LeetCode算法小抄--二分查找及其变体形式

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二分查找

最基本的二分查找

704. 二分查找

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

class Solution {public int search(int[] nums, int target) {int left = 0;int right = nums.length - 1; // 注意// 搜索区间在[left, right]while(left <= right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] == target)return mid;else if(nums[mid] < target)left = mid + 1; // 注意else if(nums[mid] > target)right = mid - 1; // 注意}return -1;}
}

二分查找的细节处理：

计算 mid 时需要防止溢出，代码中 left + (right - left) / 2 就和 (left + right) / 2 的结果相同，但是有效防止了 left 和 right 太大，直接相加导致溢出的情况。

1、为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？

答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

2、那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止

答：while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

3、为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

答：刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都是闭区间的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？

当然是去搜索区间 [left, mid-1] 或者区间 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

4、此算法有什么缺陷？

答：比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

寻找左侧边界的二分查找

左闭右开的写法形式

int left_bound(int[] nums, int target) {int left = 0;int right = nums.length; // 注意// 搜索区间在[left, right)while (left < right) { // 注意int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target) {// 收缩右侧边界right = mid;} else if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right)left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {// 搜索区间变为 [left, mid)right = mid; // 注意}}return left;
}

细节处理：

1、为什么 while 中是 < 而不是 <= ?

答：用相同的方法分析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。

while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。

2、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：其实很简单，在返回的时候额外判断一下 nums[left] 是否等于 target 就行了，如果不等于，就说明 target 不存在。

while (left < right) {//...
}
// 此时 target 比所有数都大，返回 -1
if (left == nums.length) return -1;
// 判断一下 nums[left] 是不是 target
return nums[left] == target ? left : -1;

3、为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

答：「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步应该去 mid 的左侧或者右侧区间搜索，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

4、为什么该算法能够搜索左侧边界？

答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

5、为什么返回 left 而不是 right？

答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。

6、能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

答：当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素，随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改：

因为你非要让搜索区间两端都闭，所以 right 应该初始化为 nums.length - 1，while 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=：

统一版

int left_bound(int[] nums, int target) {int left = 0, right = nums.length - 1;// 搜索区间为 [left, right]while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right]left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {// 搜索区间变为 [left, mid-1]right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {// 收缩右侧边界right = mid - 1;}}// 判断 target 是否存在于 nums 中// 此时 target 比所有数都大，返回 -1if (left == nums.length) return -1;// 判断一下 nums[left] 是不是 targetreturn nums[left] == target ? left : -1;
}

寻找右侧边界的二分查找

左闭右开的写法形式

int right_bound(int[] nums, int target) {int left = 0, right = nums.length;// 搜索区间为 [left, right)while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target) {// 收缩左侧边界left = mid + 1; // 注意} else if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right)left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid;}}return left - 1; // 注意
}

细节处理：

1、为什么这个算法能够找到右侧边界？

答：当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的左边界 left，使得区间不断向右靠拢，达到锁定右侧边界的目的。

2、为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。

答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。

至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在锁定右边界时的这个条件判断：

我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。

至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，当然是为了把 nums[mid] 排除出搜索区间

3、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：只要在最后判断一下 nums[left-1] 是不是 target 就行了。

类似之前的左侧边界搜索，left 的取值范围是 [0, nums.length]，但由于我们最后返回的是 left - 1，所以 left 取值为 0 的时候会造成索引越界，额外处理一下即可正确地返回 -1：

while (left < right) {// ...
}
// 判断 target 是否存在于 nums 中
// 此时 left - 1 索引越界
if (left - 1 < 0) return -1;
// 判断一下 nums[left] 是不是 target
return nums[left - 1] == target ? (left - 1) : -1;

4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？

统一版

int right_bound(int[] nums, int target) {int left = 0, right = nums.length - 1;// 搜索区间为 [left, right]while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right]left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {// 搜索区间变为 [left, mid-1]right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {// 这里改成收缩左侧边界即可left = mid + 1;}}// 最后改成返回 rightif (right < 0) return -1;return nums[right] == target ? right : -1;
}

