克莱默（Cramer）法则

\\quad 本节主要介绍一个重要的定理——Cramer 法则。

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn(1)\\begin{cases} \\begin{aligned} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \\cdots + a_{1n}x_{n} &= b_{1}\\\\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \\cdots + a_{2n}x_{n} &= b_{2}\\\\ \\cdots \\cdots \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad &\\quad\\\\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \\cdots + a_{nn}x_{n} &= b_{n} \\end{aligned} \\tag{1} \\end{cases} ⎩⎨⎧​a11​x1​+a12​x2​+⋯+a1n​xn​a21​x1​+a22​x2​+⋯+a2n​xn​⋯⋯an1​x1​+an2​x2​+⋯+ann​xn​​=b1​=b2​=bn​​​(1)

定理 1：设 $(1)$ 数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的 $n$ 元线性方程组，则：

• $(1)$ 无解或有无穷多解 当且仅当 其系数矩阵的行列式为零。
• $(1)$ 有唯一解 当且仅当 其系数矩阵的行列式不为零。

证明：

\\quad 增广矩阵 A~→初等行变换\\tilde A \\xrightarrow{\\text{初等行变换}}A~初等行变换​ 阶梯形矩阵 J~\\tilde{ J}J~.

\\quad 系数矩阵 A→上述初等行变换A \\xrightarrow{\\text{上述初等行变换}}A上述初等行变换​ 阶梯形矩阵 $J$，$J$ 比 J~\\tilde{J}J~ 少一列。

\\quad 由 线性方程组解的情况及其判别准则 可知，$(1)$ 的解有且只有三种情况：无解，有无穷多解，有唯一解。并且：

• 若 J~\\tilde{J}J~ 有非零行 $(0,0,\cdots ,0,d)$ 且 $d\ne 0$ 时，方程组无解；
• 否则，方程组有解。
  • 当方程组有解时，若满足 J~\\tilde{J}J~ 的非零行数目 $r<n$，则方程组有无穷多解；
  • 当方程组有解时，若满足 J~\\tilde{J}J~ 的非零行数目 $r=n$，方程组有唯一解。

而

方程组(1)无解⇔J~有非零行(0,0,⋯,0,d)，其中 d≠0⇔J有零行⇒∣J∣=0\\begin{aligned} \\text{方程组} (1) \\text{无解} &\\Leftrightarrow \\tilde{J} \\text{有非零行} (0,0,\\cdots,0,d) \\text{，其中} ~ d\\ne 0\\\\ &\\Leftrightarrow J \\text{有零行}\\\\ &\\Rightarrow |J|=0 \\end{aligned} 方程组(1)无解​⇔J~有非零行(0,0,⋯,0,d)，其中 d=0⇔J有零行⇒∣J∣=0​

方程组(1)有无穷多解⇔J~的非零行数目 r<n⇔J~有零行⇒J有零行⇒∣J∣=0\\begin{aligned} \\text{方程组} (1) \\text{有无穷多解} &\\Leftrightarrow \\tilde{J} ~ \\text{的非零行数目}~ r<n\\\\ &\\Leftrightarrow \\tilde{J} ~ 有零行\\\\ &\\Rightarrow J \\text{有零行}\\\\ &\\Rightarrow |J| = 0 \\end{aligned} 方程组(1)有无穷多解​⇔J~ 的非零行数目 r<n⇔J~ 有零行⇒J有零行⇒∣J∣=0​

方程组(1)有唯一解⇔J~的非零行数目r=n⇔J~有n个非零行⇔J有n个非零行⇔J有n个主元⇔J的形状只能是：(c11c12⋯c1n0c21⋯c2n⋮⋮⋮00⋯cnn)且c11,c22,⋯,cnn≠0.⇔∣J∣为上三角行列式，且∣J∣≠0.\\begin{aligned} \\text{方程组}(1) \\text{有唯一解} &\\Leftrightarrow \\tilde{J} \\text{的非零行数目} r=n \\\\ &\\Leftrightarrow \\tilde{J} \\text{有} n \\text{个非零行}\\\\ &\\Leftrightarrow J \\text{有} n \\text{个非零行}\\\\ &\\Leftrightarrow J \\text{有} n \\text{个主元}\\\\ &\\Leftrightarrow J \\text{的形状只能是：} \\left(\\begin{matrix}c_{11} & c_{12} &\\cdots &c_{1n}\\\\0 &c_{21} &\\cdots &c_{2n}\\\\ \\vdots &\\vdots & &\\vdots \\\\ 0 &0 &\\cdots &c_{nn}\\end{matrix}\\right) \\\\ &\\quad ~ \\text{且} c_{11},c_{22},\\cdots ,c_{nn} \\ne 0.\\\\ &\\Leftrightarrow |J| \\text{为上三角行列式，且} |J|\\ne 0. \\end{aligned} 方程组(1)有唯一解​⇔J~的非零行数目r=n⇔J~有n个非零行⇔J有n个非零行⇔J有n个主元⇔J的形状只能是：​c11​0⋮0​c12​c21​⋮0​⋯⋯⋯​c1n​c2n​⋮cnn​​​ 且c11​,c22​,⋯,cnn​=0.⇔∣J∣为上三角行列式，且∣J∣=0.​

