行列式按一行（列）展开

例题 1：一般地，设 $|A|$ 是一个三阶行列式，则有

∣A∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32=a11(a22a23−a23a32)−a21(a12a33−a13a32)+a31(a12a23−a13a22)=a11∣a22a23a32a33∣−a21∣a12a13a32a33∣+a31∣a12a13a22a23∣\\begin{aligned} |A| &= \\left|\\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\\\ a_{21} &a_{22} &a_{23}\\\\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \\end{matrix}\\right|\\\\ &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}\\\\ &- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}\\\\ &=a_{11}(a_{22}a_{23}-a_{23}a_{32}) - a_{21}(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}) + a_{31}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}) \\\\ &= a_{11} \\left|\\begin{matrix} a_{22} & a_{23}\\\\ a_{32} &a_{33} \\end{matrix}\\right| - a_{21} \\left|\\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\\\ a_{32} & a_{33} \\end{matrix}\\right| + a_{31} \\left|\\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\\\ a_{22} & a_{23} \\end{matrix}\\right| \\end{aligned} ∣A∣​=​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​​=a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​−a13​a22​a31​−a12​a21​a33​−a11​a23​a32​=a11​(a22​a23​−a23​a32​)−a21​(a12​a33​−a13​a32​)+a31​(a12​a23​−a13​a22​)=a11​​a22​a32​​a23​a33​​​−a21​​a12​a32​​a13​a33​​​+a31​​a12​a22​​a13​a23​​​​

#

\\quad 通过 例题 1 可以看到，三阶行列式的计算可以归结为二阶行列式的计算。这种“降阶” 的操作无疑简化了行列式的计算！

\\quad 另外，如果我们引入两个概念 余子式 与 代数余子式：

• ∣a22a23a32a33∣\\left|\\begin{matrix} a_{22} & a_{23}\\\\ a_{32} &a_{33} \\end{matrix}\\right|​a22​a32​​a23​a33​​​ 称为 a11a_{11}a11​ 的 余子式，记作 M11M_{11}M11​；

• (−1)1+1⋅M11(-1)^{1+1}\\cdot M_{11}(−1)1+1⋅M11​ 称为 a11a_{11}a11​ 的 代数余子式，记作 A11A_{11}A11​；

• ∣a12a13a32a33∣\\left|\\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\\\ a_{32} & a_{33} \\end{matrix}\\right|​a12​a32​​a13​a33​​​ 称为 a21a_{21}a21​ 的 余子式，记作 M21M_{21}M21​；

• (−1)2+1⋅M21(-1)^{2+1}\\cdot M_{21}(−1)2+1⋅M21​ 称为 a21a_{21}a21​ 的 代数余子式，记作 A21A_{21}A21​；

• ∣a12a13a22a23∣\\left|\\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\\\ a_{22} & a_{23} \\end{matrix}\\right|​a12​a22​​a13​a23​​​ 称为 a31a_{31}a31​ 的 代数余子式，记作 M31M_{31}M31​；

• (−1)3+1⋅M31(-1)^{3+1} \\cdot M_{31}(−1)3+1⋅M31​ 称为 a31a_{31}a31​ 的 代数余子式，记作 A31A_{31}A31​.

则显然有：

∣A∣=a11M11−a21M21+a31M31=a11⋅(−1)1+1⋅M11+a21⋅(−1)2+1⋅M21+a31⋅(−1)3+1⋅M31=a11A11+a21A21+a31A31.\\begin{aligned} |A| &= a_{11} M_{11} - a_{21} M_{21} + a_{31} M_{31}\\\\ &= a_{11} \\cdot (-1)^{1+1}\\cdot M_{11} + a_{21} \\cdot (-1)^{2+1} \\cdot M_{21} + a_{31} \\cdot (-1)^{3+1}\\cdot M_{31}\\\\ &= a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}. \\end{aligned} ∣A∣​=a11​M11​−a21​M21​+a31​M31​=a11​⋅(−1)1+1⋅M11​+a21​⋅(−1)2+1⋅M21​+a31​⋅(−1)3+1⋅M31​=a11​A11​+a21​A21​+a31​A31​.​

\\quad 可以看到，引入 余子式 以及 代数余子式 之后，进一步简化了行列式的计算公式！

\\quad 自然而然地会想：能够将这种操作推广到一般的 $n$ 阶行列式呢？

\\quad 这种由 “特殊到一般” 的思想，就是 演绎。

定义 1. 余子式与代数余子式：一般地，设 A=(aij)A = (a_{ij})A=(aij​) 是一个 $n$ 级矩阵，$|A|$ 是其行列式，若划去 $|A|$ 的第 $(i,j)$ 元所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列元素，则剩下的元素按照原顺序可以构成一个 $n-1$ 阶行列式，称为 $|A|$ 的第 $(i,j)$ 元的 余子式，记作 MijM_{ij}Mij​。

