考研数二第十五讲 定积分和不定积分以及定积分中值定理

不定积分

设f(x)定义在某区间I上，若存在可导函数F(x)，使得F’(x)=f(x)对任意x属于I都成立，那么则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。我们把这个全体原函数，也称为不定积分。
因此，不定积分的定义是找原函数的，即得到。

定积分

如果大家翻下课本的话，会记得定积分的定义是根据求曲边梯形的面积得出来的。
因此，定积分的定义是用来求面积的，即得到一个数。

极值定理

我们假设m和M分别是区间[a, b]上函数f(x)的最小值和最大值，那么根据极值定理，可以得到以下式子成立：

积分中值定理

中值定理是微积分领域当中最重要的定理，几乎没有之一，也是整个微积分搭建起来的脉络。我们熟悉中值定理的推导过程，对于我们对加深对于微积分的理解非常有帮助。

我们对上面的式子做一个简单的变形，由于b-a是常数并且大于0，所以我们在这个不等式两边同时除以b-a，可以得到：

我们把 1b−a\\frac{1}{b-a}b−a1​ ∫abf(x)\\int_{a}^{b}f(x)∫ab​f(x) 这个式子看成一个整体，它的值位于函数在区间的最大值和最小值之间。根据连续函数的介值定理，我们一定可以在[a, b]上找到一点 $\xi$，使得f(x)在$\xi$这点的取值与这个数值相等，也就是说： 1b−a∫abf(x)dx=f(ξ)\\frac{1}{b-a}\\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\\xi)b−a1​∫ab​f(x)dx=f(ξ) ,(a $\le$ $\xi$ $\le$ b)

上面这个式子就是积分中值定理了，这里有两点要注意，我们先来说简单的一点，就是我们用到了连续函数介值定理。所以限定了这必须是一个连续函数，否则的话，可能刚好函数在点处没有定义。这个也是定理成立的先决条件。

第二点是简单介绍一下连续函数的介值定理，它的含义是说对于一个在区间[a, b]上连续的函数，对于任一在其最大值和最小值之间的常数，我们必然可以在区间[a, b]上找到一点，使得该点的函数值等于这个常数。

搞明白这些细节之后，我们再来看刚才的式子：

我们再把常数乘回来：

右边的积分算的是什么，算的是函数围成的曲形的面积，但是现在我们转化成了一个函数值乘上了宽，所以我们可以把它看成是矩形的高，我们来看下下面这张图。

也就是说以$f(\xi )$为高的矩形面积和函数围成的曲形面积相等，所以它既是矩形的高，也真的是函数在[a, b]上的平均值。