Python求矩阵的范数和行列式

在scipy.linalg的函数中，往往会提供两种参数，其一是check_finite，当为True时将进行有限检查，另一类是overwrite_xxxx，表示xxxx在计算过程中是否可以被覆写。简洁起见，后文中说a提供覆写开关，就表示存在一个参数overwrite_a，当其为True时，a允许计算过程中被覆写；若说提供有限检查开关，则代表提供check_finite参数。

范数

在scipy.linalg中提供了函数norm用来求范数，其定义为

norm(a, ord=None, axis=None, keepdims=False, check_finite=True)

其中ord用于声明范数的阶

若a为向量，若ord为非零整数，记作$n$，设aia_iai​为矩阵$a$中的元素，则矩阵的$n$范数为

∥a∥n=∑iainn\\Vert a\\Vert_n=\\sqrt[n]{\\sum_{i}a_i^n} ∥a∥n​=ni∑​ain​​

核范数又称“迹范数” (trace norm)，表示矩阵的所有奇异值之和。

Frobenius范数可定义为

∥a∥f=∑i=1m∑j=1n∣aij∣2=trace⁡(ATA)=∑i=1min⁡{m,n}σi2\\Vert a\\Vert_f=\\sqrt{\\sum_{i=1}^m\\sum^n_{j=1}\\vert a_{ij}\\vert^2}=\\sqrt{\\operatorname{trace}(A^TA)}=\\sqrt{\\sum_{i=1}^{\\min\\{m,n\\}}\\sigma_i^2} ∥a∥f​=i=1∑m​j=1∑n​∣aij​∣2​=trace(ATA)​=i=1∑min{m,n}​σi2​​

其实质是向量的2-范数在矩阵中的自然推广。

除了scipy.linalg之外，numpy.linalg中也提供了norm，其参数为

norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

其中order的可选参数与scipy.linalg中的norm函数相同。

行列式

在scipy.linalg中，行列式函数为det，其定义非常简单，除了待求矩阵a之外，就只有a的覆写开关和有限检查。

示例如下

import numpy as np
from scipy import linalg
a = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
linalg.det(a)
# 0.0
a = np.array([[0,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
linalg.det(a)
# 3.0

迹

scipy.linalg不提供trace函数，但是numpy提供，其定义为

umpy.trace(a, offset=0, axis1=0, axis2=1, dtype=None, out=None)

其中

• offset为偏移量，表示相对于主对角线的偏移
• axis1, axis2 表示坐标轴
• dtype 用于调整输出值的数据类型

>>> x = np.random.rand(3,3)
>>> print(x)
[[0.26832187 0.64615363 0.09006217][0.63106319 0.65573765 0.35842304][0.66629322 0.16999836 0.92357658]]
>>> np.trace(x)
1.8476361016546932