线性代数——矩阵
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本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。
基础概念
- 矩阵:由m×nm\\times nm×n个数组成的mmm行nnn列的表格称为一个m×nm\\times nm×n矩阵,记为AAA。当m=nm=nm=n时,称AAA为nnn阶矩阵。
[a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮am1am2…amn]\\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&\\ldots&a_{1n}\\\\ a_{21}&a_{22}&\\ldots&a_{2n}\\\\ \\vdots&\\vdots&&\\vdots&\\\\ a_{m1}&a_{m2}&\\ldots&a_{mn} \\end{bmatrix} a11a21⋮am1a12a22⋮am2………a1na2n⋮amn - 同型矩阵:如果AAA和BBB都是m×nm\\times nm×n矩阵,那么称AAA和BBB是同型矩阵。
- 相等矩阵:设A,BA,BA,B是同型矩阵,如果aij=bij(∀i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)a_{ij}=b_{ij}(\\forall i=1,2,\\dots,m;j=1,2,\\dots,n)aij=bij(∀i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),则称AAA和BBB相等,记为A=BA=BA=B。
- 零矩阵:如果一个矩阵的所有元素都是000,那么就称这个矩阵为零矩阵,记为OOO。
- 对角矩阵: [a11a22⋱ann]\\begin{bmatrix} a_{11}&&\\\\ &a_{22}&\\\\ &&\\ddots&\\\\ &&&a_{nn} \\end{bmatrix} a11a22⋱ann
- 单位矩阵:[11⋱1]\\begin{bmatrix} 1&&\\\\ &1&\\\\ &&\\ddots&\\\\ &&&1 \\end{bmatrix} 11⋱1记为EEE。
- 上三角矩阵:[a11a12…a1na22…a2n⋱⋮ann]\\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\\dots&a_{1n}\\\\ &a_{22}&\\dots&a_{2n}\\\\ &&\\ddots&\\vdots\\\\ &&&a_{nn} \\end{bmatrix} a11a12a22……⋱a1na2n⋮ann当i>ji>ji>j时,aij=0a_{ij}=0aij=0
- 下三角矩阵:[a11a21a22⋮⋮⋱an1an2…ann]\\begin{bmatrix} a_{11}&&&\\\\ a_{21}&a_{22}&&\\\\ \\vdots&\\vdots&\\ddots&\\\\ a_{n1}&a_{n2}&\\dots&a_{nn} \\end{bmatrix} a11a21⋮an1a22⋮an2⋱…ann当i<ji<ji<j时,aij=0a_{ij}=0aij=0
矩阵的运算
矩阵的加法
若A=[aij],B=[bij]A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]A=[aij],B=[bij]为同型矩阵,那么
A+B=[aij+bij]A+B=[a_{ij}+b_{ij}]A+B=[aij+bij]
加法运算法则(A,B,CA,B,CA,B,C同型):
- A+B=B+AA+B=B+AA+B=B+A
- (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)
- A+O=AA+O=AA+O=A
- A+(−A)=OA+(-A)=OA+(−A)=O
数与矩阵相乘
kA=[kaij]kA=[ka_{ij}]kA=[kaij]
数乘运算法则:
- k(mA)=m(kA)=(mk)Ak(mA)=m(kA)=(mk)Ak(mA)=m(kA)=(mk)A
- (k+m)A=kA+mA(k+m)A=kA+mA(k+m)A=kA+mA
- k(A+B)=kA+kBk(A+B)=kA+kBk(A+B)=kA+kB
- 1A=A1A=A1A=A
- 0A=O0A=O0A=O
矩阵的乘法
