概述

定义

计算机科学中，递归是一种解决计算问题的方法，其中解决方案取决于同一类问题的更小子集

In computer science, recursion is a method of solving a computational problem where the solution depends on solutions to smaller instances of the same problem.

比如单链表递归遍历的例子：

void f(Node node) {if(node == null) {return;}println("before:" + node.value)f(node.next);println("after:" + node.value)
}

说明：

1. 自己调用自己，如果说每个函数对应着一种解决方案，自己调用自己意味着解决方案是一样的（有规律的）
2. 每次调用，函数处理的数据会较上次缩减（子集），而且最后会缩减至无需继续递归
3. 内层函数调用（子集处理）完成，外层函数才能算调用完成

原理

假设链表中有 3 个节点，value 分别为 1，2，3，以上代码的执行流程就类似于下面的伪码

// 1 -> 2 -> 3 -> null  f(1)void f(Node node = 1) {println("before:" + node.value) // 1void f(Node node = 2) {println("before:" + node.value) // 2void f(Node node = 3) {println("before:" + node.value) // 3void f(Node node = null) {if(node == null) {return;}}println("after:" + node.value) // 3}println("after:" + node.value) // 2}println("after:" + node.value) // 1
}

思路

1. 确定能否使用递归求解
2. 推导出递推关系，即父问题与子问题的关系，以及递归的结束条件

例如之前遍历链表的递推关系为
f(n)={停止n=nullf(n.next)n≠nullf(n) = \\begin{cases} 停止& n = null \\\\ f(n.next) & n \\neq null \\end{cases} f(n)={停止f(n.next)​n=nulln=null​

• 深入到最里层叫做递
• 从最里层出来叫做归
• 在递的过程中，外层函数内的局部变量（以及方法参数）并未消失，归的时候还可以用到

单路递归 Single Recursion

E01. 阶乘

用递归方法求阶乘

• 阶乘的定义 $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n$，其中 $n$ 为自然数，当然 $0!=1$

• 递推关系

f(n)={1n=1n∗f(n−1)n>1f(n) = \\begin{cases} 1 & n = 1\\\\ n * f(n-1) & n > 1 \\end{cases} f(n)={1n∗f(n−1)​n=1n>1​

代码

private static int f(int n) {if (n == 1) {return 1;}return n * f(n - 1);
}

拆解伪码如下，假设 n 初始值为 3

f(int n = 3) { // 解决不了,递return 3 * f(int n = 2) { // 解决不了,继续递return 2 * f(int n = 1) {if (n == 1) { // 可以解决, 开始归return 1;}}}
}

E02. 反向打印字符串

用递归反向打印字符串，n 为字符在整个字符串 str 中的索引位置

• 递：n 从 0 开始，每次 n + 1，一直递到 n == str.length() - 1
• 归：从 n == str.length() 开始归，从归打印，自然是逆序的

递推关系
f(n)={停止n=str.length()f(n+1)0≤n≤str.length()−1f(n) = \\begin{cases} 停止 & n = str.length() \\\\ f(n+1) & 0 \\leq n \\leq str.length() - 1 \\end{cases} f(n)={停止f(n+1)​n=str.length()0≤n≤str.length()−1​
代码为

public static void reversePrint(String str, int index) {if (index == str.length()) {return;}reversePrint(str, index + 1);System.out.println(str.charAt(index));
}

拆解伪码如下，假设字符串为 “abc”

void reversePrint(String str, int index = 0) {void reversePrint(String str, int index = 1) {void reversePrint(String str, int index = 2) {void reversePrint(String str, int index = 3) { if (index == str.length()) {return; // 开始归}}System.out.println(str.charAt(index)); // 打印 c}System.out.println(str.charAt(index)); // 打印 b}System.out.println(str.charAt(index)); // 打印 a
}

多路递归 Multi Recursion

• 之前的例子是每个递归函数只包含一个自身的调用，这称之为 single recursion
• 如果每个递归函数例包含多个自身调用，称之为 multi recursion

E01. 斐波那契数列

递推关系
f(n)={0n=01n=1f(n−1)+f(n−2)n>1f(n) = \\begin{cases} 0 & n=0 \\\\ 1 & n=1 \\\\ f(n-1) + f(n-2) & n>1 \\end{cases} f(n)=⎩⎨⎧​01f(n−1)+f(n−2)​n=0n=1n>1​

