Dijkstra算法

适用于单源最短路且边权都为正数

例：输入有向图/无向图，输出n号点到1号点的最短距离

①朴素版（适用于稠密图）

• 初始化距离

  dist[1] = 0;  //1为起点
  dist[i] = 正无穷;
  

• Si记为当前已确定最短距离的点

  for i : 0 ~ nt <- 不在S中的距离最短的点S <- t用t更新其它点到源点的距离
  

具体实现

输出1号点到n号点的最短距离

用二维数组存有向图

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;
const int N = 510;int n,m;
int g[N][N],dist[N];
bool st[N];int dijkstra()
{//初始化memset(dist,0x3f3f3f3f,sizeof dist);dist[1] = 0;for(int i = 0; i < n; i++)    //共n个点，需要将n个点距离起点的距离都更新为最短距离，都需要加入Si{int t = -1;//找出不在S中但距离最短的for(int j = 1; j <= n; j++){if(!st[j] && ( t == -1 || dist[t] > dist[j])){t = j;}}st[t] = true;   //加入S//用该点t更新其他点的距离for(int j = 1; j <= n; j++){dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j])}}if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}int main()
{memset(g,0x3f,sizeof g);cin >> n >> m;for(int i = 0; i < m; i++){int x,y,z;cin >> x >> y >> z;g[x][y] = z;}int t = dijkstra();cout << t << endl;return 0;
}

时间复杂度 O(n^2)

当点数为100000时，用该算法超时

②堆优化版

用小根堆来查找不在S中的距离最短的点

复杂度O(mlogn)
（小根堆的最大为m，修改堆中数O(logn) ）

具体实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>using namespace std;typedef pair<int, int> PII;const int N = 1e6 + 10;int e[N],ne[N],h[N],w[N],idx;
int n,m;
int dist[N];
bool st[N];//邻接表存图
void add(int a,int b,int c)
{e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}int dijkstra()
{//初始化memset(dist,0x3f3f3f3f,sizeof dist);dist[1] = 0;priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > heap;heap.push({0,1});    //将起点加入堆，pii第一个数代表距离起点的距离，第二个代表序号，这样可以使小根堆按照距离排序//影响size的在于push操作，每次push都是加入距离最短的点，是比在遍历边发生时，最多等于while(heap.size()){auto t = heap.top();heap.pop();int distance = t.first, ver = t.second;//对于同一个点的多个距离，只有最短距离是有用的，距离最短的弹出后其余的距离无用，属于冗余，直接跳过即可。if(st[ver]) continue;  st[ver] = true;for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){//w[i]中i代表idx，w[i]表示j到ver的权重int j = e[i];//distance == dist[ver]if(dist[j] > distance + w[i]){dist[j] = distance + w[i];heap.push({dist[j], j});}}}if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}int main()
{memset(h,-1,sizeof h);cin >> n >> m;while(m--){int x,y,z;cin >> x >> y >> z;add(x,y,z);}cout << dijkstra();return 0;
}