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

// 使用List的API 通过测试用例：18 / 88
class Solution {public int[] searchRange(int[] nums, int target) {int[] index = new int[2];List list = Arrays.asList(nums);index[0] = list.indexOf(target);index[1] = list.lastIndexOf(target);return index;}
}

// 采用二分查找，通过测试用例：68 / 88
class Solution {public int[] searchRange(int[] nums, int target) {int leftBound = getLeftBound(nums, target);int rightBound = getRightBound(nums, target);int oneTarget = getOneTarget(nums, target);if (rightBound - leftBound >= 1) {return new int[]{leftBound, rightBound};} else if (oneTarget != -1){return new int[]{1, 1};} else{return new int[]{-1, -1};}}private int getRightBound(int[] nums, int target) {int left = 0, right = nums.length - 1;int rightBound = -2; // 记录一下 rightBound 没有被赋值的情况// 搜索区间为 [left, right]while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right]left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {// 搜索区间变为 [left, mid-1]right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {// 这里改成收缩左侧边界即可left = mid + 1;}}// 最后改成返回 rightif (right < 0) return -1;return nums[right] == target ? right : -1;}private int getLeftBound(int[] nums, int target) {int left = 0, right = nums.length - 1;int leftBound = -2; // 记录一下 leftBound 没有被赋值的情况// 搜索区间为 [left, right]while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right]left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {// 搜索区间变为 [left, mid-1]right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {// 收缩右侧边界right = mid - 1;}}// 判断 target 是否存在于 nums 中// 此时 target 比所有数都大，返回 -1if (left == nums.length) return -1;// 判断一下 nums[left] 是不是 targetreturn nums[left] == target ? left : -1;}    private int getOneTarget(int[] nums, int target){int left = 0;int right = nums.length - 1; // 注意// 搜索区间在[left, right]while(left <= right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] == target)return mid;else if(nums[mid] < target)left = mid + 1; // 注意else if(nums[mid] > target)right = mid - 1; // 注意}return -1;}    
}

剑指 Offer 53 - I. 在排序数组中查找数字 I

统计一个数字在排序数组中出现的次数。

class Solution {public int search(int[] nums, int target) {int leftBound = getLeftBound(nums, target);int rightBound = getRightBound(nums, target);int oneTarget = getOneTarget(nums, target);if (rightBound - leftBound >= 1){return rightBound - leftBound + 1;} else {return oneTarget;}}private int getRightBound(int[] nums, int target) {int left = 0, right = nums.length - 1;// 搜索区间为 [left, right]while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right]left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {// 搜索区间变为 [left, mid-1]right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {// 这里改成收缩左侧边界即可left = mid + 1;}}// 最后改成返回 rightif (right < 0) return -1;return nums[right] == target ? right : -1;}private int getLeftBound(int[] nums, int target) {int left = 0, right = nums.length - 1;// 搜索区间为 [left, right]while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) {// 搜索区间变为 [mid+1, right]left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {// 搜索区间变为 [left, mid-1]right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {// 收缩右侧边界right = mid - 1;}}// 判断 target 是否存在于 nums 中// 此时 target 比所有数都大，返回 -1if (left == nums.length) return -1;// 判断一下 nums[left] 是不是 targetreturn nums[left] == target ? left : -1;}private int getOneTarget(int[] nums, int target){int left = 0;int right = nums.length - 1; // 注意// 搜索区间在[left, right]while(left <= right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] == target)return 1;else if(nums[mid] < target)left = mid + 1; // 注意else if(nums[mid] > target)right = mid - 1; // 注意}return 0;}
}

总结：

1、分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。

2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。

3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可，搜索右侧时需要减一。

4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭，好记，只要稍改 nums[mid] == target 条件处的代码和返回的逻辑即可

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