计算机控制系统中的信号
理想采样过程的数学描述
信号的恢复与重构

计算机控制系统中的信号

基础知识

消息：待发送的符号
信号：用于描述、记录和传输消息的物理过程
信息：包含在消息中的有效成分
信号是消息的表现形式，消息是信号的具体内容

注意连续时间信号和离散时间信号的定义：

注意离散幅值信号和数字信号(二进制信号)的定义：

信号根据时间可分为离散和连续，根据幅值可分为离散、连续和二进制，总共可以组合出六种信号：

A/D中的信号

(1) 采样：把时间连续信号转变成时间离散信号
称完成信号转换的装置为采样开关
相邻两次采样之间的间隔时间称为采样周期
（我们只讨论均匀采样，即采样周期恒定不变）

注：采样过程存在时域信息损失。采样周期一定时，已知采样前信号，可以唯一确定采样后信号。但已知采样后信号，不能唯一确定采样前信号。

(2) 量化：把采样时刻的信号幅值转变为最小量化单位的整数倍
$f(kT)=Lq$, T为采样周期，q为最小量化单位，L为整数，$k=0,1,2,\cdots$

(3) 编码：将信号幅值用二进制编码表示

D/A中的信号

(1) 解码：将数字量转换成幅值对应的脉冲信号
把完成解码的装置称为解码器

(2) 保持：把脉冲信号转换成时间连续信号
完成保持的装置称为保持器或信号恢复器

注：以上出现了ABCDE共5种信号。还有一种信号F：时间连续、幅值二进制的信号，存在于计算机内部。

比如观察某一个内存单元，在时间上是连续的，而其内容是二进制的数字。

理想采样过程的数学描述

采样过程的描述

在方框图中，采样开关绘制为：

用*号来表示经过采样的离散信号。
描述采样过程有这几个指标：
采样周期：$T$
采样频率：fs=1Tf_s=\\frac{1}{T}fs​=T1​
采样角频率：ωs=2πfs=2πT\\omega_s =2\\pi f_s = \\frac{2\\pi}{T}ωs​=2πfs​=T2π​

理想的采样过程即是忽略采样开关的闭合时间，认为采样是在一瞬间完成的。

理想采样信号的描述

对于连续的函数$f(t)$采样，得到数字序列：$f(0),f(T),f(2T),\cdots f(kT)\cdots$
脉冲函数乘以另一个函数，相当于筛选出$t=0$时的函数值（筛选性）
利用一系列脉冲函数来筛选出间隔为T的一系列时刻的信号值：
f∗(t)=f(t)δ(t)+f(t)δ(t−T)+⋯+f(t)δ(t−kT)+⋯=∑k=0∞f(t)δ(t−kT)=f(t)∑k=0∞δ(t−kT)\\begin{aligned} f^*(t)=&f(t)\\delta(t)+f(t)\\delta(t-T)+\\cdots+ f(t)\\delta(t-kT)+\\cdots\\\\ =&\\sum_{k=0}^{\\infty}f(t)\\delta(t-kT)\\\\ =&f(t)\\sum_{k=0}^{\\infty}\\delta(t-kT) \\end{aligned}f∗(t)===​f(t)δ(t)+f(t)δ(t−T)+⋯+f(t)δ(t−kT)+⋯k=0∑∞​f(t)δ(t−kT)f(t)k=0∑∞​δ(t−kT)​

定义理想采样开关：δT(t)=∑k=−∞∞δ(t−kT)\\displaystyle \\delta_T(t)=\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}\\delta(t-kT)δT​(t)=k=−∞∑∞​δ(t−kT)
一般情况下，我们认为$t<0$时，$f(t)=0$，所以理想采样开关也可以表示为：δT(t)=∑k=0∞δ(t−kT)\\delta_T(t)=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\delta(t-kT)δT​(t)=∑k=0∞​δ(t−kT)

时域描述：
采样后的信号有以下四种表示方法：（都要认识）

• f∗(t)=f(t)δT(t)f^*(t)=f(t)\\delta_T(t)f∗(t)=f(t)δT​(t)
• f∗(t)=f(t)∑k=0∞δ(t−kT)f^*(t)=f(t)\\sum_{k=0}^{\\infty}\\delta(t-kT)f∗(t)=f(t)∑k=0∞​δ(t−kT)
• f∗(t)=∑k=0∞f(t)δ(t−kT)f^*(t)=\\sum_{k=0}^{\\infty}f(t)\\delta(t-kT)f∗(t)=∑k=0∞​f(t)δ(t−kT)
• f∗(t)=∑k=0∞f(kT)δ(t−kT)f^*(t)=\\sum_{k=0}^{\\infty}f(kT)\\delta(t-kT)f∗(t)=∑k=0∞​f(kT)δ(t−kT)