若A=[aij]m×s,B=[bij]s×nA=[a_{ij}]_{m\\times s},B=[b_{ij}]_{s\\times n}A=[aij]m×s,B=[bij]s×n,则A×B=C=[cij]m×nA\\times B=C=[c_{ij}]_{m\\times n}A×B=C=[cij]m×n其中cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj=∑k=1naikbkjc_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\\dots+a_{is}b_{sj}=\\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj=k=1∑naikbkj
乘法运算法则:
- A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C
证明:设A=[aij]m×sA=[a_{ij}]_{m\\times s}A=[aij]m×s,B=[bij]s×tB=[b_{ij}]_{s\\times t}B=[bij]s×t,C=[cij]t×nC=[c_{ij}]_{t\\times n}C=[cij]t×n:
A(BC)=Dm×n(AB)C=Em×nA(BC)=D_{m\\times n}\\\\(AB)C=E_{m\\times n}A(BC)=Dm×n(AB)C=Em×n
DDD中第iii行第jjj列的元素等于AAA中iii行与BCBCBC中jjj列对应元素相乘再相加:
∑k=1saik(∑p=1tbkpcpj)=∑k=1s∑p=1taikbkpcpj\\sum_{k=1}^sa_{ik}(\\sum_{p=1}^tb_{kp}c_{pj})=\\sum_{k=1}^s\\sum_{p=1}^ta_{ik}b_{kp}c_{pj}k=1∑saik(p=1∑tbkpcpj)=k=1∑sp=1∑taikbkpcpj
同理EEE中第iii行第jjj列的元素等于:
∑p=1t(∑k=1saikbkp)cpj=∑k=1s∑p=1taikbkpcpj\\sum_{p=1}^t(\\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kp})c_{pj}=\\sum_{k=1}^s\\sum_{p=1}^ta_{ik}b_{kp}c_{pj}p=1∑t(k=1∑saikbkp)cpj=k=1∑sp=1∑taikbkpcpj
证毕。 - A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC
- (kA)(lB)=klAB(kA)(lB)=klAB(kA)(lB)=klAB
- AE=A,EA=AAE=A,EA=AAE=A,EA=A
- OA=O,AO=OOA=O,AO=OOA=O,AO=O
注意:
- AB≠BAAB\\neq BAAB=BA
- AB=O⇏A=OAB=O\\nRightarrow A=OAB=O⇏A=O或B=OB=OB=O
- AB=AC,A≠O⇏B=CAB=AC,A\\neq O \\nRightarrow B=CAB=AC,A=O⇏B=C
- 若A,BA,BA,B是对角矩阵,则AB=BAAB=BAAB=BA
- [a1a2a3]n=A=[a1na2na3n]\\begin{bmatrix}a_1&&\\\\&a_2&\\\\&&a_3\\end{bmatrix}^n=A=\\begin{bmatrix}a_1^n&&\\\\&a_2^n&\\\\&&a_3^n\\end{bmatrix}a1a2a3n=A=a1na2na3n
矩阵的转置
设A=[aij]m×nA=[a_{ij}]_{m\\times n}A=[aij]m×n,将AAA的行列互换,得到的n×mn\\times mn×m矩阵[aji]n×m[a_{ji}]_{n\\times m}[aji]n×m称为AAA的转置矩阵,记为ATA^TAT。转置运算法则:
- (A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT
- (kA)T=kAT(kA)^T=kA^T(kA)T=kAT
- (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT
证明:设A=[aij]m×s,B=[bij]s×nA=[a_{ij}]_{m\\times s},B=[b_{ij}]_{s\\times n}A=[aij]m×s,B=[bij]s×n,则有:
AB=[cij]m×n⇓(AB)T=[cji]n×mAB=[c_{ij}]_{m\\times n}\\\\ \\Downarrow\\\\ (AB)^T=[c_{ji}]_{n\\times m}\\\\ AB=[cij]m×n⇓(AB)T=[cji]n×m
其中
cji=∑k=1saikbkjc_{ji}=\\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj} cji=k=1∑saikbkj
令
