自由度

在 SLAM 算法里，我们会经常看到自由度这个概念，例如单应矩阵的自由度是8，基础矩阵的自由度是7，但是用旋转矩阵表达的旋转的自由度却是3。我一开始也很迷茫，什么是自由度啊？后面就慢慢理解了一点。

自由度，可以理解为独立信息的维度。下面是一个例子：

小明考了三门课程，语文、数学和英语，三门课程($n=3$)的平均分是60分(xˉ=60\\bar{x} = 60xˉ=60)。我们需要求三门课程的分数分别是多少。

在这个问题下，自由度 F 是多少？

是 3 吗？不是，是 2。为什么？

由于存在条件 xˉ\\bar{x}xˉ 的限制，在我们猜三门分数的时候，只能猜两门课程的分数。为什么？

因为有条件 xˉ=60\\bar{x} = 60xˉ=60 的约束，我们固定两门分数时，第三门一定是也固定下来的。因此自由度 $F=2$ 。

一般的情况下，自由度等于变量个数减1，$F=n-1$。

例如计算方差的公式：

S2=∑(xi−xˉ)2n−1S^2 = \\frac{\\sum(x_i - \\bar{x})^2}{n-1}S2=n−1∑(xi​−xˉ)2​

右式的分母是自由度，$F=n-1$

为什么是 $n-1$ 而不是 $n$?

因为分子存在平均值 xˉ\\bar{x}xˉ，已经用掉了一个自由度。因此，剩下的有用信息是n-1维，而不是n维。

单应矩阵

单应矩阵的推导以后写吧，这里直接给出矩阵形式的求解公式：

[000−u1−v1−1u1v2v1v2v2u1v11000−u1u2−v1u2−u2][h1h2h3h4h5h6h7h8h9]=0\\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & -u_1 & -v_1 & -1 & u_1v_2 & v_1v_2 & v_2 \\\\ u_1 & v_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -u_1u_2 & -v_1u_2 & -u_2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}h_1 \\\\ h_2 \\\\ h_3 \\\\ h_4 \\\\ h_5 \\\\ h_6 \\\\ h_7 \\\\ h_8 \\\\h_9 \\end{bmatrix} = 0 [0u1​​0v1​​01​−u1​0​−v1​0​−10​u1​v2​−u1​u2​​v1​v2​−v1​u2​​v2​−u2​​]​h1​h2​h3​h4​h5​h6​h7​h8​h9​​​=0

单应矩阵 H3x3H_{3x3}H3x3​ 一共有 9 个元素，那么它的自由度是多少呢？

公式左右两边同时乘以一个不为 0 的数，公式都恒成立。这叫尺度等价性，这里固定了一个自由度，因此单应矩阵的自由度 $F=9-1=8$

自由度是 8，因此需要提供 8 个值进行解算，然后一对匹配点可以通过 2 个值，因此只需要 4 对匹配点就可以解算单应矩阵。见单应矩阵应用，就是用了 4 对点进行计算。

基础矩阵

基础矩阵的矩阵形式求解公式如下：

[u1u2v1u2u2u1v2v1v2v2u1v11][f1f2f3f4f5f6f7f8f9]=0\\begin{bmatrix} u_1u_2 & v_1u_2 & u_2 & u_1v_2 & v_1v_2 & v_2 & u_1 & v_1 & 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} f_1 \\\\ f_2 \\\\ f_3 \\\\ f_4 \\\\ f_5 \\\\ f_6 \\\\ f_7 \\\\ f_8 \\\\f_9 \\end{bmatrix} = 0 [u1​u2​​v1​u2​​u2​​u1​v2​​v1​v2​​v2​​u1​​v1​​1​]​f1​f2​f3​f4​f5​f6​f7​f8​f9​​​=0

基础矩阵 F3x3F_{3x3}F3x3​ 一共有 9 个元素，但是它有两个约束：

1. 尺度等价性
2. 基础矩阵的秩为2

因此，基础矩阵的自由度为 $9-2=7$。

因此，最少7对匹配点就可以算出基础矩阵，但是在ORB_SLAM里用了 8 对点。计算方法可见：基础矩阵计算

其他碎碎念

旋转矩阵表示的旋转，自由度是 3 ，但是旋转矩阵有 9 个元素，因此旋转矩阵是冗余的。

但是如果只用 3 个元素表达旋转，例如旋转向量和欧拉角，存在奇异性，有些时候会丢失一个自由度。

因此表达 3 个自由度的旋转，最少需要 4 个元素，SLAM里用的就是大名鼎鼎的 四元数

本质矩阵E3x3E_{3x3}E3x3​也有9个元素，但是它的自由度为5。为什么？

$E=t\times R$，其中平移有3个自由度，而旋转也有3个自由度，因此6个值便可以固定一个本质矩阵。

但是由于P~c1TEP~c2=0\\tilde{P}_{c1}^T E \\tilde{P}_{c2} = 0P~c1T​EP~c2​=0对极几何的约束，基础矩阵也存在尺度等价性，因此自由度等于3 + 3 - 1 = 5。

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b站视频：自由度的解释