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注：个人觉得，在 定理 1 的证明中，前部分证明似乎是多余的！前者完全可以作为后者的推论得出！

推论 1：数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的 $n$ 元齐次线性方程组只有零解 当且仅当 其系数矩阵的行列式不为零。

推论 2：数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的 $n$ 元齐次线性方程组有非零解 当且仅当 其系数矩阵的行列式等于零。

定理 2：数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的 $n$ 元齐次线性方程组的系数矩阵行列式不为零时，其唯一解为

(∣B1∣∣A∣,∣B2∣∣A∣,⋯,∣Bn∣A∣)\\left(\\frac{|B_{1}|}{|A|},\\frac{|B_{2}|}{|A|},\\cdots,\\frac{|B_{n}}{|A|}\\right) (∣A∣∣B1​∣​,∣A∣∣B2​∣​,⋯,∣A∣∣Bn​​)

其中，

Bj=(a11⋯a1,j−1b1a1,j+1⋯a1na21⋯a2,j−1b2a2,j+1⋯a2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮an1⋯an,j−1bnan,j+1⋯ann)B_{j} =\\left( \\begin{matrix} a_{11} & \\cdots & a_{1,j-1} & b_{1} & a_{1,j+1} & \\cdots &a_{1n}\\\\ a_{21} & \\cdots & a_{2,j-1} & b_{2} & a_{2,j+1} & \\cdots &a_{2n}\\\\ \\vdots &\\vdots &\\vdots &\\vdots &\\vdots &\\vdots &\\vdots\\\\ a_{n1} &\\cdots & a_{n,j-1} & b_{n} & a_{n,j+1} & \\cdots &a_{nn} \\end{matrix}\\right) Bj​=​a11​a21​⋮an1​​⋯⋯⋮⋯​a1,j−1​a2,j−1​⋮an,j−1​​b1​b2​⋮bn​​a1,j+1​a2,j+1​⋮an,j+1​​⋯⋯⋮⋯​a1n​a2n​⋮ann​​​

证明：

\\quad 此处暂不给出证明，到学习第4章时，会给出更简单的证明！当然教材的相应部分也提供了一种常用的证明方法，可作参考。

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注意：定理 1 与 定理 2 合称 克莱默法则。

\\quad 最后，我们做一个总结：目前，我们利用 $n$ 阶行列式，已经解决了这样一个问题：

\\quad 对于数域 $K$ 上的由 $n$ 个方程构成的 $n$ 元线性方程组，能够直接从方程组的系数和常数项出现，判断其有没有解？若有解，有多少解？

\\quad 事实上，行列式的应用不止于此，它在诸多领域中均有作用。比如，在分析、几何领域中也有它的身影。

\\quad 下面，介绍行列式在几何中的两个应用示例，借以了解行列式的几何意义。

例题 1：二阶行列式 ∣a1b1a2b2∣\\left|\\begin{matrix}a_{1} &b_{1}\\\\a_{2}&b_{2}\\end{matrix}\\right|​a1​a2​​b1​b2​​​ 可以表示由平面向量 a⃗=(a1,a2)T\\vec{a}=(a_{1},a_{2})^{T}a=(a1​,a2​)T,b⃗=(b1,b2)T\\vec{b} = (b_{1},b_{2})^{T}b=(b1​,b2​)T 张成的平行四边形的 定向面积。

注：什么是“定向面积”？

• 在解析几何中，任一向量都可以看作是从原点 $O$ 出发的一条有向线段。
• 假设向量 a⃗\\vec{a}a 与向量 b⃗\\vec{b}b 不共线，考虑 a⃗→b⃗\\vec{a}\\rightarrow \\vec{b}a→b 的旋转（小于 90o90^{o}90o），
  • 若旋转为逆时针，则面积为正；
  • 若旋转为顺时针，则面积为负。

例题 2：三阶行列式 ∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣\\left|\\begin{matrix}a_{1} &b_{1} &c_{1}\\\\ a_{2} &b_{2} &c_{2}\\\\a_{3} &b_{3} &c_{3}\\end{matrix}\\right|​a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​c1​c2​c3​​​ 可以表示由空间向量 a⃗=(a1,a2,a3)T\\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})^{T}a=(a1​,a2​,a3​)T，b⃗=(b1,b2,b3)T\\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T}b=(b1​,b2​,b3​)T 以及 c⃗=(c1,c2,c3)T\\vec{c} = (c_{1},c_{2},c_{3})^{T}c=(c1​,c2​,c3​)T 所张成的平行六面体的 定向体积。

参考：

• 邱维声. 高等代数课程.