BTAT=[dij]n×mB^TA^T=[d_{ij}]_{n\\times m} BTAT=[dij]n×m
BTATB^TA^TBTAT的jjj行iii列元素是BTB^TBT的jjj行与ATA^TAT的iii列所得,也是BBB的jjj列与AAA的iii行所得,因此:
dji=∑k=1sbkjaik=cjid_{ji}=\\sum_{k=1}^sb_{kj}a_{ik}=c_{ji} dji=k=1∑sbkjaik=cji
证毕。 - (AT)T=A(A^T)^T=A(AT)T=A
若AT=AA^T=AAT=A,则称AAA为对称矩阵,若AT=−AA^T=-AAT=−A,则称AAA为反对称矩阵。
矩阵和方程组
现有一二元一次方程组:
{a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)\\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1(1)\\\\ a_2x+b_2y=c_2(2) \\end{cases}{a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)
可用矩阵表示为:
[a1b1a2b2][xy]=[c1c2]⇓AX=C\\begin{bmatrix} a_1&b_1\\\\ a_2&b_2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x\\\\ y \\end{bmatrix} {=} \\begin{bmatrix} c_1\\\\ c_2 \\end{bmatrix}\\\\ \\Downarrow\\\\ AX=C [a1a2b1b2][xy]=[c1c2]⇓AX=C
其中AAA称为系数矩阵,XXX称为未知数矩阵,CCC称为常数项矩阵。
方阵和行列式
设A=[aij]A=[a_{ij}]A=[aij]为nnn阶方阵,其所有元素保持位置不动所构成的行列式称为方阵AAA的行列式,记为∣A∣|A|∣A∣注意:
- 仅有方阵才有行列式。
- A=OA=OA=O和∣A∣=0|A|=0∣A∣=0没有任何关系。
方阵行列式的性质:
- ∣AT∣=∣A∣|A^T|=|A|∣AT∣=∣A∣
- ∣kA∣=kn∣A∣|kA|=k^n|A|∣kA∣=kn∣A∣
- ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣
证明:设AAA、BBB为nnn阶矩阵(以n=2n=2n=2)为例:
A=[a11a12a21a22]B=[b11b12b21b22]A= \\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\\\ a_{21}&a_{22} \\end{bmatrix} B= \\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}\\\\ b_{21}&b_{22} \\end{bmatrix} A=[a11a21a12a22]B=[b11b21b12b22]
构成四阶行列式DDD:
D=∣A∣∣B∣=∣AO−EB∣=∣a11a1200a21a2200−10b11b120−1b21b22∣=∣a11a12a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21a22a21b11+a22b21a21b12+a22b22−10000−100∣=∣AAB−EO∣=−1(2×2)∣−E∣∣AB∣=∣AB∣D =|A||B| = \\begin{vmatrix} A&O\\\\ -E&B \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&0&0\\\\ a_{21}&a_{22}&0&0\\\\ -1&0&b_{11}&b_{12}\\\\ 0&-1&b_{21}&b_{22} \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\\\ a_{21}&a_{22}&a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\\\\ -1&0&0&0\\\\ 0&-1&0&0 \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} A&AB\\\\ -E&O \\end{vmatrix} =-1^{(2\\times2)}|-E||AB| =|AB| D=∣A∣∣B∣=A−EOB=a11a21−10a12a220−100b11b2100b12b22=a11a21−10a12a220−1a11b11+a12b21a21b11+a22b2100a11b12+a12b22a21b12+a22b2200=A−EABO=−1(2×2)∣−E∣∣AB∣=∣AB∣
伴随矩阵
