为什么倒谱可以分析回声

一个有趣的现象：倒谱上的第一个峰，恰好对应回声相比原声的延时。

回声 $y$ 是原始声音 $x$ 延迟 t0t_0t0​ 秒后的、带有衰减 $\alpha$ 的副本

y=αx(t−t0)y = αx (t - t_0) y=αx(t−t0​)

方便起见，这里取 $\alpha =1$

原始声音 $x$ 可以理解成一堆不同频率的正弦波的和：
x=a1sin(f1)+a2sin(f2)+...x = a_1sin (f_1) + a_2sin (f_2) + ...x=a1​sin(f1​)+a2​sin(f2​)+...回声 $y$ 等价于把上面各个正弦波向后推移 t0t_0t0​，表示成附加一个相位 $\phi$：
y=a1sin(f1+φ1)+a2sin(f2+φ2)+...y = a_1sin (f_1+φ_1) + a_2sin (f_2+φ_2) + ...y=a1​sin(f1​+φ1​)+a2​sin(f2​+φ2​)+...
最终麦克风接收到的信号记为 $z=x+y$

考察 $z$ 的任何一个频率成分

fn:ansin(fn)+ansin(fn+φn)f_n: a_nsin (f_n) + a_nsin (f_n+φ_n)fn​:an​sin(fn​)+an​sin(fn​+φn​)

可以看到，向后推移 t0t_0t0​ 对任何频率成分的幅度影响是不同的。

这个影响将以周期为 1/t01/t_01/t0​ 的正弦扰动的形式，在幅度谱上被观察到。

举例而言，取 t0=0.01t_0 = 0.01t0​=0.01 $s$

则 $z$ 中 $100Hz$ 频率成分的幅度刚好翻倍，$50Hz$ 刚好抵消，

因为：

原来的 $100Hz$ 正弦波加上延时 $10$ $ms$ 后的 $100Hz$，刚好峰-峰对齐

原来的 $50Hz$ 正弦波加上延时 $10$ $ms$ 后的 $50Hz$，刚好峰-谷对齐

以此推类，相比 $x$ 的幅度谱，$z$ 的幅度谱上

$200Hz/300Hz/400Hz...$ 都会翻倍

$50Hz/150Hz/250Hz...$ 都会相消

相当于回声给 $x$ 的幅度谱上附加一个周期为 $100Hz$ 的正弦扰动成分

由上面的讨论可知，迟滞 t0t_0t0​ 的回声的存在

会使得 $z$ 的幅度谱上多出了一个周期为 1/t01/t_01/t0​ 、频率为 t0t_0t0​ 的正弦扰动。

那么如何表示这个幅度谱上频率为 t0t_0t0​ 的正弦波？

可以把幅度谱当作一个信号，对其进行傅里叶变换，观察能量最高的成分。

这样得到的便是倒谱，谱上频率为 t0t_0t0​ 的高峰，将恰好代表幅度谱上的扰动。