\\quad 令 Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij} = (-1)^{i+j}\\cdot M_{ij}Aij​=(−1)i+j⋅Mij​，则称 AijA_{ij}Aij​ 为 $|A|$ 的第 $(i,j)$ 元的 代数余子式。

\\quad 由前面的讨论可知，当 $n=3$ 时，

∣A∣=a11A11+a21A21+a31A31|A| = a_{11}A_{11} + a_{21} A_{21} + a_{31}A_{31} ∣A∣=a11​A11​+a21​A21​+a31​A31​

自然会猜测：对于一般的 $n$ 阶行列式，是否成立

∣A∣=∑j=1na1jA1j|A| = \\sum_{j=1}^{n}a_{1j}A_{1j} ∣A∣=j=1∑n​a1j​A1j​

更一般地，对于给定的 $i$（$i=1,2,\cdots ,n$），是否成立

∣A∣=∑j=1naijAij|A| = \\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} ∣A∣=j=1∑n​aij​Aij​

定理 1：$n$ 级矩阵 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij​) 的行列式 $|A|$ 满足

∣A∣=∑j=1naijAij=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin\\begin{aligned} |A| &= \\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \\\\ &=a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \\cdots + a_{in}A_{in} \\end{aligned} ∣A∣​=j=1∑n​aij​Aij​=ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+⋯+ain​Ain​​

其中，i∈{1,2,⋯,n}i \\in \\{1,2,\\cdots,n\\}i∈{1,2,⋯,n}.

证明：

\\quad 取定 $A$ 的第 $i$ 行，将 aija_{ij}aij​ 排在第一位，即：

∣A∣=∑jk1⋯ki−1ki+1⋯kn(−1)τ(i1⋯(i−1)(i+1)⋯n)+τ(jk1⋯kj−1kj+1⋯kn)aija1k1⋯ai−1,ki−1ai+1,ki+1⋯an,kn|A| = \\sum_{j k_{1}\\cdots k_{i-1} k_{i+1}\\cdots k_{n}}(-1)^{\\tau(i1\\cdots (i-1)(i+1)\\cdots n) + \\tau(jk_{1}\\cdots k_{j-1}k_{j+1}\\cdots k_{n})}a_{ij}a_{1k_{1}}\\cdots a_{i-1,k_{i-1}} a_{i+1,k_{i+1}}\\cdots a_{n,k_{n}} ∣A∣=jk1​⋯ki−1​ki+1​⋯kn​∑​(−1)τ(i1⋯(i−1)(i+1)⋯n)+τ(jk1​⋯kj−1​kj+1​⋯kn​)aij​a1k1​​⋯ai−1,ki−1​​ai+1,ki+1​​⋯an,kn​​

其中，K1,k2⋯,ki−1,ki+1,⋯,kn∈{1,2,⋯,n}−{j}K_{1},k_{2}\\cdots,k_{i-1},k_{i+1},\\cdots,k_{n} \\in \\{1,2,\\cdots,n\\}-\\{j\\}K1​,k2​⋯,ki−1​,ki+1​,⋯,kn​∈{1,2,⋯,n}−{j}.

\\quad 注意，

$$\tau (i1\cdots (i-1)(i+1)\cdots n)=i-1$$

τ(jk1⋯ki−1ki+1⋯kn)=j−1+τ(k1⋯ki−1ki+1⋯kn)\\tau(jk_{1}\\cdots k_{i-1} k_{i+1}\\cdots k_{n}) = j-1 + \\tau(k_{1}\\cdots k_{i-1}k_{i+1}\\cdots k_{n}) τ(jk1​⋯ki−1​ki+1​⋯kn​)=j−1+τ(k1​⋯ki−1​ki+1​⋯kn​)

于是，

∣A∣=∑jk1⋯ki−1ki+1⋯kn(−1)i+j⋅(−1)τ(k1⋯ki−1ki+1⋯kn)aija1k1⋯ai−1,ki−1ai+1,ki+1⋯an,kn=∑j=1n(−1)i+j⋅aij∑k1⋯ki−1ki+1⋯kn(−1)τ(k1⋯ki−1ki+1⋯kn)a1k1⋯ai−1,ki−1ai+1,ki+1⋯an,kn=∑j=1naij⋅(−1)i+j⋅Mij=∑j=1naijAij\\begin{aligned} |A| &= \\sum_{j k_{1}\\cdots k_{i-1} k_{i+1}\\cdots k_{n}}(-1)^{i+j} \\cdot (-1)^{\\tau(k_{1}\\cdots k_{i-1}k_{i+1}\\cdots k_{n})} a_{ij}a_{1k_{1}}\\cdots a_{i-1,k_{i-1}} a_{i+1,k_{i+1}}\\cdots a_{n,k_{n}}\\\\ &= \\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\\cdot a_{ij} \\sum_{k_{1\\cdots k_{i-1}k_{i+1}\\cdots k_{n}}} (-1)^{\\tau(k_{1}\\cdots k_{i-1}k_{i+1}\\cdots k_{n})}a_{1k_{1}}\\cdots a_{i-1,k_{i-1}} a_{i+1,k_{i+1}}\\cdots a_{n,k_{n}}\\\\ &= \\sum_{j=1}^{n}a_{ij} \\cdot (-1)^{i+j} \\cdot M_{ij}\\\\ &= \\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \\end{aligned} ∣A∣​=jk1​⋯ki−1​ki+1​⋯kn​∑​(−1)i+j⋅(−1)τ(k1​⋯ki−1​ki+1​⋯kn​)aij​a1k1​​⋯ai−1,ki−1​​ai+1,ki+1​​⋯an,kn​​=j=1∑n​(−1)i+j⋅aij​k1⋯ki−1​ki+1​⋯kn​​∑​(−1)τ(k1​⋯ki−1​ki+1​⋯kn​)a1k1​​⋯ai−1,ki−1​​ai+1,ki+1​​⋯an,kn​​=j=1∑n​aij​⋅(−1)i+j⋅Mij​=j=1∑n​aij​Aij​​