设A=[aij]A=[a_{ij}]A=[aij]是nnn阶方阵,行列式∣A∣|A|∣A∣的每个元素aija_{ij}aij的代数余子式AijA_{ij}Aij所构成的如下方阵称为AAA的伴随矩阵。A∗=[A11A21…An1A12A22…An2⋮⋮⋮A1nA2n…Ann]A^*=\\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\\dots&A_{n1}\\\\A_{12}&A_{22}&\\dots&A_{n2}\\\\\\vdots&\\vdots&&\\vdots\\\\A_{1n}&A_{2n}&\\dots&A_{nn}\\end{bmatrix}A∗=A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n………An1An2⋮Ann伴随矩阵的性质:
- AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|EAA∗=A∗A=∣A∣E
证明:设AAA为nnn阶矩阵(以n=2n=2n=2)为例:
AA∗=∣a11a12a21a22∣∣A11A21A12A22∣=∣a11A11+a12A12a11A21+a12A22a21A11+a22A12a21A21+a22A22∣=∣∣A∣OO∣A∣∣=∣A∣∣1001∣=∣A∣EAA^* = \\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\\\ a_{21}&a_{22} \\end{vmatrix} \\begin{vmatrix} A_{11}&A_{21}\\\\ A_{12}&A_{22} \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}&a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}\\\\ a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}&a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22} \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} |A|&O\\\\ O&|A| \\end{vmatrix} =|A| \\begin{vmatrix} 1&0\\\\ 0&1 \\end{vmatrix} =|A|E AA∗=a11a21a12a22A11A12A21A22=a11A11+a12A12a21A11+a22A12a11A21+a12A22a21A21+a22A22=∣A∣OO∣A∣=∣A∣1001=∣A∣E - 二阶矩阵的伴随矩阵:主对角线互换,副对角线变号。
可逆矩阵
对于nnn阶方阵AAA,如果存在nnn阶方阵BBB,使AB=BA=EAB=BA=EAB=BA=E则称矩阵AAA是可逆的,矩阵BBB是AAA的逆矩阵。如果矩阵AAA是可逆的,那么AAA的逆矩阵是唯一的,记作A−1A^{-1}A−1可逆矩阵的性质如下:
- 如果AAA可逆,则A−1A^{-1}A−1也是可逆的,且(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A(A−1)−1=A。
证明:令B=A−1B=A^{-1}B=A−1
那么:BA=AB=EBA=AB=EBA=AB=E
所以BBB可逆且B−1=(A−1)−1=AB^{-1}=(A^{-1})^{-1}=AB−1=(A−1)−1=A - 如果AAA可逆,且k≠0k\\neq0k=0,则kAkAkA可逆,且(kA)−1=1kA−1(kA)^{-1}=\\frac{1}{k}A^{-1}(kA)−1=k1A−1。
- 如果A,BA,BA,B可逆,则ABABAB也可逆,且(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1。
- 如果AAA可逆,则ATA^TAT也可逆,且(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T。
- AAA可逆⇔∣A∣≠0\\Leftrightarrow|A|\\neq0⇔∣A∣=0。
证明:因为
∣AA−1∣=∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1|AA^{-1}|=|A||A^{-1}|=|E|=1 ∣AA−1∣=∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1
所以∣A∣≠0|A|\\neq0∣A∣=0 - A,BA,BA,B是nnn阶方阵,如果AB=EAB=EAB=E,则A−1=BA^{-1}=BA−1=B。
