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本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。

基础概念

• 矩阵：由$m\times n$个数组成的$m$行$n$列的表格称为一个$m\times n$矩阵，记为$A$。当$m=n$时，称$A$为$n$阶矩阵。
  [a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮am1am2…amn]\\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&\\ldots&a_{1n}\\\\ a_{21}&a_{22}&\\ldots&a_{2n}\\\\ \\vdots&\\vdots&&\\vdots&\\\\ a_{m1}&a_{m2}&\\ldots&a_{mn} \\end{bmatrix} ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​………​a1n​a2n​⋮amn​​​​
• 同型矩阵：如果$A$和$B$都是$m\times n$矩阵，那么称$A$和$B$是同型矩阵。
• 相等矩阵：设$A,B$是同型矩阵，如果aij=bij(∀i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)a_{ij}=b_{ij}(\\forall i=1,2,\\dots,m;j=1,2,\\dots,n)aij​=bij​(∀i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，则称$A$和$B$相等，记为$A=B$。
• 零矩阵：如果一个矩阵的所有元素都是$0$，那么就称这个矩阵为零矩阵，记为$O$。
• 对角矩阵： [a11a22⋱ann]\\begin{bmatrix} a_{11}&&\\\\ &a_{22}&\\\\ &&\\ddots&\\\\ &&&a_{nn} \\end{bmatrix} ​a11​​a22​​⋱​ann​​​
• 单位矩阵：[11⋱1]\\begin{bmatrix} 1&&\\\\ &1&\\\\ &&\\ddots&\\\\ &&&1 \\end{bmatrix} ​1​1​⋱​1​​记为$E$。
• 上三角矩阵：[a11a12…a1na22…a2n⋱⋮ann]\\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\\dots&a_{1n}\\\\ &a_{22}&\\dots&a_{2n}\\\\ &&\\ddots&\\vdots\\\\ &&&a_{nn} \\end{bmatrix} ​a11​​a12​a22​​……⋱​a1n​a2n​⋮ann​​​当$i>j$时，aij=0a_{ij}=0aij​=0
• 下三角矩阵：[a11a21a22⋮⋮⋱an1an2…ann]\\begin{bmatrix} a_{11}&&&\\\\ a_{21}&a_{22}&&\\\\ \\vdots&\\vdots&\\ddots&\\\\ a_{n1}&a_{n2}&\\dots&a_{nn} \\end{bmatrix} ​a11​a21​⋮an1​​a22​⋮an2​​⋱…​ann​​​当$i<j$时，aij=0a_{ij}=0aij​=0

矩阵的运算

矩阵的加法

若A=[aij],B=[bij]A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]A=[aij​],B=[bij​]为同型矩阵，那么
A+B=[aij+bij]A+B=[a_{ij}+b_{ij}]A+B=[aij​+bij​]
加法运算法则（$A,B,C$同型）：

• $A+B=B+A$
• $(A+B)+C=A+(B+C)$
• $A+O=A$
• $A+(-A)=O$

数与矩阵相乘

kA=[kaij]kA=[ka_{ij}]kA=[kaij​]
数乘运算法则：

• $k(mA)=m(kA)=(mk)A$
• $(k+m)A=kA+mA$
• $k(A+B)=kA+kB$
• $1A=A$
• $0A=O$

矩阵的乘法

若A=[aij]m×s,B=[bij]s×nA=[a_{ij}]_{m\\times s},B=[b_{ij}]_{s\\times n}A=[aij​]m×s​,B=[bij​]s×n​，则A×B=C=[cij]m×nA\\times B=C=[c_{ij}]_{m\\times n}A×B=C=[cij​]m×n​其中cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj=∑k=1naikbkjc_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\\dots+a_{is}b_{sj}=\\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}cij​=ai1​b1j​+ai2​b2j​+⋯+ais​bsj​=k=1∑n​aik​bkj​
乘法运算法则：

