7.1 基本运算电路（2）
七、集成运放性能指标对运算误差的影响
在上述各电路运算关系的分析中，均认为集成运放为理想运放。而实际上，当利用运放构成运算电路时，由于开环差模增益 AodA_{od}Aod、差模输入电阻 ridr_{id}rid 和共模抑制比 KCMRK_{CMR}KCMR 为有限值，且输入失调电压 UIOU_{IO}UIO、失调电流 IIOI_{IO}IIO 以及它们的温漂 dUIOdT\\displaystyle\\frac{\\textrm dU_{IO}}{\\textrm dT}dTdUIO、dIIOdT\\displaystyle\\frac{\\textrm dI_{IO}}{\\textrm dT}dTdIIO 均不为零，必然造成误差。
对于任何运算电路，若元器件参数理想情况下输出电压为 uO′u'_OuO′，电路的实际输出电压为 uOu_OuO，则输出电压的绝对误差 ΔuO=∣uO∣−∣uO′∣\\Delta u_O=|u_O|-|u'_O|ΔuO=∣uO∣−∣uO′∣，而相对误差为δ=ΔuOuO′×100%(7.1.28)\\delta=\\frac{\\Delta u_O}{u'_O}\\times100\\%\\kern 40pt(7.1.28)δ=uO′ΔuO×100%(7.1.28)
1、AodA_{od}Aod 和 ridr_{id}rid 为有限值时，对反相比例运算电路运算误差的影响
考虑 AodA_{od}Aod 和 ridr_{id}rid 为有限值时，反相比例运算电路的等效电路如图7.1.31所示。由于 rid>>R′r_{id}>>R'rid>>R′，可以认为uN≈−uId=−uOAod(7.1.29)u_N\\approx-u_{Id}=-\\frac{u_O}{A_{od}}\\kern 40pt(7.1.29)uN≈−uId=−AoduO(7.1.29)结点 N\\textrm NN 的电流方程为 iR=iF+iIi_R=i_F+i_IiR=iF+iI，即uI−uNR=uN−uORf+uNrid+R′\\frac{u_I-u_N}{R}=\\frac{u_N-u_O}{R_f}+\\frac{u_N}{r_{id}+R'}RuI−uN=RfuN−uO+rid+R′uN将式（7.1.29）代入上式，并令 RN=R//Rf//(rid+R′)R_N=R//R_f//(r_{id}+R')RN=R//Rf//(rid+R′)，整理可得uO≈−RfR⋅AodRNRf+AodRN⋅uI(7.1.30)u_O\\approx-\\frac{R_f}{R}\\cdot\\frac{A_{od}R_N}{R_f+A_{od}R_N}\\cdot u_I\\kern 30pt(7.1.30)uO≈−RRf⋅Rf+AodRNAodRN⋅uI(7.1.30)理想运放时的输出电压uO′=−RfR⋅uI(7.1.31)u'_O=-\\frac{R_f}{R}\\cdot u_I\\kern 80pt(7.1.31)uO′=−RRf⋅uI(7.1.31)故相对误差δ≈−RfRf+AodRN×100%(7.1.32)\\delta\\approx-\\frac{R_f}{R_f+A_{od}R_N}\\times100\\%\\kern 30pt(7.1.32)δ≈−Rf+AodRNRf×100%(7.1.32)若 R=10kΩR=10\\,\\textrm kΩR=10kΩ，Rf=100kΩR_f=100\\,\\textrm kΩRf=100kΩ，R′=R//RfR'=R//R_fR′=R//Rf，Aod=2×105A_{od}=2\\times10^5Aod=2×105，rid=2MΩr_{id}=2\\,\\textrm MΩrid=2MΩ，则 δ≈−0.005%\\delta\\approx-0.005\\%δ≈−0.005%。式（7.1.32）表明，AodA_{od}Aod 和 ridr_{id}rid 愈大，相对误差的数值愈小。
2、AodA_{od}Aod 和 KCMRK_{CMR}KCMR 为有限值时，对同相比例运算电路运算误差的影响