- 如果AAA可逆,则A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\\frac{1}{|A|}A^*A−1=∣A∣1A∗。
- 如果AAA可逆,则∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}|=\\frac{1}{|A|}∣A−1∣=∣A∣1。
- 如果A=[a1a2a3]A=\\begin{bmatrix}a_1&&\\\\&a_2&\\\\&&a_3\\end{bmatrix}A=a1a2a3是对角矩阵,则A−1=[1a11a21a3]A^{-1}=\\begin{bmatrix}\\frac{1}{a_1}&&\\\\&\\frac{1}{a_2}&\\\\&&\\frac{1}{a_3}\\end{bmatrix}A−1=a11a21a31。
分块矩阵
对矩阵适当的进行分块处理,可以有效地进行计算,分块后有如下运算法则:
- [A1A2A3A4]+[B1B2B3B4]=[A1+B1A2+B2A3+B3A4+B4]\\begin{bmatrix}A_1&A_2\\\\A_3&A_4\\end{bmatrix}+\\begin{bmatrix}B_1&B_2\\\\B_3&B_4\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}A_1+B_1&A_2+B_2\\\\A_3+B_3&A_4+B_4\\end{bmatrix}[A1A3A2A4]+[B1B3B2B4]=[A1+B1A3+B3A2+B2A4+B4]
- [ABCD][XYZW]=[AX+BZAY+BWCX+DZCY+DW]\\begin{bmatrix}A&B\\\\C&D\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}X&Y\\\\Z&W\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}AX+BZ&AY+BW\\\\CX+DZ&CY+DW\\end{bmatrix}[ACBD][XZYW]=[AX+BZCX+DZAY+BWCY+DW]
- [ABCD]T=[ATCTBTDT]\\begin{bmatrix}A&B\\\\C&D\\end{bmatrix}^T=\\begin{bmatrix}A^T&C^T\\\\B^T&D^T\\end{bmatrix}[ACBD]T=[ATBTCTDT]
设A,BA,BA,B分别为m,nm,nm,n阶方阵,则:
- [AOOB]n=[AnOOBn]\\begin{bmatrix}A&O\\\\O&B\\end{bmatrix}^n=\\begin{bmatrix}A^n&O\\\\O&B^n\\end{bmatrix}[AOOB]n=[AnOOBn]
设A,BA,BA,B分别为m,nm,nm,n阶可逆矩阵,则:
- [AOOB]−1=[A−1OOB−1]\\begin{bmatrix}A&O\\\\O&B\\end{bmatrix}^{-1}=\\begin{bmatrix}A^{-1}&O\\\\O&B^{-1}\\end{bmatrix}[AOOB]−1=[A−1OOB−1]
- [OABO]−1=[OC−1B−1O]\\begin{bmatrix}O&A\\\\B&O\\end{bmatrix}^{-1}=\\begin{bmatrix}O&C^{-1}\\\\B^{-1}&O\\end{bmatrix}[OBAO]−1=[OB−1C−1O]
若AAA是m×nm\\times nm×n矩阵,BBB是n×sn\\times sn×s矩阵且AB=CAB=CAB=C,则对BBB,CCC按列分块有:
[a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮am1am2…amn][β1β2…βn]=[γ1γ2…γn]\\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\\dots&a_{1n}\\\\ a_{21}&a_{22}&\\dots&a_{2n}\\\\ \\vdots&\\vdots&&\\vdots\\\\ a_{m1}&a_{m2}&\\dots&a_{mn} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\beta_1&\\beta_2&\\dots&\\beta_n \\end{bmatrix} {=} \\begin{bmatrix} \\gamma_1&\\gamma_2&\\dots&\\gamma_n \\end{bmatrix}a11a21⋮am1a12a22⋮am2………a1na2n⋮amn[β1β2…βn]=[γ1γ2…γn]
