导数的四则运算
简单函数
我们举例14个基本初等函数的函数导数。
| 函数 | 原函数 | 导函数 |
|---|---|---|
| 常函数（即常数） | y=Cy=Cy=C（C为常数） | y′=0y'=0y′=0 |
| 指数函数 | y=ax、y=exy=a^x、y=e^xy=ax、y=ex | y′=axlna、y′=exy'=a^xlna、y'=e^xy′=axlna、y′=ex |
| 幂函数 | y=xny=x^ny=xn | y′=nxn−1y'=nx^{n-1}y′=nxn−1 |
| 对数函数 | y=logax、y=lnxy=log_a^x、y=lnxy=logax、y=lnx | y′=1xlna、y′=1xy'=\\frac{1}{xlna}、y'=\\frac{1}{x}y′=xlna1、y′=x1 |
| 正弦函数 | sinxsinxsinx | y′=cosxy'=cosxy′=cosx |
| 余弦函数 | y=cosxy=cosxy=cosx | y′=−cosxy'=-cosxy′=−cosx |
| 正切函数 | y=tanxy=tanxy=tanx | y′=sec2xy'=sec^2xy′=sec2x |
| 余切函数 | y=cotxy=cotxy=cotx | y′=−csc2xy'=-csc^2xy′=−csc2x |
| 正割函数 | y=secxy=secxy=secx | y′=secxtanxy'=secxtanxy′=secxtanx |
| 余割函数 | y=cscxy=cscxy=cscx | y′=−cscxcotxy'=-cscxcotxy′=−cscxcotx |
| 反正弦函数 | y=arcsinxy=arcsinxy=arcsinx | y′=11−x2y'=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}y′=1−x21 |
| 反余弦函数 | y=arccosxy=arccosxy=arccosx | y′=−11−x2y'=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}y′=−1−x21 |
| 反正切函数 | arctanxarctanxarctanx | y′=11+x2y'=\\frac{1}{1+x^2}y′=1+x21 |
| 反余切函数 | arccotxarccotxarccotx | y′=−11+x2y'=-\\frac{1}{1+x^2}y′=−1+x21 |
| 双曲线函数 | y=shxy=shxy=shx | y′=chxy'=chxy′=chx |
复杂函数
导数的四则运算如下：
用通俗的方式表示为：
(u±v)′=u′±v′(u\\pm v)' = u' \\pm v'(u±v)′=u′±v′
(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'(uv)′=u′v+uv′
(uv)′=u′v−uv′v2(\\frac{u}{v})' = \\frac{u'v-uv'}{v^2}(vu)′=v2u′v−uv′
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数（称为链式法则）。
提示：高阶导数的求法
- 直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。一般用来寻找解题方法。
- 高阶导数的运算法则：（牛顿-莱布尼茨公式）
- 间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法。
注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式求出阶导数。