• $A(BC)=(AB)C$
  证明：设A=[aij]m×sA=[a_{ij}]_{m\\times s}A=[aij​]m×s​，B=[bij]s×tB=[b_{ij}]_{s\\times t}B=[bij​]s×t​，C=[cij]t×nC=[c_{ij}]_{t\\times n}C=[cij​]t×n​：
  A(BC)=Dm×n(AB)C=Em×nA(BC)=D_{m\\times n}\\\\(AB)C=E_{m\\times n}A(BC)=Dm×n​(AB)C=Em×n​
  $D$中第$i$行第$j$列的元素等于$A$中$i$行与$BC$中$j$列对应元素相乘再相加：
  ∑k=1saik(∑p=1tbkpcpj)=∑k=1s∑p=1taikbkpcpj\\sum_{k=1}^sa_{ik}(\\sum_{p=1}^tb_{kp}c_{pj})=\\sum_{k=1}^s\\sum_{p=1}^ta_{ik}b_{kp}c_{pj}k=1∑s​aik​(p=1∑t​bkp​cpj​)=k=1∑s​p=1∑t​aik​bkp​cpj​
  同理$E$中第$i$行第$j$列的元素等于：
  ∑p=1t(∑k=1saikbkp)cpj=∑k=1s∑p=1taikbkpcpj\\sum_{p=1}^t(\\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kp})c_{pj}=\\sum_{k=1}^s\\sum_{p=1}^ta_{ik}b_{kp}c_{pj}p=1∑t​(k=1∑s​aik​bkp​)cpj​=k=1∑s​p=1∑t​aik​bkp​cpj​
  证毕。
• $A(B+C)=AB+AC$
• $(kA)(lB)=klAB$
• $AE=A,EA=A$
• $OA=O,AO=O$

注意：

• $AB\ne BA$
• $AB=O\nRightarrow A=O$或$B=O$
• $AB=AC,A\ne O\nRightarrow B=C$
• 若$A,B$是对角矩阵，则$AB=BA$
• [a1a2a3]n=A=[a1na2na3n]\\begin{bmatrix}a_1&&\\\\&a_2&\\\\&&a_3\\end{bmatrix}^n=A=\\begin{bmatrix}a_1^n&&\\\\&a_2^n&\\\\&&a_3^n\\end{bmatrix}​a1​​a2​​a3​​​n=A=​a1n​​a2n​​a3n​​​

矩阵的转置

设A=[aij]m×nA=[a_{ij}]_{m\\times n}A=[aij​]m×n​，将$A$的行列互换，得到的$n\times m$矩阵[aji]n×m[a_{ji}]_{n\\times m}[aji​]n×m​称为$A$的转置矩阵，记为ATA^TAT。转置运算法则：

• (A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT
• (kA)T=kAT(kA)^T=kA^T(kA)T=kAT
• (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT
  证明：设A=[aij]m×s,B=[bij]s×nA=[a_{ij}]_{m\\times s},B=[b_{ij}]_{s\\times n}A=[aij​]m×s​,B=[bij​]s×n​，则有：
  AB=[cij]m×n⇓(AB)T=[cji]n×mAB=[c_{ij}]_{m\\times n}\\\\ \\Downarrow\\\\ (AB)^T=[c_{ji}]_{n\\times m}\\\\ AB=[cij​]m×n​⇓(AB)T=[cji​]n×m​
  其中
  cji=∑k=1saikbkjc_{ji}=\\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj} cji​=k=1∑s​aik​bkj​
  令
  BTAT=[dij]n×mB^TA^T=[d_{ij}]_{n\\times m} BTAT=[dij​]n×m​
  BTATB^TA^TBTAT的$j$行$i$列元素是BTB^TBT的$j$行与ATA^TAT的$i$列所得，也是$B$的$j$列与$A$的$i$行所得，因此：
  dji=∑k=1sbkjaik=cjid_{ji}=\\sum_{k=1}^sb_{kj}a_{ik}=c_{ji} dji​=k=1∑s​bkj​aik​=cji​
  证毕。
• (AT)T=A(A^T)^T=A(AT)T=A