即{a11β1+a12β2+⋯+a1nβn=γ1a21β1+a22β2+⋯+a2nβn=γ2…an1β1+an2β2+⋯+annβn=γn\\begin{cases} a_{11}\\beta_1+a_{12}\\beta_2+\\dots+a_{1n}\\beta_n=\\gamma_1\\\\ a_{21}\\beta_1+a_{22}\\beta_2+\\dots+a_{2n}\\beta_n=\\gamma_2\\\\ \\dots \\\\a_{n1}\\beta_1+a_{n2}\\beta_2+\\dots+a_{nn}\\beta_n=\\gamma_n \\end{cases} ⎩⎨⎧a11β1+a12β2+⋯+a1nβn=γ1a21β1+a22β2+⋯+a2nβn=γ2…an1β1+an2β2+⋯+annβn=γn
矩阵的初等变换
欲求解以下线性方程组:
{2x1−x2+3x3=14x1+2x2+5x3=42x1+2x3=6\\begin{cases}2x_1-x_2+3x_3=1\\\\4x_1+2x_2+5x_3=4\\\\2x_1+2x_3=6\\end{cases}⎩⎨⎧2x1−x2+3x3=14x1+2x2+5x3=42x1+2x3=6
根据加减消元法:
- 方程两边同时乘以一个非零的数。
- 将一个方程的kkk倍加到另一个方程。
- 交换两个方程的位置。
将方程组化简至:
{2x1−x2+3x3=1x2−x3=5x3=−6\\begin{cases}2x_1-x_2+3x_3=1\\\\x_2-x_3=5\\\\x_3=-6\\end{cases}⎩⎨⎧2x1−x2+3x3=1x2−x3=5x3=−6
即可将方程的解求出,加减消元本质是对未知数系数和常数项的改变,因此可以把未知数系数和常数项写成一个矩阵:
[2−13142542026]\\begin{bmatrix}2&-1&3&1\\\\4&2&5&4\\\\2&0&2&6\\end{bmatrix}242−120352146
这个矩阵就称为线性方程组的增广矩阵。并把以下三种变换称为矩阵的初等行(列)变换,统称为矩阵的初等变换:
- 用非零的常数乘矩阵的某一行(列)。
- 将一行(列)的kkk倍加至另一行(列)。
- 交换矩阵中两行(列)的位置。
现对该矩阵由上往下进行初等行变换将矩阵化简至阶梯型(这个过程也被称为正向消元):
[2−13101−15001−6]\\begin{bmatrix}2&-1&3&1\\\\0&1&-1&5\\\\0&0&1&-6\\end{bmatrix}200−1103−1115−6
接着由下往上将化简后的矩阵加入未知数,即可得出线性方程的解(这个过程也被称为反向求解)。
初等矩阵
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质如下:
- 初等矩阵PPP左乘AAA所得到的PAPAPA就是对AAA做一次与PPP同样的初等行变换。
- 初等矩阵PPP右乘AAA所得到的APAPAP就是对AAA做一次与PPP同样的初等列变换。
- [1000100k1]−1=[1000100−k1]\\begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&1&0\\\\0&k&1\\end{bmatrix}^{-1}=\\begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&1&0\\\\0&-k&1\\end{bmatrix}10001k001−1=10001−k001
- [100001010]−1=[100001010]\\begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&0&1\\\\0&1&0\\end{bmatrix}^{-1}=\\begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&0&1\\\\0&1&0\\end{bmatrix}100001010−1=100001010
- [1000k0001]−1=[10001k0001]\\begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&k&0\\\\0&0&1\\end{bmatrix}^{-1}=\\begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&\\frac{1}{k}&0\\\\0&0&1\\end{bmatrix}1000k0001−1=1000k10001
等价矩阵
如果矩阵AAA经过有限次初等变换变成矩阵BBB,就称矩阵AAA与BBB等价,记作A≅BA\\cong BA≅B。矩阵等价的性质如下:
- 反身性:A≅AA\\cong AA≅A
- 对称性:若A≅BA\\cong BA≅B,则B≅AB\\cong AB≅A