下面的表格列出了数列的前几项

实现

public static int f(int n) {if (n == 0) {return 0;}if (n == 1) {return 1;}return f(n - 1) + f(n - 2);
}

执行流程

• 绿色代表正在执行（对应递），灰色代表执行结束（对应归）
• 递不到头，不能归，对应着深度优先搜索

时间复杂度

• 递归的次数也符合斐波那契规律，$2\ast f(n+1)-1$
• 时间复杂度推导过程
  • 斐波那契通项公式 f(n)=15∗(1+52n−1−52n)f(n) = \\frac{1}{\\sqrt{5}}*({\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}}^n - {\\frac{1-\\sqrt{5}}{2}}^n)f(n)=5​1​∗(21+5​​n−21−5​​n)
  • 简化为：f(n)=12.236∗(1.618n−(−0.618)n)f(n) = \\frac{1}{2.236}*({1.618}^n - {(-0.618)}^n)f(n)=2.2361​∗(1.618n−(−0.618)n)
  • 带入递归次数公式 2∗12.236∗(1.618n+1−(−0.618)n+1)−12*\\frac{1}{2.236}*({1.618}^{n+1} - {(-0.618)}^{n+1})-12∗2.2361​∗(1.618n+1−(−0.618)n+1)−1
  • 时间复杂度为 Θ(1.618n)\\Theta(1.618^n)Θ(1.618n)

1. 更多 Fibonacci 参考[^8][9][^10]
2. 以上时间复杂度分析，未考虑大数相加的因素

变体1 - 兔子问题[^8]

• 第一个月，有一对未成熟的兔子（黑色，注意图中个头较小）
• 第二个月，它们成熟
• 第三个月，它们能产下一对新的小兔子（蓝色）
• 所有兔子遵循相同规律，求第 $n$ 个月的兔子数

分析

兔子问题如何与斐波那契联系起来呢？设第 n 个月兔子数为 $f(n)$

• $f(n)$ = 上个月兔子数 + 新生的小兔子数
• 而【新生的小兔子数】实际就是【上个月成熟的兔子数】
• 因为需要一个月兔子就成熟，所以【上个月成熟的兔子数】也就是【上上个月的兔子数】
• 上个月兔子数，即 $f(n-1)$
• 上上个月的兔子数，即 $f(n-2)$

因此本质还是斐波那契数列，只是从其第一项开始

变体2 - 青蛙爬楼梯

• 楼梯有 $n$ 阶
• 青蛙要爬到楼顶，可以一次跳一阶，也可以一次跳两阶
• 只能向上跳，问有多少种跳法

分析

• 因此本质上还是斐波那契数列，只是从其第二项开始

• 对应 leetcode 题目 70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

递归优化-记忆法

上述代码存在很多重复的计算，例如求 $f(5)$ 递归分解过程

可以看到（颜色相同的是重复的）：

• $f(3)$ 重复了 2 次
• $f(2)$ 重复了 3 次
• $f(1)$ 重复了 5 次
• $f(0)$ 重复了 3 次

随着 $n$ 的增大，重复次数非常可观，如何优化呢？

Memoization 记忆法（也称备忘录）是一种优化技术，通过存储函数调用结果（通常比较昂贵），当再次出现相同的输入（子问题）时，就能实现加速效果，改进后的代码

public static void main(String[] args) {int n = 13;int[] cache = new int[n + 1];Arrays.fill(cache, -1);cache[0] = 0;cache[1] = 1;System.out.println(f(cache, n));
}public static int f(int[] cache, int n) {if (cache[n] != -1) {return cache[n];}cache[n] = f(cache, n - 1) + f(cache, n - 2);return cache[n];
}

优化后的图示，只要结果被缓存，就不会执行其子问题

• 改进后的时间复杂度为 $O(n)$
• 请自行验证改进后的效果
• 请自行分析改进后的空间复杂度

注意

1. 记忆法是动态规划的一种情况，强调的是自顶向下的解决
2. 记忆法的本质是空间换时间

递归时间复杂度-Master theorem

若有递归式
T(n)=aT(nb)+f(n)T(n) = aT(\\frac{n}{b}) + f(n) T(n)=aT(bn​)+f(n)
其中

• $T(n)$ 是问题的运行时间，$n$ 是数据规模
• $a$ 是子问题个数
• T(nb)T(\\frac{n}{b})T(bn​) 是子问题运行时间，每个子问题被拆成原问题数据规模的 nb\\frac{n}{b}bn​
• $f(n)$ 是除递归外执行的计算