因为同相比例运算电路在输入差模信号的同时伴随着共模信号输入，因此共模抑制比称为影响运算误差的重要因素。图7.1.32所示为 AodA_{od}Aod 和 KCMRK_{CMR}KCMR 为有限值时同相比例运算电路的等效电路。由于 ridr_{id}rid 为无穷大，iI=0i_I=0iI=0，故 R′R'R′ 上电压为零，uP=uIu_P=u_IuP=uI。输出电压是差模信号和共模信号两部分作用的结果，其中uId=uP−uNu_{Id}=u_P-u_NuId=uP−uNuIc=uP+uN2u_{Ic}=\\frac{u_P+u_N}{2}uIc=2uP+uN输出电压的表达式为uO=Aod(uP−uN)+Ac⋅uP−uN2(7.1.33)u_O=A_{od}(u_P-u_N)+A_c\\cdot \\frac{u_P-u_N}{2}\\kern 30pt(7.1.33)uO=Aod(uP−uN)+Ac⋅2uP−uN(7.1.33)因为 uP=uIu_P=u_IuP=uI，uN=RR+Rf⋅uO=FuOu_N=\\displaystyle\\frac{R}{R+R_f}\\cdot u_O=Fu_OuN=R+RfR⋅uO=FuO，Ac=AodKCMRA_c=\\displaystyle\\frac{A_{od}}{K_{CMR}}Ac=KCMRAod，所以uO=AoduI−AodFuO+AodKCMR⋅uI2+AodKCMR⋅FuO2u_O=A_{od}u_I-A_{od}Fu_O+\\frac{A_{od}}{K_{CMR}}\\cdot\\frac{u_I}{2}+\\frac{A_{od}}{K_{CMR}}\\cdot\\frac{Fu_O}{2}uO=AoduI−AodFuO+KCMRAod⋅2uI+KCMRAod⋅2FuO整理可得uO=(1+RfR)⋅1+12KCMR1+1AodF−12KCMR⋅uI(7.1.34)u_O=\\Big(1+\\frac{R_f}{R}\\Big)\\cdot\\frac{1+\\displaystyle\\frac{1}{2K_{CMR}}}{1+\\displaystyle\\frac{1}{A_{od}F}-\\frac{1}{2K_{CMR}}}\\cdot u_I\\kern 20pt(7.1.34)uO=(1+RRf)⋅1+AodF1−2KCMR11+2KCMR1⋅uI(7.1.34)理想运放情况下的输出电压uO′=(1+RfR)uI(7.1.35)u'_O=\\big(1+\\frac{R_f}{R}\\big)u_I\\kern 60pt(7.1.35)uO′=(1+RRf)uI(7.1.35)所以相对误差δ=(1+12KCMR1+1AodF−12KCMR−1)×100%(7.1.36)\\delta=\\Big(\\frac{1+\\displaystyle\\frac{1}{2K_{CMR}}}{1+\\displaystyle\\frac{1}{A_{od}F}-\\frac{1}{2K_{CMR}}}-1\\Big)\\times100\\%\\kern 20pt(7.1.36)δ=(1+AodF1−2KCMR11+2KCMR1−1)×100%(7.1.36)若 R=10kΩR=10\\,\\textrm kΩR=10kΩ，Rf=100kΩR_f=100\\,\\textrm kΩRf=100kΩ，R′=R//RfR'=R//R_fR′=R//Rf，Aod=2×105A_{od}=2\\times10^5Aod=2×105，KCMR=104K_{CMR}=10^4KCMR=104，则 δ≈0.01%\\delta\\approx0.01\\%δ≈0.01%。式（7.1.36）表明，AodA_{od}Aod 和 KCMRK_{CMR}KCMR 愈大，相对误差的数值愈小。
3、失调电压 UIOU_{IO}UIO、失调电流 IIOI_{IO}IIO 及其温漂 dUIOdT\\displaystyle\\frac{\\textrm dU_{IO}}{\\textrm dT}dTdUIO、dIIOdT\\displaystyle\\frac{\\textrm dI_{IO}}{\\textrm dT}dTdIIO 对比例运算电路运算误差的影响