- 传递性:若A≅B,B≅CA\\cong B,B\\cong CA≅B,B≅C,则A≅CA\\cong CA≅C
行阶梯矩阵
设AAA是一个m×nm\\times nm×n的矩阵,如果满足:
- 如果矩阵有零行,则零行都在矩阵的底部。
- 每个非零行的矩阵的主元(即某一行中最左边的第一个非零元)所在的列的下面元素都是000。
则称AAA为行阶梯矩阵。
行最简矩阵
设AAA是一个m×nm\\times nm×n的矩阵,如果满足:
- AAA是行阶梯矩阵。
- 非零行的主元都是111,且主元所在列的其它元素都是000。
则称AAA为行最简矩阵。
初等变换在矩阵求解中的应用
- 通过初等行变换求解矩阵的逆矩阵:AAA矩阵可逆⇔\\Leftrightarrow⇔AAA可以表示为若干个初等矩阵的乘积。即
Pn…P2P1=AP_n\\dots P_2P_1=APn…P2P1=A
那么
(Pn…P2P1)−1A=E(P_n\\dots P_2P_1)^{-1}A=E(Pn…P2P1)−1A=E
因为(Pn…P2P1)−1=P1−1P2−1…Pn−1=Q1Q2…Qn(P_n\\dots P_2P_1)^{-1}=P_1^{-1} P_2^{-1}\\dots P_n^{-1}=Q_1Q_2\\dots Q_n(Pn…P2P1)−1=P1−1P2−1…Pn−1=Q1Q2…Qn(QQQ仍为初等矩阵),所以原式可写为:
Q1Q2…QnA=EQ_1Q_2\\dots Q_nA=EQ1Q2…QnA=E
那么
Q1Q2…QnE=A−1Q_1Q_2\\dots Q_nE=A^{-1}Q1Q2…QnE=A−1
因此:AAA矩阵经过若干次行变换可变为单位矩阵,单位矩阵经过若干次同样的行变换可变为AAA的逆矩阵,即:
(A∣E)→⋯→(E∣A−1)(A|E)\\rightarrow\\dots\\rightarrow(E|A^{-1})(A∣E)→⋯→(E∣A−1) - 通过初等行变换求解矩阵方程:若AX=BAX=BAX=B,如果AAA可逆,那么X=A−1BX=A^{-1}BX=A−1B又PA=EPA=EPA=E那么PB=A−1B=XPB=A^{-1}B=XPB=A−1B=X所以P(A∣B)=(E∣X)P(A|B)=(E|X)P(A∣B)=(E∣X)
矩阵的秩
在m×nm\\times nm×n阶的矩阵AAA中,任取kkk行与kkk列(k≤n,k≤mk≤n,k≤mk≤n,k≤m),位于这些行与列的交叉点上的k2k^2k2个元素按其在原来矩阵AAA的次序可构成一个kkk阶行列式,称其为矩阵AAA的一个kkk阶子式。若矩阵AAA中存在kkk阶子式不为000,k+1k+1k+1阶子式(如果存在)全为零,则称kkk为矩阵AAA的秩,记为r(A)=kr(A)=kr(A)=k,零矩阵的秩规定为000。秩的性质如下:
- 若AAA是nnn阶方阵,那么
- r(A)=n⇔∣A∣≠0⇔A可逆r(A)=n\\Leftrightarrow|A|\\neq0\\Leftrightarrow A可逆r(A)=n⇔∣A∣=0⇔A可逆
- r(A)<n⇔∣A∣=0⇔A不可逆r(A)<n\\Leftrightarrow|A|=0\\Leftrightarrow A不可逆r(A)<n⇔∣A∣=0⇔A不可逆
- 经过初等变换矩阵的秩不变。
- 0≤r(Am×n)≤min(m,n)0≤r(A_{m\\times n})≤min(m,n)0≤r(Am×n)≤min(m,n)
- r(AT)=r(A)r(A^T)=r(A)r(AT)=r(A)
- r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A+B)≤r(A)+r(B)
例:
[EOOO]+[OOOE]\\begin{bmatrix}E&O\\\\O&O\\end{bmatrix}+\\begin{bmatrix}O&O\\\\O&E\\end{bmatrix} [EOOO]+[OOOE] - r(kA)=r(A)(k≠0)r(kA)=r(A)(k\\neq0)r(kA)=r(A)(k=0)
- r(AB)≤min(r(A),r(B))r(AB)≤min(r(A),r(B))r(AB)≤min(r(A),r(B))