令 x=log⁡bax = \\log_{b}{a}x=logb​a，即 x=log⁡子问题缩小倍数子问题个数x = \\log_{子问题缩小倍数}{子问题个数}x=log子问题缩小倍数​子问题个数

那么
T(n)={Θ(nx)f(n)=O(nc)并且c<xΘ(nxlog⁡n)f(n)=Θ(nx)Θ(nc)f(n)=Ω(nc)并且c>xT(n) = \\begin{cases} \\Theta(n^x) & f(n) = O(n^c) 并且 c \\lt x\\\\ \\Theta(n^x\\log{n}) & f(n) = \\Theta(n^x)\\\\ \\Theta(n^c) & f(n) = \\Omega(n^c) 并且 c \\gt x \\end{cases} T(n)=⎩⎨⎧​Θ(nx)Θ(nxlogn)Θ(nc)​f(n)=O(nc)并且c<xf(n)=Θ(nx)f(n)=Ω(nc)并且c>x​

例1

T(n)=2T(n2)+n4T(n) = 2T(\\frac{n}{2}) + n^4T(n)=2T(2n​)+n4

• 此时 $x=1<4$，由后者决定整个时间复杂度 Θ(n4)\\Theta(n^4)Θ(n4)
• 如果觉得对数不好算，可以换为求【$b$ 的几次方能等于 $a$】

例2

T(n)=T(7n10)+nT(n) = T(\\frac{7n}{10}) + nT(n)=T(107n​)+n

• a=1,b=107,x=0,c=1a=1, b=\\frac{10}{7}, x=0, c=1a=1,b=710​,x=0,c=1
• 此时 $x=0<1$，由后者决定整个时间复杂度 $\Theta (n)$

例3

T(n)=16T(n4)+n2T(n) = 16T(\\frac{n}{4}) + n^2T(n)=16T(4n​)+n2

• $a=16,b=4,x=2,c=2$
• 此时 $x=2=c$，时间复杂度 Θ(n2log⁡n)\\Theta(n^2 \\log{n})Θ(n2logn)

例4

T(n)=7T(n3)+n2T(n)=7T(\\frac{n}{3}) + n^2T(n)=7T(3n​)+n2

• $a=7,b=3,x=1.?,c=2$
• 此时 x=log⁡37<2x = \\log_{3}{7} < 2x=log3​7<2，由后者决定整个时间复杂度 Θ(n2)\\Theta(n^2)Θ(n2)

例5

T(n)=7T(n2)+n2T(n) = 7T(\\frac{n}{2}) + n^2T(n)=7T(2n​)+n2

• $a=7,b=2,x=2.?,c=2$
• 此时 x=log27>2x = log_2{7} > 2x=log2​7>2，由前者决定整个时间复杂度 Θ(nlog⁡27)\\Theta(n^{\\log_2{7}})Θ(nlog2​7)

例6

T(n)=2T(n4)+nT(n) = 2T(\\frac{n}{4}) + \\sqrt{n}T(n)=2T(4n​)+n​

• $a=2,b=4,x=0.5,c=0.5$
• 此时 $x=0.5=c$，时间复杂度 Θ(nlog⁡n)\\Theta(\\sqrt{n}\\ \\log{n})Θ(n​ logn)

例7. 二分查找递归

int f(int[] a, int target, int i, int j) {if (i > j) {return -1;}int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {return f(a, target, i, m - 1);} else if (a[m] < target) {return f(a, target, m + 1, j);} else {return m;}
}

• 子问题个数 $a=1$
• 子问题数据规模缩小倍数 $b=2$
• 除递归外执行的计算是常数级 $c=0$

T(n)=T(n2)+n0T(n) = T(\\frac{n}{2}) + n^0T(n)=T(2n​)+n0

• 此时 $x=0=c$，时间复杂度 $\Theta (\log n)$

例8. 归并排序递归

void split(B[], i, j, A[])
{if (j - i <= 1)                    return;                                m = (i + j) / 2;             // 递归split(A, i, m, B);  split(A, m, j, B); // 合并merge(B, i, m, j, A);
}

