树的导览

树由节点（nodes）和边（edges）构成，如下图所示。整棵树有一个最上端节点，称为根节点（root）。每个节点可以拥有具有方向的边（directed edges），用来和其他节点相连。相连的节点之中，在上者称为父节点（parent），在下者称为子节点（child）。

一些基本概念：

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数，如果最多只允许两个子节点，即为二叉树
• 叶节点：无子节点，即度为 0 的节点称为叶节点
• 兄弟节点：不同的节点拥有相同的父节点
• 路径长度：根节点到任何节点之间有唯一路径，路径所经过的边数
• 节点的深度：根节点到任一节点的路径长度，根节点的深度永远为 0
• 节点的高度：某节点到其叶节点的路径长度

二叉搜索树的概念

二叉搜索树可以提供对数时间的元素插入和访问，是一种特殊的二叉树，具有以下规则：

• 任何节点的键值一定大于其左子树中的每一个节点的键值
• 任何节点的键值一定小于其右子树中的每一个节点的键值

因此二叉搜索树的最左节点是最小元素，最右节点是最大元素。

二叉搜索树的实现

节点的定义

该节点设计很简单：

• 包含三个成员变量：节点值、左孩子指针、右孩子指针
• 构造函数：将成员变量初始化

/// @brief 二叉树的节点
/// @tparam K 节点值的类型
template<class K>
struct BSTreeNode {BSTreeNode(const K& key = K()) : _key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}K _key;					// 节点值BSTreeNode<K>* _left;	// 左指针BSTreeNode<K>* _right;	// 右指针
};

接口总览

文章完整代码：BinarySearchTree · 秦国维/data-structure

template<class K>
class BSTree {typedef BSTreeNode<K> Node;
public:Node* Find(const K& key);Node* _FindR(Node* _root, const K& key);Node* FindR(const K& key);bool Insert(const K& key);bool _InsertR(Node*& _root, const K& key);bool InsertR(const K& key);bool Erase(const K& key);bool _EraseR(Node*& root, const K& key);bool EraseR(const K& key);
private:Node* _root = nullptr;
};

查找

根据二叉搜索树的特性，可以在二叉搜索树快速的找到指定值：

• 若 key 值大于当前节点的值，在当前节点的右子树中查找
• 若 key 值小于当前节点的值，在当前节点的左子树中查找
• 若 key 值等于当前节点的值，返回当前节点的地址
• 若找到空，查找失败，返回空指针

非递归

/// @brief 查找指定 key 值
/// @param key 要查找的 key
/// @return 找到返回节点的指针，没找到返回空指针
Node* Find(const K& key) {Node* cur = _root;while (cur != nullptr) {// key 值与当前节点值比较if (key > cur->_key) {cur = cur->_right;} else if (key < cur->_key) {cur = cur->_left;} else {return cur;}}return nullptr;
}

递归

Node* _FindR(Node* root, const K& key) {if (root == nullptr) {return nullptr;}// key 值与当前节点值比较if (key > root->_key) {// key 值大于当前节点的值，递归到右子树查找return _FindR(root->_right, key);} else if (key < root->_key) {// key 值小于当前节点的值，递归到左子树查找return _FindR(root->_left, key);} else {return root;}
}Node* FindR(const K& key) {return _FindR(_root, key);
}

插入

根据二叉搜索树的性质，插入操作也很简单：

• 如果是空树，将插入的节点作为根节点
• 如果不是空树，利用性质找到该插入的位置，将节点插入

插入新元素时，从根节点开始，遇到键值较大的就向左，遇到键值较小的就向右，一直到尾端，即为插入点。

非递归

使用非递归插入函数时，需要定义一个 parent 指针，该指针用来指示插入节点的父节点，以便将新节点插入。

/// @brief 在二叉搜索树中插入指定节点
/// @param key 节点的 key 值
/// @return 成功返回 true，失败返回 false
bool Insert(const K& key) {if (_root == nullptr) {// 第一个插入的节点，构建为根_root = new Node(key);return true;}// 先找到要插入的位置Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur != nullptr) {if (key > cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_right;} else if (key < cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_left;} else {// 已经有该值了，插入失败return false;}}// 创建要插入的节点cur = new Node(key);// 看插入节点在父节点哪边if (key > parent->_key) {parent->_right = cur;} else {parent->_left = cur;}return true;
}