若AT=AA^T=AAT=A，则称$A$为对称矩阵，若AT=−AA^T=-AAT=−A，则称$A$为反对称矩阵。

矩阵和方程组

现有一二元一次方程组：
{a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)\\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1(1)\\\\ a_2x+b_2y=c_2(2) \\end{cases}{a1​x+b1​y=c1​(1)a2​x+b2​y=c2​(2)​
可用矩阵表示为：
[a1b1a2b2][xy]=[c1c2]⇓AX=C\\begin{bmatrix} a_1&b_1\\\\ a_2&b_2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x\\\\ y \\end{bmatrix} {=} \\begin{bmatrix} c_1\\\\ c_2 \\end{bmatrix}\\\\ \\Downarrow\\\\ AX=C [a1​a2​​b1​b2​​][xy​]=[c1​c2​​]⇓AX=C
其中$A$称为系数矩阵，$X$称为未知数矩阵，$C$称为常数项矩阵。

方阵和行列式

设A=[aij]A=[a_{ij}]A=[aij​]为$n$阶方阵，其所有元素保持位置不动所构成的行列式称为方阵$A$的行列式，记为$$|A|$$注意：

• 仅有方阵才有行列式。
• $A=O$和$|A|=0$没有任何关系。

方阵行列式的性质：

• ∣AT∣=∣A∣|A^T|=|A|∣AT∣=∣A∣
• ∣kA∣=kn∣A∣|kA|=k^n|A|∣kA∣=kn∣A∣
• $|AB|=|A||B|$
  证明：设$A$、$B$为$n$阶矩阵（以$n=2$）为例：
  A=[a11a12a21a22]B=[b11b12b21b22]A= \\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\\\ a_{21}&a_{22} \\end{bmatrix} B= \\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}\\\\ b_{21}&b_{22} \\end{bmatrix} A=[a11​a21​​a12​a22​​]B=[b11​b21​​b12​b22​​]
  构成四阶行列式$D$：
  D=∣A∣∣B∣=∣AO−EB∣=∣a11a1200a21a2200−10b11b120−1b21b22∣=∣a11a12a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21a22a21b11+a22b21a21b12+a22b22−10000−100∣=∣AAB−EO∣=−1(2×2)∣−E∣∣AB∣=∣AB∣D =|A||B| = \\begin{vmatrix} A&O\\\\ -E&B \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&0&0\\\\ a_{21}&a_{22}&0&0\\\\ -1&0&b_{11}&b_{12}\\\\ 0&-1&b_{21}&b_{22} \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\\\ a_{21}&a_{22}&a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\\\\ -1&0&0&0\\\\ 0&-1&0&0 \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} A&AB\\\\ -E&O \\end{vmatrix} =-1^{(2\\times2)}|-E||AB| =|AB| D=∣A∣∣B∣=​A−E​OB​​=​a11​a21​−10​a12​a22​0−1​00b11​b21​​00b12​b22​​​=​a11​a21​−10​a12​a22​0−1​a11​b11​+a12​b21​a21​b11​+a22​b21​00​a11​b12​+a12​b22​a21​b12​+a22​b22​00​​=​A−E​ABO​​=−1(2×2)∣−E∣∣AB∣=∣AB∣

伴随矩阵

设A=[aij]A=[a_{ij}]A=[aij​]是$n$阶方阵，行列式$|A|$的每个元素aija_{ij}aij​的代数余子式AijA_{ij}Aij​所构成的如下方阵称为$A$的伴随矩阵。A∗=[A11A21…An1A12A22…An2⋮⋮⋮A1nA2n…Ann]A^*=\\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\\dots&A_{n1}\\\\A_{12}&A_{22}&\\dots&A_{n2}\\\\\\vdots&\\vdots&&\\vdots\\\\A_{1n}&A_{2n}&\\dots&A_{nn}\\end{bmatrix}A∗=​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​………​An1​An2​⋮Ann​​​伴随矩阵的性质：

• AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|EAA∗=A∗A=∣A∣E
  证明：设$A$为$n$阶矩阵（以$n=2$）为例：
  AA∗=∣a11a12a21a22∣∣A11A21A12A22∣=∣a11A11+a12A12a11A21+a12A22a21A11+a22A12a21A21+a22A22∣=∣∣A∣OO∣A∣∣=∣A∣∣1001∣=∣A∣EAA^* = \\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\\\ a_{21}&a_{22} \\end{vmatrix} \\begin{vmatrix} A_{11}&A_{21}\\\\ A_{12}&A_{22} \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}&a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}\\\\ a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}&a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22} \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} |A|&O\\\\ O&|A| \\end{vmatrix} =|A| \\begin{vmatrix} 1&0\\\\ 0&1 \\end{vmatrix} =|A|E AA∗=​a11​a21​​a12​a22​​​​A11​A12​​A21​A22​​​=​a11​A11​+a12​A12​a21​A11​+a22​A12​​a11​A21​+a12​A22​a21​A21​+a22​A22​​​=​∣A∣O​O∣A∣​​=∣A∣​10​01​​=∣A∣E
• 二阶矩阵的伴随矩阵：主对角线互换，副对角线变号。

可逆矩阵

对于$n$阶方阵$A$，如果存在$n$阶方阵$B$，使$$AB=BA=E$$则称矩阵$A$是可逆的，矩阵$B$是$A$的逆矩阵。如果矩阵$A$是可逆的，那么$A$的逆矩阵是唯一的，记作A−1A^{-1}A−1可逆矩阵的性质如下：

• 如果$A$可逆，则A−1A^{-1}A−1也是可逆的，且(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A(A−1)−1=A。
  证明：令B=A−1B=A^{-1}B=A−1
  那么：$$BA=AB=E$$
  所以$B$可逆且B−1=(A−1)−1=AB^{-1}=(A^{-1})^{-1}=AB−1=(A−1)−1=A
• 如果$A$可逆，且$k\ne 0$，则$kA$可逆，且(kA)−1=1kA−1(kA)^{-1}=\\frac{1}{k}A^{-1}(kA)−1=k1​A−1。
• 如果$A,B$可逆，则$AB$也可逆，且(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1。
• 如果$A$可逆，则ATA^TAT也可逆，且(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T。
• $A$可逆$\iff |A|\ne 0$。
  证明：因为
  ∣AA−1∣=∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1|AA^{-1}|=|A||A^{-1}|=|E|=1 ∣AA−1∣=∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1
  所以$|A|\ne 0$
• $A,B$是$n$阶方阵，如果$AB=E$，则A−1=BA^{-1}=BA−1=B。
• 如果$A$可逆，则A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\\frac{1}{|A|}A^*A−1=∣A∣1​A∗。
• 如果$A$可逆，则∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}|=\\frac{1}{|A|}∣A−1∣=∣A∣1​。
• 如果A=[a1a2a3]A=\\begin{bmatrix}a_1&&\\\\&a_2&\\\\&&a_3\\end{bmatrix}A=​a1​​a2​​a3​​​是对角矩阵，则A−1=[1a11a21a3]A^{-1}=\\begin{bmatrix}\\frac{1}{a_1}&&\\\\&\\frac{1}{a_2}&\\\\&&\\frac{1}{a_3}\\end{bmatrix}A−1=​a1​1​​a2​1​​a3​1​​​。

分块矩阵

对矩阵适当的进行分块处理，可以有效地进行计算，分块后有如下运算法则：

• [A1A2A3A4]+[B1B2B3B4]=[A1+B1A2+B2A3+B3A4+B4]\\begin{bmatrix}A_1&A_2\\\\A_3&A_4\\end{bmatrix}+\\begin{bmatrix}B_1&B_2\\\\B_3&B_4\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}A_1+B_1&A_2+B_2\\\\A_3+B_3&A_4+B_4\\end{bmatrix}[A1​A3​​A2​A4​​]+[B1​B3​​B2​B4​​]=[A1​+B1​A3​+B3​​A2​+B2​A4​+B4​​]
• [ABCD][XYZW]=[AX+BZAY+BWCX+DZCY+DW]\\begin{bmatrix}A&B\\\\C&D\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}X&Y\\\\Z&W\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}AX+BZ&AY+BW\\\\CX+DZ&CY+DW\\end{bmatrix}[AC​BD​][XZ​YW​]=[AX+BZCX+DZ​AY+BWCY+DW​]
• [ABCD]T=[ATCTBTDT]\\begin{bmatrix}A&B\\\\C&D\\end{bmatrix}^T=\\begin{bmatrix}A^T&C^T\\\\B^T&D^T\\end{bmatrix}[AC​BD​]T=[ATBT​CTDT​]