复域描述：
即是求Laplace变换：
这里要注意，采样后信号的复域描述，并不等于采样前信号复域描述的采样。必须通过以下两种方法计算：

1. 未采样时域描述 ->采样后复域描述
   F∗(s)=L[f∗(t)]=∫0∞∑k=0∞[f(t)δ(τ−kT)]e−sτdτ=∑k=0∞f(kT)e−kTs\\begin{aligned} F^*(s) =& \\mathscr{L}[f^*(t)]\\\\ =& \\int_0^\\infty \\sum_{k=0}^\\infty[f(t)\\delta(\\tau-kT)]e^{-s\\tau} \\rm{d}\\tau\\\\ =& \\sum_{k=0}^\\infty f(kT)e^{-kTs} \\end{aligned}F∗(s)===​L[f∗(t)]∫0∞​k=0∑∞​[f(t)δ(τ−kT)]e−sτdτk=0∑∞​f(kT)e−kTs​
   由于认为$t<0$时，$f(t)=0$，所以也写作：
   F∗(s)=∑k=−∞∞f(kT)e−kTs\\displaystyle F^*(s)=\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}f(kT)e^{-kTs}F∗(s)=k=−∞∑∞​f(kT)e−kTs

2. 未采样复域描述 -> 采样后复域描述
   F∗(s)=1T∑n=−∞∞F(s+jnωs)\\displaystyle F^*(s)=\\frac{1}{T} \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}F(s+jn\\omega_s)F∗(s)=T1​n=−∞∑∞​F(s+jnωs​)

可以看出：

• F∗(s)F^*(s)F∗(s)是周期函数，周期为jωsj\\omega_sjωs​
• 若$F(s)$在s=s1s=s_1s=s1​处有一极点，那么F∗(s)F^*(s)F∗(s)必然在s=s1+jmωss=s_1+jm\\omega_ss=s1​+jmωs​处具有极点，$m=\pm 1,\pm 2,\cdots$
• 一采样前信号与一采样后信号相乘再采样，相当于两信号分别采样再相乘Y∗(s)=[E∗(s)G(s)]∗=E∗(s)[G(s)]∗=E∗(s)G∗(s)Y^*(s)=[E^*(s)G(s)]^*=E^*(s)[G(s)]^*=E^*(s)G^*(s)Y∗(s)=[E∗(s)G(s)]∗=E∗(s)[G(s)]∗=E∗(s)G∗(s)

频域描述：
即是求Fourier变换：
δT(t)=∑k=0∞δ(t−kT)\\displaystyle \\delta_T(t)=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\delta(t-kT)δT​(t)=k=0∑∞​δ(t−kT)，展开成Fourier级数：δT(t)=1T∑n=−∞∞ejnωst\\displaystyle \\delta_T(t)=\\frac{1}{T}\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}e^{jn\\omega_st}δT​(t)=T1​n=−∞∑∞​ejnωs​t，
f∗(t)=f(t)δT(t)=1T∑n=−∞∞f(t)ejnωst\\displaystyle f^*(t)=f(t)\\delta_T(t)=\\frac{1}{T}\\sum_{n=-\\infty}^\\infty f(t)e^{jn\\omega_st}f∗(t)=f(t)δT​(t)=T1​n=−∞∑∞​f(t)ejnωs​t，根据频移定理：

F∗(jω)=1T∑n=−∞∞F(jω+jnωs)\\displaystyle F^*(j \\omega)=\\frac{1}{T} \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}F(j \\omega+jn\\omega_s)F∗(jω)=T1​n=−∞∑∞​F(jω+jnωs​)

$n=0$时，F∗(jω)=1TF(jω)\\displaystyle F^*(j \\omega)=\\frac{1}{T} F(j \\omega)F∗(jω)=T1​F(jω)，称为主频谱
$n\ne 0$时，相当于主频谱每隔ωs\\omega_sωs​被复制一遍。称为高频频谱

