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微分方程的基本概念（通解、特解，线素场）

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微分方程的基本概念（通解、特解，线素场）

微分方程的基本概念(通解、特解，线素场)

1 微分方程的定义

同学们大家好，今天我们来学习微分方程的基础概念。

微分方程就是含有导数的方程，例如：

$\\frac{dy}{dx}=\\sin x$

它就含有导数 $\\frac{dy}{dx}$ ，因此它就是一个微分方程。而我们知道导数的写法不止一种，这个方程还可以写为：

$y' = \\sin x$

写成这种形式后，可以看到，方程中含有导数的最高阶为 $1$ ，因此这个方程又称为一阶微分方程。

有一阶微分方程，就有二阶微分方程：

$y''+py'+qy=f(x)$

这个方程就是二阶微分方程，我们可以给出 $n$ 阶微分方程的定义 $n$ 阶微分方程的形式是：

$F(x,y,y',\\cdots,y^{(n)})=0$

在上述方程中 $y^{(n)}$ 是必须出现的，而 $x,y,y',\\cdots,y^{(n-1)}$ 等变量则可以不出现。

方程中只要保留最高次的导数，就是n阶微分方程，比如二阶微分方程中：

$y''+py'+qy=f(x)$

即使没有 $py'$ 与 $qy$ ，方程式这样：

$y'' = f(x)$

它仍然是二阶微分方程。

微分方程在物理中十分常见，例如我们熟知的牛顿第二定理：

$F=ma$

将加速度 $a$ 表示成速度的变化率 $a = \\frac{dv}{dt}$ ，方程

$F = m \\frac{dv}{dt}$

就是一个微分方程，我们通过一道例题来了解一下它：

2 微分方程的例子

例已知一静止物体质量为 $1kg$ ，受到向右的力，大小为 $|F|= 2t$ ，求速率 $v$ 与时间 $t$ 的关系。

解：根据牛顿第二定理：

$F = ma \\implies F = m\\frac{dv}{dt}$

其中 $F = 2t$ ， $m = 1$ ，代入可得微分方程：

$\\frac{dv}{dt} = 2t$

整理得到：

$dv = 2tdt$

两边同时积分：

$\\int dv = \\int 2tdt$

计算得到：

$v = t^2 + C$

再根据题目所给条件 $t=0$ 时， $v=0$ ，可得 $C=0$

$t=0,v=0\\Longrightarrow C=0$

从而得到

$v=t^2$

$\\blacksquare$

这道例题虽然简单，但可以帮助我们了解微分方程：

初始式子可以看作：

$\\frac{dv}{dt}=2t\\Longleftrightarrow v' = 2t$

当 $v= t^2+C$ 时，无论 $C$ 取何值，微分方程 $v'=2t$ 都成立， $t^2+C$ 被称为 $v'=2t$ 的通解。

而在 $t=0,v=0$ 的条件下，解得 $v=t^2$ ，这称为微分方程的特解，这里用到的 $t=0,v=0$ 称为初始条件。

$\\begin{align}v' = 2t&\\Longrightarrow\\color{blue}{v= t^2+C\\quad 通解}\\\\\\\\ &\\xrightarrow[初始条件]{t=0,v=0}\\color{orange}{v=t^2\\quad 特解}\\end{align}$

3 通解与特解的几何意义

下面我们再几何上再来看看这个微分方程：

$v'=2t$

这个方程说明曲线再各点的导数为 $2t$ ，即切线的斜率应该为 $2t$

我们可以在坐标轴中取很多等距离的点，并在各个点作出斜率为 $2t$ 的小段直线，这个图像也被称为 $v'=2t$ 的斜率场(线素场)。斜率场上的每根直线，就是图像在该点的斜率，根据斜率场，我们可以作出函数的图像：

这些函数不止一条，它们是 $v=t^2+C$ 不同 $C$ 取值时的图像，也就是微分方程的通解。

满足初值条件 $v=0,t=0$ 的曲线，也就是过原点的曲线 $v=t^2$ ，是微分方程的特解。

4 总结

最后来总结一下：

(1)微分方程的解：如果某函数 $y=f(x)$ 可以满足n阶微分方程，那么 $y=f(x)$ 就是微分方程的解。

前面例子 $v'=2t$ 中，通解 $v=t^2+C$ 与特解 $v=t^2$ 都满足微分方程，它们都是微分方程的解。

(2)微分方程的通解：如果微分方程包含任意常数，且任意常数个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。

$v'=2t$ 是一阶微分方程，它的通解 $v=t^2+C$ 含有一个任意常数 $C$

二阶微分方程 $\\frac{d^2s}{dt^2}=-0.4$ ，它的通解为 $-0.2t^2+C_1t+C_2$ ，它包含两个任意常数 $C_1$ 与 $C_2$ ，需要注意的是，通解不一定包含微分方程的所有解，例如这样的方程：

$(y')^2+y^2-1=0$

它的通解为 $y=\\sin(x+C)$ ，而 $y=1$ 也是微分方程的解，但是它并没有包含在通解中。这样的解被称为奇解。

最后再来说说初始条件和特解

(3)初始条件和特解：用来确定任意常数的条件称为初始条件。确定了任意常数后所得到的解，被称为微分方程的特解。

如前面的例子中，通解为 $v=t^2+C$ ，初始条件 $v=0,t=0$ 确定了任意常数 $C=0$ ，得到特解 $v=t^2$

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