• 子问题个数 $a=2$
• 子问题数据规模缩小倍数 $b=2$
• 除递归外，主要时间花在合并上，它可以用 $f(n)=n$ 表示

T(n)=2T(n2)+nT(n) = 2T(\\frac{n}{2}) + nT(n)=2T(2n​)+n

• 此时 $x=1=c$，时间复杂度 $\Theta (n\log n)$

例9. 快速排序递归

algorithm quicksort(A, lo, hi) is if lo >= hi || lo < 0 then return// 分区p := partition(A, lo, hi) // 递归quicksort(A, lo, p - 1) quicksort(A, p + 1, hi) 

• 子问题个数 $a=2$
• 子问题数据规模缩小倍数
  • 如果分区分的好，$b=2$
  • 如果分区没分好，例如分区1 的数据是 0，分区 2 的数据是 $n-1$
• 除递归外，主要时间花在分区上，它可以用 $f(n)=n$ 表示

情况1 - 分区分的好

T(n)=2T(n2)+nT(n) = 2T(\\frac{n}{2}) + nT(n)=2T(2n​)+n

• 此时 $x=1=c$，时间复杂度 $\Theta (n\log n)$

情况2 - 分区没分好

$T(n)=T(n-1)+T(1)+n$

• 此时不能用主定理求解

递归时间复杂度-展开求解

像下面的递归式，都不能用主定理求解

例1 - 递归求和

long sum(long n) {if (n == 1) {return 1;}return n + sum(n - 1);
}

$T(n)=T(n-1)+c$，$T(1)=c$

下面为展开过程

$T(n)=T(n-2)+c+c$

$T(n)=T(n-3)+c+c+c$

…

$T(n)=T(n-(n-1))+(n-1)c$

• 其中 $T(n-(n-1))$ 即 $T(1)$
• 带入求得 $T(n)=c+(n-1)c=nc$

时间复杂度为 $O(n)$

例2 - 递归冒泡排序

void bubble(int[] a, int high) {if(0 == high) {return;}for (int i = 0; i < high; i++) {if (a[i] > a[i + 1]) {swap(a, i, i + 1);}}bubble(a, high - 1);
}

$T(n)=T(n-1)+n$，$T(1)=c$

下面为展开过程

$T(n)=T(n-2)+(n-1)+n$

$T(n)=T(n-3)+(n-2)+(n-1)+n$

…

T(n)=T(1)+2+...+n=T(1)+(n−1)2+n2=c+n22+n2−1T(n) = T(1) + 2 + ... + n = T(1) + (n-1)\\frac{2+n}{2} = c + \\frac{n^2}{2} + \\frac{n}{2} -1T(n)=T(1)+2+...+n=T(1)+(n−1)22+n​=c+2n2​+2n​−1

时间复杂度 O(n2)O(n^2)O(n2)

注：

• 等差数列求和为 个数∗∣首项−末项∣2个数*\\frac{\\vert首项-末项\\vert}{2}个数∗2∣首项−末项∣​

例3 - 递归快排

快速排序分区没分好的极端情况

$T(n)=T(n-1)+T(1)+n$，$T(1)=c$

$T(n)=T(n-1)+c+n$

下面为展开过程

$T(n)=T(n-2)+c+(n-1)+c+n$

$T(n)=T(n-3)+c+(n-2)+c+(n-1)+c+n$

…

T(n)=T(n−(n−1))+(n−1)c+2+...+n=n22+2cn+n2−1T(n) = T(n-(n-1)) + (n-1)c + 2+...+n = \\frac{n^2}{2} + \\frac{2cn+n}{2} -1T(n)=T(n−(n−1))+(n−1)c+2+...+n=2n2​+22cn+n​−1

时间复杂度 O(n2)O(n^2)O(n2)

不会推导的同学可以进入 https://www.wolframalpha.com/

• 例1 输入 f(n) = f(n - 1) + c, f(1) = c
• 例2 输入 f(n) = f(n - 1) + n, f(1) = c
• 例3 输入 f(n) = f(n - 1) + n + c, f(1) = c