考虑 UIOU_{IO}UIO 和 IIOI_{IO}IIO 的影响，比例运算电路的等效电路如图7.1.33所示。图中 IB1=IIB+12⋅IIOI_{B1}=I_{IB}+\\displaystyle\\frac{1}{2}\\cdot I_{IO}IB1=IIB+21⋅IIO，IB2=IIB−12⋅IIOI_{B2}=I_{IB}-\\displaystyle\\frac{1}{2}\\cdot I_{IO}IB2=IIB−21⋅IIO，差模输入电压为零。因电路的两个输入端接地，故仅由失调因素产生输出电压 uOu_OuO。
图7.1.33考虑UIO和IIO影响时，比例运算电路的等效电路图7.1.33\\,\\,\\,考虑\\,U_{IO}\\,和\\,I_{IO}\\,影响时，比例运算电路的等效电路图7.1.33考虑UIO和IIO影响时，比例运算电路的等效电路集成运放同相输入端电位uP=−(IIB−12⋅IIO)R′(7.1.37)u_P=-\\big(I_{IB}-\\frac{1}{2}\\cdot I_{IO}\\big)R'\\kern 40pt(7.1.37)uP=−(IIB−21⋅IIO)R′(7.1.37)由于 UId=0U_{Id}=0UId=0，所以两个电流源上的压降相等，故反相输入端电位uN=UIO−(IIB−12⋅IIO)R′(7.1.38)u_N=U_{IO}-\\big(I_{IB}-\\frac{1}{2}\\cdot I_{IO}\\big)R'\\kern 22pt(7.1.38)uN=UIO−(IIB−21⋅IIO)R′(7.1.38)N\\textrm NN 点的电流方程uNR+IIB+12IIO=uO−uNRf\\frac{u_N}{R}+I_{IB}+\\frac{1}{2}I_{IO}=\\frac{u_O-u_N}{R_f}RuN+IIB+21IIO=RfuO−uN整理得出uN=RNRfuO−(IIB+12IIO)RN(7.1.39)u_N=\\frac{R_N}{R_f}u_O-\\big(I_{IB}+\\frac{1}{2}I_{IO}\\big)R_N\\kern 20pt(7.1.39)uN=RfRNuO−(IIB+21IIO)RN(7.1.39)式中 RN=R//RfR_N=R//R_fRN=R//Rf。根据式（7.1.38）和（7.1.39），可得输出电压uO=(1+RfR)[UIO+IIB(RN−R′)+12IIO(RN+R′)]u_O=\\big(1+\\frac{R_f}{R}\\big)[U_{IO}+I_{IB}(R_N-R')+\\frac{1}{2}I_{IO}(R_N+R')]uO=(1+RRf)[UIO+IIB(RN−R′)+21IIO(RN+R′)]当外接电阻 R//Rf=R′R//R_f=R'R//Rf=R′ 时，uO=(1+RfR)(UIO+IIOR′)(7.1.40)u_O=\\big(1+\\frac{R_f}{R}\\big)(U_{IO}+I_{IO}R')\\kern 35pt(7.1.40)uO=(1+RRf)(UIO+IIOR′)(7.1.40)当 RN=R′R_N=R'RN=R′ 且只考虑失调温漂所产生的输出电压的变化时，有ΔuO=(1+RfR)(ΔUIO+ΔIIOR′)\\Delta u_O=\\big(1+\\frac{R_f}{R}\\big)(\\Delta U_{IO}+\\Delta I_{IO}R')ΔuO=(1+RRf)(ΔUIO+ΔIIOR′)ΔUIO=dUIOdT⋅ΔTmax\\Delta U_{IO}=\\frac{\\textrm dU_{IO}}{\\textrm dT}\\cdot\\Delta T_{max}ΔUIO=dTdUIO⋅ΔTmaxΔIIO=dIIOdT⋅ΔTmax\\Delta I_{IO}=\\frac{\\textrm dI_{IO}}{\\textrm dT}\\cdot \\Delta T_{max}ΔIIO=dTdIIO⋅ΔTmax式中 ΔTmax\\Delta T_{max}ΔTmax 为温度变化的最大范围。