递归

递归版本的插入相对于非递归版本更简单，要注意的是 Node* 参数一定要传引用，这样才能改变父亲指针的指向。

bool _InsertR(Node*& _root, const K& key) {if (_root == nullptr) {// 因为传递的是引用，所以可以直接改变指向_root = new Node(key);return true;}// 判断 key 与当前节点值大小关系if (key > _root->_key) {// key 更大就递归到右子树插入return _InsertR(_root->_right, key);} else if (key < _root->_key) {// key 更小就递归到左子树插入return _InsertR(_root->_left, key);} else {return false;}return false;	// 为了消除编译警告
}bool InsertR(const K& key) {return _InsertR(_root, key);
}

删除

删除相对与插入就复杂的多了，需要考虑三种情况：

• 待删除节点没有子树
• 待删除节点有一个子树
• 待删除节点有两个子树

下面就来讨论这三种情况：

待删除节点没有子树

这种情况比较简单，直接将指向该节点的指针置空即可。

待删除节点有一个子树

如果节点 Q 只有一个子节点，就直接将 Q 的子节点连至 Q 的父节点，并将 Q 删除。

待删除节点有两个子树

这时就比较复杂了，需要使用替换法。如果 Q 有两个节点，就以右子树的最小节点取代 Q（左子树的最大节点也可以）。

右子树最小节点获取方法：从右子节点开始，一直向左找到底。

为什么右子树最小节点可以替换当前节点？

因为右子树最小节点一定大于当前节点左子树中的所有节点，又一定小于右子树中的其他节点，故不会破坏二叉搜索树的规则。

非递归

该实现版本同样需要定义一个 parent 指针，以便将其孩子托付给父亲。

/// @brief 在二叉搜索树中删除指针节点
/// @param key 删除节点的 key
/// @return 删除成功返回 true，失败返回 false
bool Erase(const K& key) {Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;// 先找要删除节点的位置while (cur != nullptr) {if (key > cur->_key) {// 大于就到右子树中找parent = cur;cur = cur->_right;} else if (key < cur->_key) {// 小于就到左子树中找parent = cur;cur = cur->_left;} else {// 找到要删除的节点了if (cur->_left == nullptr) {// cur 左孩子为空，即只有一个右孩子或没有孩子if (parent == nullptr) {// 如果要删除的是根节点，更换新根_root = _root->_right;} else {if (parent->_left == cur) {parent->_left = cur->_right;} else {parent->_right = cur->_right;}}// 释放掉 cur 指向的空间delete cur;cur = nullptr;} else if (cur->_right == nullptr) {// 此时说明只有左孩子if (parent == nullptr) {// 如果要删除的是根节点，更换新根_root = _root->_left;} else {if (parent->_left == cur) {parent->_left = cur->_left;} else {parent->_right = cur->_left;}}// 释放掉 cur 指向的空间delete cur;cur = nullptr;} else {// 此时有左右孩子，需要使用替换法删除Node* minParent = cur;Node* min = cur->_right;// 先找到右子树的最左节点while (min->_left != nullptr) {minParent = min;min = min->_left;}// 将最小节点的值替换到 cur 上cur->_key = min->_key;if (minParent->_left == min) {// 最小节点位于父节点的左边，将它的右子树托付给父节点minParent->_left = min->_right;} else {// 最小节点位于父节点的右边，这时就是 cur 的右子树没有左子树// minNode->_left 一定为空，写成这样比较对称minParent->_right = min->_left;}delete min;min = nullptr;} // end of if (cur->_left == nullptr)return true;} // end of if (key > cur->_key)} // end of while (cur != nullptr)// 没找到要删除的节点，返回 falsereturn false;
}

递归

递归版本的删除相对于非递归版本更简单，要注意的是 Node* 参数一定要传引用，这样才能改变父亲指针的指向，将节点删除。

bool _EraseR(Node*& root, const K& key) {if (root == nullptr) {// 没找到要删除的节点返回 falsereturn false;}if (key > root->_key) {// key 更大就到右子树中删除_EraseR(root->_right, key);} else if (key < root->_key) {// key 更小就到左子树中删除_EraseR(root->_left, key);} else {Node* del = root;if (root->_left == nullptr) {// 此时左为空或左右为空，只需要将右子树给父节点即可// 左右为空时，右子树为空，不会违反规则root = root->_right;} else if (root->_right == nullptr) {// 此时右为空，只需要将左子树给父节点root = root->_left;} else {// 有两个孩子，需要替换法删除Node* min = root->_right;while (min->_left != nullptr) {min = min->_left;}// 把最小的节点的值换上root->_key = min->_key;// 递归到右子树，将 minnode 删掉// 一定要 return，否则会重复释放return _EraseR(root->_right, min->_key);}delete del;del = nullptr;return true;}return false;	// 为了消除编译警告
}bool EraseR(const K& key) {return _EraseR(_root, key);
}

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