假设连续信号的频谱带宽有限（最高频率为ωm\\omega_mωm​），则采样前后信号频谱如图：

1. 下图中复制后频谱没有重叠，因为ωs−ωm>ωm\\omega_s-\\omega_m>\\omega_mωs​−ωm​>ωm​，即ωs>2ωm\\omega_s>2\\omega_mωs​>2ωm​。称为不发生混叠。
   
2. 下图中，ωs<2ωm\\omega_s<2\\omega_mωs​<2ωm​，发生混叠。
   

观察上面两张图，采样后信号频谱关于nωs2\\frac{n\\omega_s}{2}2nωs​​左右对称。称ωs2\\frac{\\omega_s}{2}2ωs​​这个频率为折叠频率（Nyquist频率）

Shannon采样定理

若ωm\\omega_mωm​是模拟信号$f(t)$的上限频率，ωs\\omega_sωs​为采样频率，则当ωs≥2ωm\\omega_s \\ge2\\omega_mωs​≥2ωm​时，经过采样得到的信号可以无失真地复现原信号。

这里的失真，是由于发生了混叠，高频频谱的低频部分，被叠加到主频谱的高频部分。

在实际工程中，为了防止发生混叠，常采用前置滤波器（也称抗混叠滤波器）。即在采样开关前串连一个低通滤波器，滤除高于ωs2\\frac{\\omega_s}{2}2ωs​​的频谱分量，避免发生混叠。同时，这个滤波器也有助于滤除高频干扰。

选取采样频率时，受到计算机性能的限制，不能选得太高。对于伺服系统，一般取ωs≥6∼10ωc\\omega_s \\ge 6\\sim 10 \\omega_cωs​≥6∼10ωc​

信号的恢复与重构

信号重构：采样的逆过程。

Shannon重构法

无失真地复现原信号，就是采用了以下的方法：使用理想低通滤波器：
G(jω)={1,∣ω∣≤ωs20,∣ω∣>ωs2G(j\\omega)=\\left\\{ \\begin{aligned} 1,|\\omega|\\le\\frac{\\omega_s}{2}\\\\ 0,|\\omega|>\\frac{\\omega_s}{2} \\end{aligned} \\right.G(jω)=⎩⎨⎧​1,∣ω∣≤2ωs​​0,∣ω∣>2ωs​​​

但理想低通滤波器是不存在的，因此这种方法也只是一个理想的重构过程，不能用于实际系统。

信号保持重构法

Signal Hold，使用保持器实现。
基本思想是，由过去时刻的采样值$f(kT),k\le t/T$，推出当前时刻$f(t)$的值

假设在一次采样之后，下一次采样还没到来之间的这一段时间($0<\Delta t<T$)，取:
f(t)=f(kT+Δt)=a0+a1Δt+a2Δt2+⋯+anΔtnf(t)=f(kT+\\Delta t)=a_0+a_1\\Delta_t+a_2\\Delta_t^2+\\cdots + a_n\\Delta_t^nf(t)=f(kT+Δt)=a0​+a1​Δt​+a2​Δt2​+⋯+an​Δtn​
选择阶数n，根据过去的采样值可以计算出各参数，进而计算出两次采样之间的$f(t)$值。

零阶保持器：
Zero Order Holder （ZOH）
$f(t)=f(kT+\Delta t)=f(kT)$
直观理解就是保持上一次的采样值，直到下一次采样。

输入单位脉冲函数，输出宽度为T的矩形脉冲，则可以写出ZOH的传递函数：

根据传递函数，可以分析ZOH的幅频、相频特性：

1. 有无穷多个截止频率：ωc=nωs\\omega_c=n\\omega_sωc​=nωs​
2. 允许高频分量通过，但幅值随$\omega$增加而衰减
3. 相位滞后。滞后程度与信号频率$\omega$及采样周期$T$成正比

零阶保持器容易实现，是应用最广泛的一种信号重构法。

一阶保持器：
f(t)=f(kT+Δt)=a0+a1Δtf(t)=f(kT+\\Delta t)=a_0+a_1 \\Delta tf(t)=f(kT+Δt)=a0​+a1​Δt
了解即可。

这里需要注意的是，斜率必须根据kT之前的采样值计算，而不能直接连接kT和(k+1)T的采样值。