#

\\quad 由于行列式的行与列具有对称性，因此，不难得到 定理 2。

定理 2：$n$ 级矩阵 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij​) 的行列式 $|A|$ 满足

∣A∣=∑l=1naljAlj=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj\\begin{aligned} |A| &= \\sum_{l=1}^{n}a_{lj}A_{lj}\\\\ &= a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \\cdots + a_{nj}A_{nj} \\end{aligned} ∣A∣​=l=1∑n​alj​Alj​=a1j​A1j​+a2j​A2j​+⋯+anj​Anj​​

其中，j∈{1,2,⋯,n}j \\in \\{1,2,\\cdots,n\\}j∈{1,2,⋯,n}.

证明：

\\quad 由行列式的性质 1，∣A∣=∣A′∣|A| = |A'|∣A∣=∣A′∣.

\\quad 对行列式 ∣A′∣|A'|∣A′∣ 按第 $j$ 行展开，相当于对 $|A|$ 按第 $j$ 列展开，于是

∣A′∣=∣A∣=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj|A'| = |A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \\cdots + a_{nj} A_{nj} ∣A′∣=∣A∣=a1j​A1j​+a2j​A2j​+⋯+anj​Anj​

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\\quad 之后，介绍 定理 1、定理 2 相关的一些应用。

定理 3：设 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij​) 为 $n$ 级矩阵。当 $k\ne i$ 时，

ai1Ak1+ai2Ak2+⋯ainAkn=0a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\\cdots a_{in}A_{kn} = 0 ai1​Ak1​+ai2​Ak2​+⋯ain​Akn​=0

证明：

\\quad 对于等式左边，可以构造一个行列式

∣B∣=∣a11⋯an1⋮⋯⋮ai1⋯ain⋮⋯⋮ai1⋯ain⋮⋯⋮an1⋯ann∣|B| = \\left|\\begin{matrix} a_{11} &\\cdots &a_{n1}\\\\ \\vdots &\\cdots &\\vdots\\\\ a_{i1} &\\cdots &a_{in}\\\\ \\vdots &\\cdots &\\vdots\\\\ a_{i1} &\\cdots &a_{in}\\\\ \\vdots &\\cdots &\\vdots\\\\ a_{n1} &\\cdots &a_{nn} \\end{matrix}\\right| ∣B∣=​a11​⋮ai1​⋮ai1​⋮an1​​⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯​an1​⋮ain​⋮ain​⋮ann​​​

其中，$|B|$ 的第 $i$ 行与第 $k$ 行的元素对应相等。由行列式的性质 5 可知，$|B|=0$.

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\\quad同理可证 定理 4.

定理 4：设 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij​) 为 $n$ 级矩阵。当 $l\ne j$ 时，

a1lA1j+a2lA2j+⋯anlAnj=0a_{1l}A_{1j}+a_{2l}A_{2j}+\\cdots a_{nl}A_{nj} = 0 a1l​A1j​+a2l​A2j​+⋯anl​Anj​=0

\\quad 最后，介绍一个重要的概念 VanderMonder 行列式。

∣11⋯1a1a2⋯ana12a22⋯an2⋮⋮⋮a1n−1a2n−1⋯ann−1∣=∏1≤j<i≤n(ai−aj)\\left|\\begin{matrix} 1 & 1 &\\cdots &1\\\\ a_{1} &a_{2} &\\cdots &a_{n}\\\\ a_{1}^{2} &a_{2}^{2} &\\cdots &a_{n}^{2}\\\\ \\vdots &\\vdots & & \\vdots\\\\ a_{1}^{n-1} &a_{2}^{n-1} &\\cdots &a_{n}^{n-1} \\end{matrix}\\right| = \\prod_{1\\le j<i\\le n}{\\left( a_i-a_j \\right)} ​1a1​a12​⋮a1n−1​​1a2​a22​⋮a2n−1​​⋯⋯⋯⋯​1an​an2​⋮ann−1​​​=1≤j<i≤n∏​(ai​−aj​)

参考：

• 邱维声. 高等代数课程.