因为理想运放条件下，同相比例运算电路的输出电压uO′=(1+RfR)uIu'_O=\\big(1+\\frac{R_f}{R}\\big)u_IuO′=(1+RRf)uI所以失调温漂引起的相对误差的数值为∣δ∣=∣ΔuOuO′∣=∣ΔUIO+ΔIIOR′uI∣×100%(7.1.41)|\\delta|=\\Big|\\frac{\\Delta u_O}{u'_O}\\Big|=\\Big|\\frac{\\Delta U_{IO}+\\Delta I_{IO}R'}{u_I}\\Big|\\times 100\\%\\kern 20pt(7.1.41)∣δ∣=uO′ΔuO=uIΔUIO+ΔIIOR′×100%(7.1.41)因为理想运放条件下，反相比例运算电路的输出电压uO′=−RfR⋅uIu'_O=-\\frac{R_f}{R}\\cdot u_IuO′=−RRf⋅uI所以失调温漂引起的相对误差的数值为∣δ∣=∣ΔuOuO′∣=(1+RRf)∣ΔUIO+ΔIIOR′uI∣×100%(7.1.42)|\\delta|=\\Big|\\frac{\\Delta u_O}{u'_O}\\Big|=\\Big(1+\\frac{R}{R_f}\\Big)\\Big|\\frac{\\Delta U_{IO}+\\Delta I_{IO}R'}{u_I}\\Big|\\times100\\%\\kern 15pt(7.1.42)∣δ∣=uO′ΔuO=(1+RfR)uIΔUIO+ΔIIOR′×100%(7.1.42)式（7.1.41）和式（7.1.42）表明，在集成运放同相输入端和反相输入端外接总电阻相同的情况下，失调温漂愈小，输入电压幅值愈大，相对误差的数值愈小。
4、失调温漂对积分运算电路运算误差的影响
考虑 UIOU_{IO}UIO 和 IIOI_{IO}IIO 的影响，积分运算电路的等效电路如图7.1.34所示。当输入电压为零时，输出电压仅决定于失调因素。
因为 uP=0Vu_P=0\\,\\textrm VuP=0V，集成运放差模输入电阻为无穷大，电流源 IIOI_{IO}IIO 上的电压可忽略不计，所以 uN=UIOu_N=U_{IO}uN=UIO。N\\textrm NN 点的电流方程为UIOR+IIO=iC\\frac{U_{IO}}{R}+I_{IO}=i_CRUIO+IIO=iC输出电压uO=−1C∫(UIOR+IIO)dt(7.1.43)u_O=-\\frac{1}{C}\\int\\Big(\\frac{U_{IO}}{R}+I_{IO}\\Big)\\textrm dt\\kern 30pt(7.1.43)uO=−C1∫(RUIO+IIO)dt(7.1.43)若仅考虑失调温漂，则输出电压的变化量ΔuO=−1C∫(ΔUIOR+ΔIIO)dt(7.1.44)\\Delta u_O=-\\frac{1}{C}\\int\\Big(\\frac{\\Delta U_{IO}}{R}+\\Delta I_{IO}\\Big)\\textrm dt\\kern 25pt(7.1.44)ΔuO=−C1∫(RΔUIO+ΔIIO)dt(7.1.44)因为在理想运放情况下的输出电压为uO′=−1C∫uIRdt(7.1.45)u'_O=-\\frac{1}{C}\\int\\frac{u_I}{R}\\textrm dt\\kern 50pt(7.1.45)uO′=−C1∫RuIdt(7.1.45)所以因失调温漂所引起的相对误差的数值为∣δ∣=∣ΔuOuO′∣=∣∫(ΔUIO+ΔIIOR)dt∫uIdt∣×100%(7.1.46)|\\delta|=\\Big|\\frac{\\Delta u_O}{u'_O}\\Big|=\\Big|\\frac{\\int(\\Delta U_{IO}+\\Delta I_{IO}R)\\textrm dt}{\\int u_I \\textrm dt}\\Big|\\times100\\%\\kern 20pt(7.1.46)∣δ∣=uO′ΔuO=∫uIdt∫(ΔUIO+ΔIIOR)dt×100%(7.1.46)可见，失调温漂愈大，RRR 愈大，uIu_IuI 愈小，相对误差愈大。
应当指出，运算电路的运算误差不仅来源于集成运放非理想的指标参数，还决定于其它元器件的精度及电源电压的稳定性等。因此，为了提高运算精度，除了应选择高质量的集成运放外，还应合理选择其它元器件，提高电源电压的稳定性，减小环境温度的变化，抑制干扰和噪声，精心设计电路板等。