因子是0时，左右双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、0、0。

代码如下：

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;//1、以subR为轴进行右单旋RotateR(subR);//2、以parent为轴进行左单旋RotateL(parent);//3、更新平衡因子if (bf == 1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 0){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题}
}

AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，也就是说AVL树也是二叉搜索树，因此我们可以先获取二叉树的中序遍历序列，来判断二叉树是否为二叉搜索树。

//中序遍历
void Inorder()
{_Inorder(_root);
}
//中序遍历子函数
void _Inorder(Node* root)
{if (root == nullptr)return;_Inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_Inorder(root->_right);
}

但中序有序只能证明是二叉搜索树，要证明二叉树是AVL树还需验证二叉树的平衡性，在该过程中我们可以顺便检查每个结点当中平衡因子是否正确。

采用后序遍历，变量步骤如下：

• 从叶子结点处开始计算每课子树的高度。（每棵子树的高度 = 左右子树中高度的较大值 + 1）
• 先判断左子树是否是平衡二叉树。
• 再判断右子树是否是平衡二叉树。
• 若左右子树均为平衡二叉树，则返回当前子树的高度给上一层，继续判断上一层的子树是否是平衡二叉树，直到判断到根为止。（若判断过程中，某一棵子树不是平衡二叉树，则该树也就不是平衡二叉树了）
  

代码：

//判断是否为AVL树
bool IsAVLTree()
{int hight = 0; //输出型参数return _IsBalanced(_root, hight);
}
//检测二叉树是否平衡
bool _IsBalanced(Node* root, int& hight)
{if (root == nullptr) //空树是平衡二叉树{hight = 0; //空树的高度为0return true;}//先判断左子树int leftHight = 0;if (_IsBalanced(root->_left, leftHight) == false)return false;//再判断右子树int rightHight = 0;if (_IsBalanced(root->_right, rightHight) == false)return false;//检查该结点的平衡因子if (rightHight - leftHight != root->_bf){cout << "平衡因子设置异常：" << root->_kv.first << endl;}//把左右子树的高度中的较大值+1作为当前树的高度返回给上一层hight = max(leftHight, rightHight) + 1;return abs(rightHight - leftHight) < 2; //平衡二叉树的条件
}

AVL树的性能

• AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个结点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即l o g N 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

因此，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑AVL树，但当一个结构经常需要被修改时，AVL树就不太适合了。