证明:设r(A)=rr(A)=rr(A)=r,则存在可逆矩阵P,QP,QP,Q使得PAQ=[ErOOO]m×nPAQ=\\begin{bmatrix}E_r&O\\\\O&O\\end{bmatrix}_{m\\times n}PAQ=[ErOOO]m×n则PAB=[ErOOO]Q−1B=[ErOOO][Br×sB(n−r)×s]=[Br×sO]PAB=\\begin{bmatrix}E_r&O\\\\O&O\\end{bmatrix}Q^{-1}B=\\begin{bmatrix}E_r&O\\\\O&O\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}B_{r\\times s}\\\\B_{(n-r)\\times s}\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}B_{r\\times s}\\\\O\\end{bmatrix}PAB=[ErOOO]Q−1B=[ErOOO][Br×sB(n−r)×s]=[Br×sO]即r(AB)=r(PAB)=r([Br×sO])=r(Br×s)≤r≤r(A)r(AB)=r(PAB)=r(\\begin{bmatrix}B_{r\\times s}\\\\O\\end{bmatrix})=r(B_{r\\times s})≤r≤r(A)r(AB)=r(PAB)=r([Br×sO])=r(Br×s)≤r≤r(A)由此可得r(AB)=r((AB)T)=r(BTAT)≤r(BT)=r(B)r(AB)=r((AB)^T)=r(B^TA^T)≤r(B^T)=r(B)r(AB)=r((AB)T)=r(BTAT)≤r(BT)=r(B)故r(AB)≤min(r(A),r(B))r(AB)≤min(r(A),r(B))r(AB)≤min(r(A),r(B)) - 如果矩阵P,QP,QP,Q可逆,则r(PAQ)=r(A)r(PAQ)=r(A)r(PAQ)=r(A)
- r([AOOB])=r(A)+r(B)r(\\begin{bmatrix}A&O\\\\O&B\\end{bmatrix})=r(A)+r(B)r([AOOB])=r(A)+r(B)
- max(r(A),r(B))≤r(A∣B)≤r(A)+r(B)max(r(A),r(B))≤r(A|B)≤r(A)+r(B)max(r(A),r(B))≤r(A∣B)≤r(A)+r(B)
证明:设r(A)=r,r(B)=tr(A)=r,r(B)=tr(A)=r,r(B)=t,PAT=A1(行阶梯,r个非零行)QBT=B1(行阶梯,t个非零行)PA^T=A_1(行阶梯,r个非零行)\\\\QB^T=B_1(行阶梯,t个非零行)PAT=A1(行阶梯,r个非零行)QBT=B1(行阶梯,t个非零行)那么[POOQ][ATBT]=[A1B1]\\begin{bmatrix}P&O\\\\O&Q\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}A^T\\\\B^T\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}A_1\\\\B_1\\end{bmatrix}[POOQ][ATBT]=[A1B1]则r(A∣B)=r[ATBT]=[A1B1]≤r+t≤r(A)+r(B)r(A|B)=r{\\begin{bmatrix}A^T\\\\B^T\\end{bmatrix}}=\\begin{bmatrix}A_1\\\\B_1\\end{bmatrix}≤r+t≤r(A)+r(B)r(A∣B)=r[ATBT]=[A1B1]≤r+t≤r(A)+r(B) - nnn元线性方程组AX=BAX=BAX=B解的判定:其增广矩阵为CCC那么其解的情况如下:
情况 | 说明 |
---|---|
无解 | r(A)+1=r(C)r(A)+1=r(C)r(A)+1=r(C) |
唯一解 | r(A)=r(C)=nr(A)=r(C)=nr(A)=r(C)=n |
无穷解 | r(A)=r(C)<n)r(A)=r(C)<n)r(A)=r(C)<n) |
- nnn元齐次方程组AX=OAX=OAX=O有非零解⇔r(A)<n\\Leftrightarrow r(A)<n⇔r(A)<n
- 矩阵方程AX=BAX=BAX=B有解⇔r(A)=r(A,B)\\Leftrightarrow r(A)=r(A,B)⇔r(A)=r(A,B)
证明:设A−m×nA-m\\times nA−m×n,X−n×tX-n\\times tX−n×t,B−m×tB-m\\times tB−m×t,将BBB矩阵按列分块:
B=[β1,β2,…,βn]B=[\\beta_1,\\beta_2,\\dots,\\beta_n]B=[β1,β2,…,βn]
AX=BAX=BAX=B有解⇔\\Leftrightarrow⇔AX=βj(j=1,2,…,t)AX=\\beta_j(j=1,2,\\dots,t)AX=βj(j=1,2,…,t)都有解,设r(A)=rr(A)=rr(A)=r,则r(A,βj)=rr(A,\\beta_j)=rr(A,βj)=r,化为行最简⇔r(PA,Pβj)=r\\Leftrightarrow r(PA,P\\beta_j)=r⇔r(PA,Pβj)=r,那么PβjP\\beta_jPβj的后m−rm-rm−r行就为0⇔r(PA,PB)=r⇔r(A,B)=r=r(A)0\\Leftrightarrow r(PA,PB)=r\\Leftrightarrow r(A,B)=r=r(A)0⇔r(PA,PB)=r⇔r(A,B)=r=r(A)。